Đề thi thử soạn theo hướng Đánh giá năng lực năm 2021-2022 - Môn Toán
ĐỀ SỐ 2 (Theo ĐHQGHN-2)
Tư duy định lượng – Toán học
Câu 1 (NB): Hà Nội tính đến 10 giờ 45 (giờ VN) ngày 16/12/2020 đã có 15 quốc gia ghi nhận số ca mắc
COVID-19 trên 1 triệu.

(Nguồn: Worldometers.info)
Tính đến ngày 16/12/2020 Quốc gia nào có số ca mắc Covid 19 – nhiều nhất thế giới?
A. Ấn Độ

B. Trung Quốc

Câu 2 (TH): Cho hàm số
A. -8

C. Thổ Nhĩ Kỳ

D. Mỹ

C. 2

D. 8

. Tính
B. -2

Câu 3 (NB): Nghiệm của phương trình
A.

B.

là:
C.

Câu 4 (VD): Cho hệ phương trình:

D.
, cặp nghiệm của hệ phương trình đã cho là:

A.

B.

C.

D.

Câu 5 (TH): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A, B như hình vẽ bên.

Trang 1

Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức
A.

B.

C.

Câu 6 (TH): Trong không gian

D.

, cho hai điểm

. Phương trình mặt phẳng

trung trực của đoạn AB là:
A.

B.

Câu 7 (NB): Trong không gian
A.

.

B.

Câu 8 (VD): Cho bất phương trình:

C.

D.

, tọa độ điểm đối xứng với điểm
.

C.

.

qua mặt phẳng
D. .

là

.

Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình trên là:
Trang 2

A.

B. 1

C.

Câu 9 (TH): Phương trình
A. 3

D. 0

có số nghiệm thuộc đoạn

B. 5

C. 2

là:
D. 4

Câu 10 (TH): Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá của mét khoản đầu tiên là 10000
đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 3000 đồng so với giá của mét khoan
ngay trước đó. Một người muốn ký hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan một giếng sâu 100 mét
lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải
thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu?
A. 15580000 đồng
Câu 11 (TH): Biết
A.

B. 18500000 đồng

C. 15850000 đồng

là một nguyên hàm của
B.

thỏa mãn
C.

Câu 12 (VD): Cho hàm số

. Tính

.

D.

có bảng biến thiên:

Tìm tất cả cá giá trị m để bất phương trình
A.

D. 15050000 đồng

B.

có nghiệm?
C.

D.

Câu 13 (VD): Một ô tô đang đứng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc
, trong đó

là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động.

Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất
là:
A. 10 (m)

B. 6 (m)

C. 12 (m)

D. 8 (m)

Câu 14 (TH): Một người gửi tiền vào ngân hàng với lãi suát không đổi là 6% trên năm. Biết rằng nếu
không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (lãi kép).
Người đó định gửi tiền trong vòng 3 năm, sau đó rút ra 500 triệu đồng. Hỏi số tiền ít nhất người đó phải
gửi vào ngân hàng (làm tròn đến hàng triệu) là bao nhiêu triệu đồng?
A. 420

B. 410

C. 400

Câu 15 (TH): Nghiệm của bất phương trình
A.

B.

D. 390
là:

C.

D.

Câu 16 (TH): Hình phẳng D (phần gạch chéo trên hình) giới hạn bởi đồ thị hàm số
đường thẳng

,

và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi hình phẳng D

quay quanh trục Ox.
Trang 3

A.

B.

C.

D.

Câu 17 (VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số

đồng biến trên

?
A. 6

B. 7

Câu 18 (TH): Cặp số

C. 5

D. 8

nào dưới đây thỏa đẳng thức

A. (−2;−1)

B. (−2;−2)

?

C. (2;−2)

D. (2;−1)

Câu 19 (VD): Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
A.

B.

C.

D.

Câu 20 (VD): Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh
. Khi đó diện tích của
A.

,

là:

B.

C.

D.

Câu 21 (TH): Với những giá trị nào của m thì đường thẳng

tiếp xúc với đường tròn

?
A.

và

B.

và

C.

D.

Câu 22 (VD): Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
phẳng chứa trục Oy và vuông góc với
A.

