Họ và tên: __________________________________________________________________
TÍCH PHÂN

Chuyên đề 26

Dạng. Sử dụng tính chất, bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân
1.Định nghĩa: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên K ; a, b là hai phần tử bất kì thuộc K , F  x 
là một nguyên hàm của f  x  trên K . Hiệu số F  b   F  a  gọi là tích phân của của f  x  từ a
b

đến b và được kí hiệu:

 f  x  dx  F  x 

b
a

 F b   F  a  .

a

2. Các tính chất của tích phân:
a





b

f  x  dx  0

a



b

a

a

b

b

a

b

   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx

 f  x  dx   f  x  dx
b

b

a

a



a

a

b

c

b

a

a

c

 f  x dx   f  x dx   f  x  dx

 Nếu f  x   g  x  x   a; b  thì

  k . f  x  dx  k . f  x  dx

b


a

b

f  x  dx   g  x  dx .
a

Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp

 x .dx 

x 1
C
 1

1

 x dx  ln x  C
1

x

2

1
dx    C
x

1  ax  b 
  ax  b  dx  a .   1  C
1
1
 ax  b dx  a .ln ax  b  C
1
1 1
  ax  b 2 dx   a . ax  b  C
 1



1

 sin x.dx   cos x  C

 sin  ax  b .dx   a .cos  ax  b   C

 cosx.dx  sin x  C

 cos  ax  b  .dx  a .sin  ax  b   C

1

 sin

2

x

2

1

 sin  ax  b .dx   a .cot  ax  b   C

.dx  tan x  C

 cos  ax  b .dx  a .tan  ax  b   C

x

 e .dx  e
x

1

.dx   cot x  C

1

 cos

1

x

2

1

1

2

1
.dx  .e ax b  C
a
dx
1
xa
 x 2  a 2  2a ln x  a  C

C

e

ax
 a .dx  ln a  C
x

ax  b

1
.
a
(Mã 101-2021-Lần 2) Cho f là hàm số liên tục trên [1; 2] . Biết F là nguyên hàm của f trên

 Nhận xét. Khi thay x bằng  ax  b  thì lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm
Câu 1.

[1; 2] thỏa F 1  2 và F  2   4 . Khi đó

2

 f  x  dx bằng.
1

A. 6 .

B. 2 .

C. 6 .

D. 2 .
Trang 1

Câu 2.

(Mã 102-2021-Lần 2) Cho f là hàm số liên tục trên đoạn 1; 2 . Biết F là nguyên hàm của f
trên đoạn 1; 2 thỏa mãn F 1  2 và F  2   3 . Khi đó
C. 1 .

B. 1.

(Mã 120-2021-Lần 2) Nếu
A. 2 .

Câu 4.

2

2

0

0

(Mã 111-2021-Lần 2) Nếu

C. 14 .

2

2

0

0

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Nếu

Câu 7.

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Nếu
B. 4 .

(Mã 101 - 2020 Lần 1) Biết

D. 2 .
3



f  x  dx  1 thì

2

B.  1 .

A. 5 .
Câu 8.



f  x  dx  2 và

1

A. 16 .

bằng

C. 1 .
2

Câu 6.

D. 11 .

 f  x  dx  3 thì   2 x  f  x  dx

B. 10 .

A. 3 .

D. 5.

 f  x  dx  3 thì  4 x  f  x  dx bằng

B. 5 .

A. 7 .
Câu 5.

 f  x  dx bằng
1

A. 5 .
Câu 3.

2

3

 f  x  dx bằng
1

C. 1.

D. 3 .

1

1

0

0

 f  x  dx  4 thì  2 f  x  dx bằng
D. 8 .

C. 2 .

3

3

1

1

 f  x  dx  3 . Giá trị của  2 f  x  dx bằng

B. 9 .

C. 6 .

D.

3
.
2

(Mã 101 - 2020 Lần 1) Biết F  x   x 2 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Giá trị của
2

  2  f  x  dx

bằng

1

A. 5 .

B. 3 .
5

Câu 9.

(Mã 102 - 2020 Lần 1) Biết


1

4
B. .
3

A. 7 .
Câu 10.

C.

