SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2022 - 2023
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
(Đề thi có 03 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Câu 1: Nếu
A.

là các số tự nhiên sao cho
B.

Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của

thì

bằng

C.

D.

để biểu thức

nhận giá trị nguyên?

A.
B.
C.
D.
Câu 3: Một chiếc xe khách khởi hành từ Hà Nội và một chiếc xe tải khởi hành từ Vinh cùng một lúc và
đi ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau, xe khách chạy thêm giờ thì đến Vinh, còn xe tải chạy thêm
giờ
phút thì đến Hà Nội. Biết Hà Nội cách Vinh là
km, hai xe đi cùng tuyến đường. Vận tốc của xe
khách bằng
A.
km/h.
B.
km/h.
C. km/h.
D.
km/h.
Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ
, cho đa giác
có tọa độ các đỉnh
Đường thẳng
chia đa giác thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ
, đường thẳng
cắt hai trục tọa độ tại hai
điểm
và
sao cho tam giác
cân. Khi đó, số giá trị của
thỏa mãn là
A.
B.
C.
D.
Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ

, cho parabol

:

Có bao nhiêu điểm

thuộc

sao cho khoảng cách từ
đến trục hoành gấp lần khoảng cách từ
đến trục tung?
A.
B.
C.
D.
Câu 7: Cho phương trình
( là tham số), có hai nghiệm đều dương và một nghiệm là
bình phương của nghiệm kia. Gọi hai nghiệm của phương trình là
với
Giá trị của
bằng
A.
B.
C.
D.
Câu 8: Cho hai số

và

thỏa mãn điều kiện

Gọi

là giá trị của

để tổng

đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.
Câu 9: Khi tính toán thể tích căn phòng hình hộp chữ nhật, bạn An đã nhập sai chiều cao vào máy tính,
An đã nhập số liệu lớn hơn
sao, lại trừ bớt đi

chiều cao thật. Sau khi có kết quả, An nói: “Mình đã nhầm, nhưng không

kết quả này thì sẽ cho kết quả đúng thôi”. Bạn Bình, người đã tính đúng kết quả nói

rằng: “Kết quả đó vẫn chưa đúng, An phải tiếp tục cộng thêm
A.
B.
C.
Câu 10: Cho tam giác
dài của
bằng
A.

vuông tại
B.

kẻ đường cao

nữa mới đúng”. Thể tích căn phòng bằng
D.
biết

C.

Độ
D.

Trang 1/10

Câu 11: Trong hình bên,
là hình thang có hai đáy
song song với
song song với
lần lượt cắt
tại Z,
Khi đó tỉ số diện tích
của tam giác
và hình thang
bằng
A.

B.

C.

D.

Câu 12: Cho hình thang
có
song song với
Qua
kẻ đường thẳng song song với hai đáy, cắt
giá trị của

hai đường chéo
và
lần lượt tại

và
và

cắt nhau tại
Khi
thì

bằng

A.

B.

C.

D.

Câu 13: Cho tam giác
đều, có cạnh bằng
Trên đoạn
lấy điểm
sao cho
Đường trung trực của đoạn
cắt
tại
Độ dài của
bằng
A.
B.
C.
D.
Câu 14: Cho tứ giác
nội tiếp đường tròn
đường thẳng
cắt đường thẳng
đường thẳng
cắt đường thẳng
là các tiếp điểm). Biết
A.

Từ
lần lượt kẻ các tiếp tuyến
Độ dài của
bằng

B.

Câu 15: Cho tam giác
đường thẳng

tại

tròn ngoại tiếp các tam giác

tại

(

khác

(

là điểm di động trên cạnh

). Gọi

Giá trị lớn nhất của
B.

với

D.

đều, nội tiếp đường tròn tâm

cắt đường tròn

A.

C.

tại

lần lượt là bán kính của đường
bằng

C.

D.

Câu 16: Một đoàn học sinh đi trải nghiệm ở công viên Văn Lang thành phố Việt Trì bằng ô tô. Nếu mỗi
ô tô chở
học sinh thì thừa học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì số học sinh được chia đều cho các ô tô
còn lại. Biết mỗi ô tô chở không quá
học sinh, số học sinh của đoàn tham quan là
A.
B.
C.
D.
B. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Bài 1 (3,0 điểm).
1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương
2. Cho các số nguyên dương

thỏa mãn:
thỏa mãn

Chứng minh rằng:
Bài 2 (4,0 điểm).
1. Cho

là các số thực thỏa mãn

và

là số nguyên.

. Chứng minh rằng:

2. Giải phương trình:
3. Giải hệ phương trình:

Trang 2/10

Bài 3 (4,0 điểm).
Cho tam giác
Trên cung
chiếu của

cân tại

Một đường tròn tiếp xúc với

nằm trong tam giác
trên

của hai đường thẳng

lấy điểm

Gọi
và

(

khác

Gọi

là giao điểm của hai đường thẳng
là giao điểm của hai đường thẳng

lần lượt tại
lần lượt là hình
và

,

là giao điểm

và

a) Chứng minh
b) Chứng minh
c) Gọi

và

thứ hai của

và

song song với
lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác
(

khác

). Chứng minh khi

và

di động trên cung nhỏ

là giao điểm
thì đường thẳng

luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4 (1,0 điểm).
Cho

là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức:

------------------HẾT-----------------Họ và tên thí sinh:…………………………………………….……Số báo danh:…………..…………….
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Trang 3/10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
PHÚ THỌ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2022 – 2023

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn: TOÁN
(Hướng dẫn chấm có 07 trang)
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM
Câu

Đáp án

Câu

Đáp án

1

A

9

B

2

A

10

A

3

A

11

A

4

B

12

B

5

D

13

A

6

D

14

C

7

D

15

B

8

B

16

D

II. PHẦN TỰ LUẬN
Lưu ý khi chấm bài
- Hướng dẫn chấm (HDC) dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm, giám khảo cần
bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic.
- Thí sinh làm bài theo cách khác với HDC mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với
thang điểm của HDC.
- Điểm bài thi là tổng điểm các bài không làm tròn số.
Bài 1 (3,0 điểm):
1). Tìm tất cả các căp số nguyên dương
2). Cho các số nguyên dương
Chứng minh rằng:

thỏa mãn:
thỏa mãn:

và

là số nguyên.