.

B.

. Phương trình của mặt

là
.

C.

Câu 23 (TH): Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng

.

D.
và bán kính đáy bằng a. Độ dài đường

sinh của hình nón đã cho bằng
A.

B.

C.

D.

Câu 24 (TH): Một đồ chơi bằng gỗ có dạng một khối nón và một nửa khối cầu ghép với nhau (hình bên).
Đường sinh của khối nón bằng 5 cm, đường cao của khối nón là 4 cm. Thể tích của đồ chơi bằng:

Trang 4

A.

B.

C.

Câu 25 (VD): Cho khối lăng trụ đứng
. Đường thẳng

D.
có đáy là tam giác vuông ABC vuông tại A,

tạo với mặt phẳng

góc

,

. Tính thể tích khối lăng trụ

.
A.

B.

C.

Câu 26 (VD): Cho tứ diện ABCD có
Biết

D.
là một mặt phẳng song song với AB và CD.

cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là một hình thoi, chu vi của hình thoi đó bằng:

A.

B.

C.

D.

Câu 27 (VD): Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu
mặt phẳng

và

. Tìm điểm I trên mặt cầu

sao cho khoảng cách từ

đến

lớn

nhất.
A.

B.

C.

D.

Câu 28 (VD): Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
của d trên mặt phẳng
A.

. Hình chiếu vuông góc

là một đường thẳng có vectơ chỉ phương là
B.

C.

D.

Câu 29 (VD): Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

và điểm

M thay đổi trên mặt cầu. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng OM là
A. 12

B. 3

C. 9

D. 6

Câu 30 (VDC): Trong không gian Oxyz, cho hình hộp
,
A.

.

biết

,

, điểm M thuộc cạnh DC . GTNN của tổng các khoảng cách
B.

.

C.

.

D.

là:
.
Trang 5

Câu 31 (VD): Cho hàm bậc ba

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

nhiêu điểm cực trị trên đoạn

A. 7

có bao

.

B. 8

C. 5

D. 6

Câu 32 (VD): Có bao nhiêu giá trị m nguyên bé hơn −6 để phương trình

có

nghiệm?
A. 5

B. 6

C. 7

Câu 33 (VD): Cho hàm số
với
A. −8.

thỏa mãn
. Tính

D. 8
và

. Biết rằng

.

B. −24.

C. 24.

D. 8.

Câu 34 (VD): Có 10 học sinh, gồm 5 bạn lớp 12A và 5 bạn lớp 12B tham gia một trò chơi. Để thực hiện
trò chơi, người điều khiển ghép ngẫu nhiên 10 học sinh đó thành 5 cặp. Xác suất để không có cặp nào
gồm hai học sinh cùng lớp bằng:
A.

B.

C.

D.

Câu 35 (VD): Cho hình tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi
đối xứng của
diện

qua các mặt phẳng

lần lượt là điểm
. Tính thể tích của khối tứ

.

A.

B.

C.

Câu 36 (NB): Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
, khi đó

D.
tại điểm có hoành độ bằng 1 có dạng

bằng:

Đáp án:…………………………………………
Câu 37 (TH): Hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?

Đáp án:…………………………………………

Trang 6

Câu 38 (TH): Trong không gian Oxyz, cho điểm
Khoảng cách từ

đến

và mặt phẳng

.

bằng:

Đáp án:…………………………………………
Câu 39 (TH): Một lớp 11 có 30 học sinh, gồm 15 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách xếp các học sinh
thành hai hàng, một hàng nam và một hàng nữ trong lúc tập thể dục giữa giờ?
Đáp án:…………………………………………
Câu 40 (VDC): Cho

là đa thức thỏa mãn

. Tính

.

Đáp án:…………………………………………
Câu 41 (TH): Giá trị lớn nhất của hàm số

là:

Đáp án:…………………………………………
Câu 42 (TH): Đồ thị hàm số

có điểm cực tiểu là

. Giá trị của

bằng:

Đáp án:…………………………………………
Câu 43 (TH): Cho hình phẳng

giới hạn bởi các đường

tròn xoay tạo thành khi quay hình
giản. Tính tổng

quanh trục hoành là

và
với

. Thể tích của khối
và

là phân số tối

.