13
.
3

D.

7
.
3

5

f  x  dx  4 . Giá trị của  3 f  x  dx bằng
1

D. 12 .

C. 64 .

(Mã 102 - 2020 Lần 1) Biết F  x   x 3 là một nguyên hàm của hàm số f  x  trên  . Giá trị của
2

  2  f ( x)  dx

bằng

1

A.

23
.
4

B. 7 .
2

Câu 11.

(Mã 103 - 2020 Lần 1) Biết


1

A. 5 .
Câu 12.

B. 6 .

C. 9 .

D.

15
.
4

3

f  x  dx  2 . Giá trị của  3 f  x  dx bằng
1

C.

2
.
3

D. 8 .

(Mã 103 - 2020 Lần 1) Biết F ( x)  x 3 là một nguyên hàm của hàm số f ( x) trên  . Giá trị của

3

 (1  f ( x))dx bằng
1

A. 20.
Trang 2

B. 22.

C. 26.

D. 28.

3

Câu 13.



f  x  dx  6. Giá trị của

B. 3 .

C. 12 .

(Mã 104 - 2020 Lần 1) Biết

2

A. 36 .
Câu 14.

3

 2 f  x  dx bằng.
2

D. 8 .

2
(Mã 104 - 2020 Lần 1) Biết F  x   x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên  . Giá trị
3

của

 1  f ( x) dx bằng
1

A. 10 .
Câu 15.

B. 8 .

(Mã 101 - 2020 Lần 2) Biết
A. 3 .

Câu 16.

26
.
3

D.

3

3

3

2

2

2

C. 4 .

D. 5 .

1

1

0

0

B. 4 .

(Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết

C. 2 .
3

3

2

2

2

 f  x  dx  3 và  g  x  dx  1 . Khi đó   f  x   g  x dx

B. 2 .

(Mã 102 - 2020 Lần 2) Biết

C. 2 .

0

C. 3 .

2

f  x dx  3 và


1

A. 6 .
Câu 20.

A. 3 .

1

1

0

0

C. 6 .



f ( x)dx  2 và

2

1

1

 g ( x)dx  3. Khi đó  [ f ( x)  g ( x)]dx bằng
C.  1 .

B. 5 .

(Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết   f  x   2 x dx  5 . Khi đó
0

A. 7 .
Câu 23.

(Mã 103 - 2019) Biết

B. 3 .

0

D. 4 .
2

1

1

1

 f  x dx  2 và  g  x dx  6 , khi đó   f  x   g  x  dx bằng
B. 4 .

bằng
A. 7 .

 f  x  dx  3

B. 7 .



1

0

f ( x )dx  2 và

B. 6 .

D. 8 .

C. 4 .

0

A. 6 .

 f  x  dx bằng

2

(Mã 102 - 2019) Biết tích phân

(Mã 104 - 2019) Biết

1

C. 5 .

1

Câu 25.

D. 6 .

2

A. 8 .
Câu 24.

D. 4 .

2

1

Câu 22.

D.  1 .

  f  x   2 x  dx  4 . Khi đó  f  x  dx bằng

1

A. 1 .

1

C. 5 .

B. 2 .

(Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết

2

 g  x dx  2 . Khi đó   f  x   g  x  dx bằng?
1

2

Câu 21.

D. 2 .

2

B. 1 .

(Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết

D. 3 .

  f  x   2 x dx  3 . Khi đó  f  x  dx bằng

B. 5 .

(Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết

bằng

1

0

A. 1 .

D. 0 .

3

1

Câu 19.

bằng:

(Mã 101 - 2020 Lần 2) Biết   f  x   2x dx=2 . Khi đó  f  x dx bằng :

A. 4 .
Câu 18.

32
.
3

 f  x dx  4 và  g  x dx  1 . Khi đó:  f  x   g  x dx

B. 3 .

A. 1.
Câu 17.

C.



1

0

và

1

1

0

0

 g  x  dx  4 . Khi đó   f  x   g  x  dx

C.  1 .

D. 1.

g ( x )dx  4 , khi đó

  f ( x)  g ( x) dx bằng

C.  2 .

D. 2 .

1

0

Trang 3

1

Câu 26.