Ý

Đáp án

1). Tìm tất cả các căp số nguyên dương

Điểm

thỏa mãn:

Xét phương trình:

0,25

1. (1,5 điểm)

Đặt
Vì

, ta được PT :

0,25

nên

Trang 4/10

Ý

Đáp án
Lại có:

nên

Từ (1) suy ra:

Điểm
Suy ra:

0,25

chẵn nên

0,25

Với

Khi đó

là 2 nghiệm của phương trình:

(loại do
Với

, thỏa mãn (*). Khi đó

trình:

nguyên dương).
là 2 nghiệm của phương

(t/m).

Vậy có 2 cặp số nguyên dương
2). Cho các số nguyên dương
Chứng minh rằng:

0,25

thỏa mãn là:

thỏa mãn:

và

và

là số nguyên.

Gọi
Thay vào

0,25

, ta được:

Từ (2) suy ra:
2. (1,5 điểm)

0,25

Và

mà
và

Vậy ta phải có:

nên

0,25

nên

0,25

kéo theo

Suy ra:

0,25
Suy ra:

0,25

Lại có:
Do đó:

0.25

là số nguyên.

Bài 2 (4,0 điểm).
1). Cho

là các số thực thỏa mãn:

. Chứng minh

2). Giải phương trình:

3). Giải hệ phương trình:
Ý
1). Cho

Đáp án
là các số thực thỏa mãn:

Điểm
. Chứng minh

Từ giả thiết, ta có:
0,25

Trang 5/10

Ý

Đáp án

Điểm

0,25

1.
(1,0
điểm)

0,25

Suy ra:
Áp dụng kết quả

, ta có:

0,25

Do đó:
2). Giải phương trình:
Điều kiện:
Ta có:
0,25
Đặt
Khi đó phương trình

trở thành:
0,25

2.(1,0
điểm)
Với

0,25

Với

(vô nghiệm)

0,25

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm
Trang 6/10

Ý

Đáp án

Điểm

3). Giải hệ phương trình:
Điều kiện:

0,25

Xét phương trình

:
0,25

Xét
3.(2,0
điểm)

không thỏa mãn hệ phương trình.

Xét

,

ta

có:
0,25

0,25
Do
Với

nên
thay vào phương trình ( 2) của hệ , được phương trình:
0,25

Nhận xét

nên

0,25

Vì
0,25

Lại có:

0,25

Suy ra:

Trang 7/10

Ý

Đáp án

PT

Điểm

Vậy hpt đã cho có nghiệm duy nhất

Bài 3 (3,0 điểm): Cho tam giác
cân tại
Một đường tròn tiếp xúc với
lần
lượt tại
Trên cung
nằm trong tam giác
lấy điểm
(
khác
Gọi
lần
lượt là hình chiếu của
trên
Gọi
là giao điểm của hai đường thẳng
và
,
là
giao điểm của hai đường thẳng
và
là giao điểm của hai đường thẳng
và
a) Chứng minh
b) Chứng minh
song song với
c) Gọi
và
lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác
và
là giao điểm thứ
hai của
và
( khác
luôn đi qua một điểm cố định.

). Chứng minh khi M di động trên cung nhỏ

Ý

thì đường thẳng

Đáp án

Điểm

a. (1,5 điểm)

Từ giả thiết có tứ giác
Tứ giác
Do tam giác

nội tiếp suy ra

0,25

nội tiếp nên
cân tại

0,25
nên

0,25

hay
Vì thế có

0,25
là đường phân giác trong
0.25

Từ đó có:
Suy ra:
Tứ giác

0,25
nội tiếp suy ra

và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) nên
Tương tự:

mà

(góc nội tiếp
.

0,25
0,25
Trang 8/10

Ý

Đáp án

b. (1,5 điểm) Từ đó:
Do tứ giác

Suy ra tứ giác

nội tiếp.

0,25

nội tiếp nên

Theo

0,25

nên

Từ đó suy ra

Điểm

.

0,25

song song với

0,25

c.(1,0 điểm)

Do

nên

,

(tứ giác

nội tiếp).

Suy ra
Vì

Bài 4: Cho

nằm khác phía đối với
nên
là tiếp tuyến của đường tròn
tại
Tương tự
là tiếp tuyến của đường tròn
tại

Gọi là giao điểm của đường thẳng
và
Chứng minh:
nên
Suy ra
đi qua trung điểm của
.
Do
nên
đi qua trung điểm
của
Từ đó ta được đpcm.
là các số thực không âm thỏa mãn

là trung điểm của
,

là điểm cố định.

0,25
0,25
0,25
0,25

Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức
Ý

Đáp án

Điểm

Đặt
Khi đó có

.
0,25

Chỉ ra được:
4. (1,0điểm)

Trang 9/10

Nhận xét:

, suy ra

Hay
0,25

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
Ngoài ra
Suy ra
Do
suy ra

0,25

nên

Từ đó
Dấu bằng xảy ra khi:
và các hoán vị hay

0,25

hoán vị.
Vậy GTNN của

và các

bằng

.

--------------------------------HẾT--------------------------------

Trang 10/10