Đáp án:…………………………………………
Câu 44 (VD): Cho hàm số

Hỏi phương trình

liên tục trên

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Đáp án:…………………………………………
Câu 45 (VD): Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm M biểu diễn của số phức z thỏa mãn
là phương trình đường thẳng có dạng

. Khi đó tỉ số

bằng:

Đáp án:…………………………………………
Câu 46 (TH): Cho hình lăng trụ tứ giác đều
Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng

có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
và

.

?
Trang 7

Đáp án:…………………………………………
Câu 47 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

và điểm

. Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là
Đáp án:…………………………………………
Câu 48 (VDC): Cho các số dương x, y thỏa mãn
thức

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

.

Đáp án:…………………………………………
Câu 49 (VD): Cho lăng trụ đứng

có ABC là tam giác vuông

trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và

, M là

.

Đáp án:…………………………………………
Câu 50 (VD): Ông A dự định sử dụng hết 5m 2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ
nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung
tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án:…………………………………………

Trang 8

Đáp án
1. D

2. D

3. D

4. B

5. B

6. D

7. C

8. A

9. C

10. C

11. A

12. A

13. D

14. A

15. C

16. A

17. D

18. B

19. D

20. C

21. B

22. B

23. B

24. A

25. B

26. D

27. A

28. A

29. D

30. C

31. D

41. 3

32. C

42. 4

33. D

43. 44

34. D

44. 3

35. D

45.

36.

46.

37. 3
47.

38. 5.

39.

49.
48.

40.
50.
1,01

Trang 9

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1 (NB): Hà Nội tính đến 10 giờ 45 (giờ VN) ngày 16/12/2020 đã có 15 quốc gia ghi nhận số ca mắc
COVID-19 trên 1 triệu.

(Nguồn: Worldometers.info)
Tính đến ngày 16/12/2020 Quốc gia nào có số ca mắc Covid 19 – nhiều nhất thế giới?
A. Ấn Độ

B. Trung Quốc

C. Thổ Nhĩ Kỳ

D. Mỹ

Phương pháp giải: Quan sát biểu đồ, lấy thông tin số ca mắc Covid-19 nhiều nhất thế giới tính đến ngày
16/12/2020.
Giải chi tiết: Tính đến ngày 16/12/2020 Mỹ có số ca mắc Covid-19 nhiều nhất thế giới là: hơn 17 triệu
người.
Câu 2 (TH): Cho hàm số
A. -8

. Tính
B. -2

C. 2

D. 8

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:
Câu 3 (NB): Nghiệm của phương trình
A.

B.

là:
C.

D.

Phương pháp giải: Giải phương trình logarit:
Trang 10

Giải chi tiết:
Câu 4 (VD): Cho hệ phương trình:

, cặp nghiệm của hệ phương trình đã cho là:

A.

B.

C.

D.

Phương pháp giải: Với dạng này ta sẽ sử dụng phương pháp thế. Từ phương trình bậc nhất ta biểu diễn
ẩn này theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn lại.
Giải chi tiết:

Câu 5 (TH): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho các điểm A, B như hình vẽ bên.

Trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức
A.

B.

C.

D.

Phương pháp giải: - Tìm tọa độ trung điểm I của AB:

- Số phức được biểu diễn bởi điểm
Giải chi tiết: Dựa vào hình vẽ ta thấy

.

là:

.
.

Trang 11

Gọi I là trung điểm của AB

.

Vậy trung điểm của đoạn thẳng AB biểu diễn số phức
Câu 6 (TH): Trong không gian

.

, cho hai điểm

. Phương trình mặt phẳng

trung trực của đoạn AB là:
A.

B.

C.

Phương pháp giải: - Tìm vectơ
- Tìm trung điểm

của

D.

là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực của

là điểm thuộc mặt phẳng trung trực của

- Phương trình mặt phẳng đi qua

và có 1 VTPT

.

.
là:

.
Giải chi tiết: Gọi mặt phẳng
Ta có:

là mặt phẳng trung trực của

.

