Toán Thầy Tuấn

SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
Thành phố Hồ Chí Minh
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2014 –
2015
Môn: Toán 9
Ngày 24/3/2015
(Thời gian: 150 phút – không kể giao
đề)

Bài 1.(3đ) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:

.

Chứng minh rằng:
.
Bài 2.(5đ) Giải các phương trình và hệ phương trình sau :

a)
.
b)
.
Bài 3.(2đ) Qua điểm M thuộc cạnh BC của tam giác ABC kẻ các đường
thẳng song song với các cạnh AB và AC, chúng tạo thành với hai cạnh ấy
một hình bình hành. Tìm vị trí của M để hình bình hành đó có diện tích lớn
nhất.
Bài 4.(4đ)
a) Cho hai số dương x, y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
.
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức :

.

Bài 5.(4đ) Cho tam giác nhọn
nội tiếp đường tròn (O). Các
đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường tròn ngoại tiếp
tam giác ADE cắt (O) tại điểm K khác A. Chứng minh rằng:
a) KH đi qua trung điểm M của cạnh BC.
b) BC là tiếp tuyển chung của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BHK
và CHK.
Bài 6.(2đ) Theo quyết định Bộ Công Thương ban hành, giá bán lẻ điện sinh
hoạt từ 16/3 sẽ dao động trong khoàng từ 1484 đên 2587 đồng mỗi kWh tùy
bậc thang. Dưới đây là bảng so sánh biều giá điện trước và sau khi điều
chỉnh:
Mức sử dụng trong tháng
(kWh)
0 – 50
50 – 100

Giá mới
1484
1533

Giá hiện
tại
1388
1433
Sir 1

Toán Thầy Tuấn

101 – 200
201 – 300
301 – 400
401 trở lên.

1786
2242
2503
2587

1660
2082
2324
2399

Đơn vị: Đồng/kWh.
Nếu hộ A trung bình mỗi tháng tiêu thụ 120kWh thì theo giá mới số tiền phải
tr ả
tăng lên bao nhiêu trong một tháng?
b) Hộ B trong tháng 2 đã trả tiền sử dụng điện là 194170 đồng. Hỏi lượng
điện mà hộ
B tiêu thụ trong tháng 2 là bao nhiêu?
c) Giả sử hộ C trong nửa tháng đầu được tính theo giá cũ, trong nửa tháng
sau được
tính theo giá mới với mức sử dụng thực tế (bao gồm cả nửa tháng đầu) và
lượng
điện tiêu thụ ở mỗi nửa tháng là bằng nhau. Số tiền cuối tháng hộ C phải trả
là
116350 đồng. Hỏi lượng điện mà hộ C tiêu thụ trong tháng là bao nhiêu?
Biết rằng
lượng điện tiêu thụ không vượt qu á 100kWh.
-----  HẾT  -----

Sir 2

Toán Thầy Tuấn

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Bài 1.(3đ) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:
Chứng minh rằng:

.

.
Lời giải

Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện:

.

Chứng minh rằng:

Bài 2.(5đ) Giải các phương trình và hệ phương trình sau :

a)

.

b)

.

Lời giải
a)

*TH1:
*TH2:

b)

Sir 3

Toán Thầy Tuấn

Bài 3.(2đ) Qua điểm M thuộc cạnh BC của tam giác ABC kẻ các đường
thẳng song song với các cạnh AB và AC, chúng tạo thành với hai cạnh ấy
một hình bình hành. Tìm vị trí của M để hình bình hành đó có diện tích lớn
nhất.
Lời giải

Bài 4.(4đ)
a) Cho hai số dương x, y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
.
b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức :
Lời giải

.

Bài 5.(4đ) Cho tam giác nhọn
nội tiếp đường tròn (O). Các
đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường tròn ngoại tiếp
tam giác ADE cắt (O) tại điểm K khác A. Chứng minh rằng:
Sir 4

Toán Thầy Tuấn

a) KH đi qua trung điểm M của cạnh BC.
b) BC là tiếp tuyển chung của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BHK
và CHK.
Lời giải

Bài 6.(2đ) Theo quyết định Bộ Công Thương ban hành, giá bán lẻ điện sinh
hoạt từ 16/3 sẽ dao động trong khoàng từ 1484 đên 2587 đồng mỗi kWh tùy
bậc thang. Dưới đây là bảng so sánh biều giá điện trước và sau khi điều
chỉnh:
Mức sử dụng trong tháng
(kWh)
0 – 50
50 – 100
101 – 200
201 – 300
301 – 400
401 trở lên.

Giá mới
1484
1533
1786
2242
2503
2587

Giá hiện
tại
1388
1433
1660
2082
2324
2399

Sir 5

Toán Thầy Tuấn

Đơn vị: Đồng/kWh.
Nếu hộ A trung bình mỗi tháng tiêu thụ 120kWh thì theo giá mới số tiền phải
tr ả
tăng lên bao nhiêu trong một tháng?
b) Hộ B trong tháng 2 đã trả tiền sử dụng điện là 194170 đồng. Hỏi lượng
điện mà hộ
B tiêu thụ trong tháng 2 là bao nhiêu?
c) Giả sử hộ C trong nửa tháng đầu được tính theo giá cũ, trong nửa tháng
sau được
tính theo giá mới với mức sử dụng thực tế (bao gồm cả nửa tháng đầu) và
lượng
điện tiêu thụ ở mỗi nửa tháng là bằng nhau. Số tiền cuối tháng hộ C phải trả
là
116350 đồng. Hỏi lượng điện mà hộ C tiêu thụ trong tháng là bao nhiêu?
Biết rằng
lượng điện tiêu thụ không vượt qu á 100kWh.
Lời giải
a) Số tiền hộ A phải trả theo giá cũ:
đồng Số
tiền hộ A phải trả theo giá mới:
đồng Số tiền
tăng lên:
đồng
Có thể tính gộp : 50.(1484 - 1388) + 50.(1533 - 1433) + 20.(1786 - 1660) =
12320 đồng
b)

Do

nên hộ

tiêu thụ từ 101 đến

.

Lượng điện mà hộ
tiêu thụ : (194170 - 141050) :
đ)
c) Giả sử hộ
trong nửa tháng đầu được tính theo giá cũ, trong nửa tháng
sau được tính theo giá mới với mức sử dụng thực tế (bao gồm cả nửa tháng
đầu) và lượng điện tiêu thụ ở mỗi nửa tháng là bằng nhau. Số tiền cuối
tháng hộ C phải trả là 116350 đồng. Hỏi lượng điện mà hộ
tiểu thụ trong
tháng là bao nhiêu? Biết rằng lượng điện tiêu thụ không vượt quá

.

Gọi
là lượng điện mà hộ
tiêu thụ trong nửa tháng đầu với
Lượng điện tiêu thụ trong tháng là 2x.

.

Nếu

thì ta có phương trình:

Nếu
suy ra

thì ta có phương trình:

Vậy lượng điện mà hộ

tiêu thụ trong tháng là

suy ra

(loại)

.

-----  HẾT  -----

Sir 6