(Mã 101 2019) Biết

f  x dx  2 và

0

1

 g  x dx  3 , khi đó
0

A.  1 .

(Đề Tham Khảo 2019) Cho

 f  x  dx  2

Câu 28.

0

D. 5 .

1

1

0

0

 g  x  dx  5 , khi   f  x   2 g  x  dx

và

0

A. 8

  f  x   g  x dx bằng

C. 5 .

B. 1.
1

Câu 27.

1

C. 3

B. 1

bằng

D. 12

(THPT Ba Đình 2019) Khẳng định nào trong các khẳng định sau đúng với mọi hàm f , g liên
tục trên K và a , b là các số bất kỳ thuộc K ?
b

b

A.

b

b

b

  f ( x)  2 g ( x)dx   f ( x)dx +2  g ( x)dx .
a

a



B.

a

a

f ( x)
dx 
g ( x)

 f ( x)dx
a
b

.

 g ( x)dx
a

b

C.

b

b

b

  f ( x).g ( x)dx   f ( x)dx .  g ( x)dx .
a

a

a

a

2

Câu 29.

(THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho

Câu 30.

B. I  3 .

(THPT Cù Huy Cận -2019) Cho
bằng
A. 16 .

4

4

2

2

 f  x  dx  1 ,  f  t  dt  4 . Tính  f  y  dy .

2

A. I  5 .



D.

2

b

f ( x)dx =   f ( x)dx  .
a

2

C. I  3 .
2

2

2

0

0

0

C. 24 .

D. 10 .

 f  x  dx  3 và  g  x  dx  7 , khi đó 

B. 18 .
1

Câu 31.

(THPT - YÊN Định Thanh Hóa2019) Cho



3

f ( x) dx  1;

0

A. 1.
Câu 32.

B. 4.



 f  x   3 g  x  dx

f ( x) dx  5 . Tính

0

3

 f ( x) dx
1

C. 6.

(THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Cho
bằng
A. 12.

D. I  5 .

D. 5.

2

3

3

1

2

1

 f  x  dx  3 và  f  x  dx  4 . Khi đó  f  x  dx

B. 7.

D. 12 .

C. 1.

Câu 33. Cho hàm số f  x  liên tục, có đạo hàm trên  1; 2 ,f  1  8;f  2   1 . Tích phân

2

 f '  x dx

1

bằng
A. 1.
Câu 34.

C. 9.

B. 7.

(Sở

Thanh

Hóa

-

2019)

Cho

2

4

4

0

2

0

hàm

số

D. 9.

f  x

liên

tục

trên

 f ( x)dx  9;  f ( x)dx  4. Tính I   f ( x)dx.
A. I  5 .
Câu 35. Cho
A. 6

Trang 4

9
C. I  .
4

B. I  36 .

0

3

1

0

D. I  13 .

3

 f  x  dx  3 f  x  dx  3. Tích phân  f  x  dx bằng
1

B. 4

C. 2

D. 0

R

và

có

Câu 36.

(Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và

4

 f  x  dx  10 ,
0

4

3

 f  x  dx  4 . Tích phân  f  x  dx bằng
3

0

B. 7 .

A. 4 .
Câu 37.

C. 3 .

D. 6 .

(THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Nếu F   x  
F  4  bằng

1
B. 1  ln 7.
2

A. ln 7.
Câu 38.

1
và F 1  1 thì giá trị của
2x 1
D. 1  ln 7.

C. ln 3.

(THPT Đoàn Thượng - Hải Dương -2019) Cho hàm số f  x liên tục trên  thoả mãn
8

12

8

1

4

4

 f  x  dx  9 ,  f  x  dx  3 ,  f  x  dx  5 .
12

Tính I   f  x  dx .
1

A. I  17 .
Câu 39.

B. I  1 .

D. I  7 .

C. I  11 .

(THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  0;10 thỏa mãn
10

6

0

2

2

10

 f  x  dx  7 ,  f  x  dx  3 . Tính P   f  x  dx   f  x  dx .
0

Câu 40.