Khi đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
Gọi

.

là trung điểm của

Khi đó mặt phẳng

là

.

.

đi qua trung điểm

và có 1 VTPT

có phương trình là:

.
Câu 7 (NB): Trong không gian
A.

.

B.

, tọa độ điểm đối xứng với điểm
.

C.

Phương pháp giải: Tọa độ điểm đối xứng với điểm
Giải chi tiết: Tọa độ điểm đối xứng với điểm
Câu 8 (VD): Cho bất phương trình:
A.

B. 1

.

qua mặt phẳng
D. .

.

qua mặt phẳng
qua mặt phẳng

là

là:
là:

.

Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình trên là:
C.

D. 0

Phương pháp giải: Tìm ĐKXĐ.
Giải bất phương trình theo hai trường hợp:
;
Từ đó xác định được nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình.
Giải chi tiết: ĐKXĐ:
TH1:
Trang 12

(vì

Kết hợp với điều kiện

)

Tập nghiệm của bất phương trình là

.

TH2:

(vì

Kết hợp với điều kiện

)

, nghiệm của bất phương trình là

.

Kết hợp hai trường hợp ta được tập nghiệm của bất phương trình là
Vậy nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình là
Câu 9 (TH): Phương trình
A. 3

B. 5

.

có số nghiệm thuộc đoạn
C. 2

.

là:
D. 4

Trang 13

Phương pháp giải: Giải phương trình lượng giác cơ bản:
nghiệm trên

. Tìm

.

Giải chi tiết: Ta có:

Trên

phương trình có 2 nghiệm

.

Câu 10 (TH): Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá của mét khoản đầu tiên là 10000
đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm 3000 đồng so với giá của mét khoan
ngay trước đó. Một người muốn ký hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan một giếng sâu 100 mét
lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải
thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu?
A. 15580000 đồng

B. 18500000 đồng

C. 15850000 đồng

D. 15050000 đồng

Phương pháp giải: - Thành lập cấp số cộng.
- Tổng

số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu

, công sai

Giải chi tiết: Số tiền phải thanh toán là 1 cấp số cộng với

là:

đồng và

.
đồng, ta có:

Vậy giá tiền phải thanh toán khi khoan một giếng sâu 100 mét là:
.
Câu 11 (TH): Biết
A.

là một nguyên hàm của
B.

thỏa mãn
C.

. Tính

.

D.

Phương pháp giải: - Biến đổi:
- Áp dụng công thức tính nguyên hàm:
- Thay

, tính

. Từ đó tính

.
.

Giải chi tiết: Ta có:
Trang 14

Theo bài ra ta có:
Do đó

.

Vậy:

.

Câu 12 (VD): Cho hàm số

có bảng biến thiên:

Tìm tất cả cá giá trị m để bất phương trình
A.

có nghiệm?

B.

C.

D.

Phương pháp giải: - Đặt ẩn phụ

, tìm điều kiện của

- Xét hàm

.

và lập bảng biến thiên trên

Bất phương trình

có nghiệm nếu

Giải chi tiết: Đặt

thì

Bảng biến thiên của

(

).

.
. Với

thì

.

:

Do đó bất phương trình

có nghiệm khi và chỉ khi

.

Câu 13 (VD): Một ô tô đang đứng và bắt đầu chuyển động theo một đường thẳng với gia tốc
, trong đó

là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu chuyển động.

Hỏi quãng đường ô tô đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất
là:
A. 10 (m)

B. 6 (m)

Phương pháp giải: - Tìm hàm vận tốc:

C. 12 (m)

D. 8 (m)

.

Trang 15

- Sử dụng giả thiết
- Tìm thời điểm

xác định hằng số

.

mà vận tốc đạt giá trị lớn nhất.

- Tính quãng đường từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm

:

.

Giải chi tiết: Ta có:
Theo bài ra ta có: Ô tô đang đứng yên và bắt đầu chuyển động, do đó
Khi đó ta có

.

, đây là một parabol có bề lõm hướng xuống, đạt giá trị lớn nhất tại

.
Vậy quãng đường ô tô đi được từ khi chuyển động đến khi vận tốc của ô tô đạt giá trị lớn nhất là:
.
Câu 14 (TH): Một người gửi tiền vào ngân hàng với lãi suát không đổi là 6% trên năm. Biết rằng nếu
không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm, số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu (lãi kép).
Người đó định gửi tiền trong vòng 3 năm, sau đó rút ra 500 triệu đồng. Hỏi số tiền ít nhất người đó phải
gửi vào ngân hàng (làm tròn đến hàng triệu) là bao nhiêu triệu đồng?
A. 420

B. 410

C. 400

D. 390

Phương pháp giải: - Sử dụng công thức lãi kép:

trong đó

là số tiền nhận được sau n

năm, A là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất trên 1 kì hạn, n là số kì hạn.
- Để sau 3 năm người đó rút được 500 triệu đồng thì số tiền nhận được sau 3 năm (cả gốc và lãi) phải
không nhỏ hơn 500 triệu đồng. Giải bất phương trình tìm số tiền gửi ban đầu.
Giải chi tiết: Để sau 3 năm người đó rút được 500 triệu đồng thì số tiền nhận được sau 3 năm (cả gốc và
lãi) phải không nhỏ hơn 500 triệu đồng.
Gọi số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng là x (triệu đồng), số tiền người đó nhận được sau 3 năm là:
(triệu đồng).
Khi đó ta có

(triệu đồng).

Bản word phát hành từ website Tailieuchuan.vn
Câu 15 (TH): Nghiệm của bất phương trình
A.

B.

là:
C.

D.

Trang 16

Phương pháp giải: Giải bất phương trình logarit:

.

Giải chi tiết: Ta có:

.
Câu 16 (TH): Hình phẳng D (phần gạch chéo trên hình) giới hạn bởi đồ thị hàm số
đường thẳng

,

và trục hoành. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi hình phẳng D

quay quanh trục Ox.

A.

B.

C.

D.

Phương pháp giải: Sử dụng công thức ứng dụng tích phân tính thể tích khối tròn xoay.
Giải chi tiết: Đường thẳng đi đi qua hai điểm

nên có phương trình

Khi đó thể tích phần tròn xoay cần tính là:

.
Câu 17 (VD): Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để hàm số

đồng biến trên

?
Trang 17

A. 6

B. 7

C. 5

Phương pháp giải: - Để hàm số đồng biến trên
- Cô lập

D. 8
thì

.

đưa bất phương trình về dạng

- Sử dụng BĐT Cô-si tìm

.

.

Giải chi tiết: TXĐ:
Ta có:

.

Để hàm số đồng biến trên

thì

.

Đặt

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
, dấu “=” xảy ra

.

Từ đó ta suy ra được

, kết hợp điều kiện

Vậy có 8 giá trị của

thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 18 (TH): Cặp số

.

nào dưới đây thỏa đẳng thức

A. (−2;−1)

B. (−2;−2)

C. (2;−2)

Phương pháp giải: Áp dụng tính chất của hai số phức bằng nhau:

?
D. (2;−1)
,

.
Giải chi tiết: Ta có:

.
Câu 19 (VD): Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
Trang 18

A.

B.

C.

D.

Phương pháp giải: - Sử dụng công thức
- Đặt

;

, sử dụng công thức

, biến đổi rút ra mối quan hệ giữa

và kết luận.

Giải chi tiết: Theo bài ra ta có:

Đặt

ta có:

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức

là đường thẳng

.

Câu 20 (VD): Cho tam giác ABC có phương trình các cạnh
. Khi đó diện tích của
A.

là:

B.

C.

Phương pháp giải: B1: Tìm tọa độ các đỉnh
B2: Sử dụng công thức:

Giải chi tiết: Tọa độ điểm

,

D.
của

.

.

là nghiệm của hệ phương trình:

Tọa độ điểm

là nghiệm của hệ phương trình:

Tọa độ điểm

là nghiệm của hệ phương trình:

.

.

.

Trang 19

.
Ta có:

.

.
Câu 21 (TH): Với những giá trị nào của m thì đường thẳng

tiếp xúc với đường tròn

?
A.

và

B.

và

C.