6

B. P  4 .

A. P  10 .

C. P  7 .

D. P  6 .

(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho f , g là hai hàm liên tục trên đoạn 1;3 thoả:
3

3

3

1

1

1

  f  x   3g  x dx  10 ,  2 f  x   g  x dx  6 . Tính   f  x   g  x  dx .
A. 7.
Câu 41.

B. 6.

C. 8.

D. 9.

(Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  0;10 và

10

 f  x  dx  7 ;
0

6

2

10

2

0

6

 f  x  dx  3 . Tính P   f  x  dx   f  x  dx .
A. P  4

B. P  10

D. P  4

C. P  7

Câu 42. Cho f , g là hai hàm số liên tục trên 1;3 thỏa mãn điều kiện

3

  f  x   3g  x dx=10 đồng thời
1

3

3

  2 f  x   g  x dx=6 . Tính   f  x   g  x dx .
1

1

A. 9 .
Câu 43.

B. 6 .

(THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Cho
3

thỏa:   f  x   3g  x   dx  10 và
1

A. 8.
2

(Mã 104 2017) Cho


0

f, g

3

D. 8 .
là hai hàm liên tục trên

1;3

3

 2 f  x   g  x  dx  6 . Tính I    f  x   g  x  dx .
1

1

B. 7.


Câu 44.

C. 7 .

C. 9.

D. 6.


2

f  x  dx  5 . Tính I    f  x   2sin x  dx  5 .
0

Trang 5

A. I  7

B. I  5 
2

Câu 45.

(Mã 110 2017) Cho



17
2

B. I 

D. I  5  

C. I  3

2

f  x  dx  2 và

1

A. I 


2

2

1

1

 g  x  dx  1 . Tính I    x  2 f  x   3g  x  dx .

5
2

C. I 

7
2
5

Câu 46.

11
2

D. I 



(THPT Hàm Rồng Thanh Hóa 2019) Cho hai tích phân

2

f  x  dx  8 và

 g  x  dx  3 . Tính

2

5

5

I

  f  x   4 g  x   1 dx

2

A. 13 .

C. 11 .

B. 27 .
2

Câu 47.

(Sở Bình Phước 2019) Cho



2

f ( x)dx  2 và

1

bằng
5
A.
2
Câu 48.

B.

(Sở Phú Thọ 2019) Cho

 g ( x)dx  1 , khi đó

1

7
2

17
2

C.

2

2

0

0

  x  2 f ( x)  3g ( x) dx

1

D.

11
2

 f  x  dx  3 ,  g  x  dx  1 thì   f  x   5 g  x   x  dx bằng:
0

C. 8 .
5

Câu 49.

2

2

B. 0 .

A. 12 .

D. 3 .



(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho

D. 10

f  x  dx  2 . Tích phân

0

bằng
A. 140 .

B. 130 .

5

 4 f  x   3x
0

C. 120 .

1

B. 3 .
1

Câu 51. Cho



f  x  dx  1 tích phân

0

2

  4 f  x   2 x  dx  1 . Khi đó  f  x dx bằng:

(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Cho
A. 1 .

1

D. 1 .

C. 3 .

1

  2 f  x   3x  dx
2

bằng

0

B. 0 .

A. 1.

D.  1 .

C. 3 .
0

Câu 52.

(THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tính tích phân I 

  2 x  1 dx .

1

B. I  1 .

A. I  0 .

C. I  2 .

D. I  

C. 5 .

D. 6 .

1

Câu 53. Tích phân

  3 x  1 x  3 dx

bằng

0

A. 12 .

B. 9 .


2

Câu 54.

(KTNL GV Thpt Lý Thái Tổ -2019) Giá trị của  sin xdx bằng
0

A. 0.

Trang 6

B. 1.

 dx

D. 133 .

2

Câu 50.

2

C. -1.

D.


2

.

1
.
2

2

Câu 55.



(KTNL GV Bắc Giang 2019) Tính tích phân I  (2 x  1) dx
0

A. I  5 .

C. I  2 .

B. I  6 .
b

Câu 56. Với a, b là các tham số thực. Giá trị tích phân

  3x

2

D. I  4 .

 2ax  1 dx bằng

0

A. b3  b2 a  b .

B. b3  b2 a  b .

C. b3  ba 2  b .

D. 3b2  2ab  1 .


4

Câu 57.

(THPT An Lão Hải Phòng 2019) Giả sử I   sin 3xdx  a  b
0

a  b là
1
A. 
6
Câu 58.

1
6

B. 

C. 

3
10

 a, b    . Khi đó giá trị của
D.

1
5

(Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hàm số f  x  liên tục trên  và
2





f  x   3 x 2 dx  10 . Tính

0

2

 f  x  dx .
0

D. 18 .

C. 18 .

B.  2 .

A. 2 .

m

Câu 59.

2
2

(Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho

  3x

2

 2 x  1dx  6 . Giá trị của tham số m thuộc

0

khoảng nào sau đây?
A.  1; 2  .
2

Câu 60.

(Mã 104 2018)

B.  ;0  .

dx

 2x  3

C.  0; 4  .

D.  3;1 .

bằng

1

A.

1
ln 35
2
2

Câu 61.

(Mã 103 2018)

7
5

C.

1 7
ln
2 5

D. 2 ln

1
ln 2
3

C.

2
ln 2
3

D. ln 2

B. ln
dx

 3x  2

7
5

bằng

1

A. 2 ln 2

B.

2

Câu 62.

(Đề Tham Khảo 2018) Tích phân

dx

 x3

bằng

0

A.

2
15

B.
1

Câu 63.

(Mã 105 2017) Cho

 1

16
225

C. log

5
3

1 

  x  1  x  2  dx  a ln 2  b ln 3

D. ln

5
3

với a, b là các số nguyên. Mệnh đề nào

0

dưới đây đúng?
A. a  2b  0

B. a  b  2

C. a  2b  0

D. a  b  2

e

Câu 64.

1 1 
(THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tính tích phân I     2 dx
x x 
1
1
1
A. I 
B. I   1
C. I  1
e
e

D. I  e

Trang 7

3

Câu 65.

(THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Tính tích phân I  
0

A. I  

21
.
100

5
B. I  ln .
2

5
C. I  log .
2
2

Câu 66.

(THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019)

dx
.
x2

dx

 3x  2

D. I 

4581
.
5000

bằng

1

2
B. ln 2 .
3

A. 2 ln 2 .
2

Câu 67. Tính tích phân I  
1

1
ln 2 .
3

C. ln 2 .

D.

C. I  1  ln 2 .

D. I  2 ln 2 .

x 1
dx .
x
B. I 

A. I  1  ln 2 .

7
.
4

3

x2
dx  a  b ln c, với a , b, c  , c  9. Tính tổng S  a  b  c.
x
1
A. S  7 .
B. S  5 .
C. S  8 .
D. S  6 .

Câu 68. Biết

Câu 69.



(Mã 110 2017) Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x  
A. I 

1
2

B. I 

1
e

ln x
. Tính: I  F  e   F 1 ?
x

D. I  e

C. I  1

1

Câu 70.

(Mã 102 2018)  e3 x1dx bằng
0

1
A.  e 4  e 
3

B. e3  e

C.

1 4
e  e
3

D. e 4  e

C.

1 5 2
e e
3

D. e5  e 2

2

Câu 71.

(Mã 101 2018)  e3 x 1dx bằng
1

1
A.  e 5  e 2 
3

B.
6

Câu 72.

(Mã 123 2017) Cho


0

A. I  5

1 5 2
e  e 
3
2

f ( x) dx  12 . Tính I   f (3 x )dx.
0

B. I  36

C. I  4

D. I  6
1

Câu 73.

(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tích phân I  
0

A. ln 2  1 .

B.  ln 2 .

C. ln 2 .
3

Câu 74.

(THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên -2019) Tính K  
2

A. K  ln 2 .

Trang 8

1 8
B. K  ln .
2 3

1
dx có giá trị bằng
x 1
D. 1  ln 2 .

x
dx .
x 1
2

C. K  2ln 2 .

8
D. K  ln .
3