Phương pháp giải: Để đường thẳng
đường tròn

đến đường thẳng

D.

tiếp xúc với đường tròn
bằng bán kính của đường tròn

Giải chi tiết: Đường tròn

có tâm

và

.

.

.

Câu 22 (VD): Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng
phẳng chứa trục Oy và vuông góc với
A.

của

.

và bán kính

Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi

Vậy

thì khoảng cách từ tâm

.

B.

. Phương trình của mặt

là
.

C.

.

D.

Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính tích có hướng của hai vecto.
Giải chi tiết: Gọi mặt phẳng

chứa trục Oy và vuông góc với

Khi đó
Mà mặt phẳng

.

.
đi qua

nên phương trình có dạng

Câu 23 (TH): Cho hình nón có diện tích xung quanh bằng

.
và bán kính đáy bằng a. Độ dài đường

sinh của hình nón đã cho bằng
A.

B.

Phương pháp giải: Tính đường sinh từ công thức

C.

D.
.
Trang 20

Giải chi tiết: Ta có:

.

Câu 24 (TH): Một đồ chơi bằng gỗ có dạng một khối nón và một nửa khối cầu ghép với nhau (hình bên).
Đường sinh của khối nón bằng 5 cm, đường cao của khối nón là 4 cm. Thể tích của đồ chơi bằng:

A.

B.

C.

D.

Phương pháp giải: - Tính bán kính đáy của hình nón

, cũng chính là bán kính đáy của nửa

khối cầu.
- Thể tích khối nón có chiều cao
- Thể tích khối cầu bán kính

, bán kính đáy

là:

là:

.

.

Giải chi tiết: Theo bài ra ta có hình nón có đường sinh
Gọi

, chiều cao

.

là bán kính đáy hình nón, cũng chính là bán kính hình cầu, ta có

Thể tích khối nón là:

.

.

Thể tích nửa khối cầu là:

.

Vậy thể tích của đồ chơi bằng:

.

Câu 25 (VD): Cho khối lăng trụ đứng
. Đường thẳng

có đáy là tam giác vuông ABC vuông tại A,

tạo với mặt phẳng

góc

,

. Tính thể tích khối lăng trụ

.
A.

B.

C.

D.

Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ.
Giải chi tiết:

Trang 21

Xét tam giác vuông

ta có:

.
.

Ta có:

là hình chiếu vuông góc của

lên

.

.
Vì

vuông tại

.

.
Vậy

.

Câu 26 (VD): Cho tứ diện ABCD có
Biết

là một mặt phẳng song song với AB và CD.

cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là một hình thoi, chu vi của hình thoi đó bằng:

A.

B.

C.

D.

Phương pháp giải: - Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi
- Đặt cạnh hình thoi bằng

, áp dụng định lí Ta-lét để tìm

.

.

Giải chi tiết:

Trang 22

Giả sử
Trong

, trong

kẻ

kẻ

, trong

kẻ

.

.

thiết diện của hình chóp cắt bởi
Theo giả thiết ta có

là tứ giác

.

là hình thoi, đặt

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

.
;

.

Ta có:

.

Vậy chu vi hình thoi là

.

Câu 27 (VD): Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu
mặt phẳng

. Tìm điểm I trên mặt cầu

và
sao cho khoảng cách từ

đến

lớn

nhất.
A.

B.

C.

D.

Phương pháp giải: Điểm I thuộc đường thẳng đi qua tâm của (S) và vuông góc với (P). Tham số hóa tọa
độ điểm I và cho

.

Giải chi tiết:

Trang 23

Mặt cầu (S) có tâm

và bán kính

sao cho

lớn nhất

.
đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với (P).

Phương trình tham số đường thẳng (d):

.

là điểm cần tìm.
Câu 28 (VD): Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
của d trên mặt phẳng
A.

. Hình chiếu vuông góc

là một đường thẳng có vectơ chỉ phương là
B.

C.

D.

Phương pháp giải: Lấy điểm bất kỳ.
Giải chi tiết:
Hình chiếu của A, B lên

,
lần lượt là

.

.

Trang 24

Câu 29 (VD): Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

và điểm

M thay đổi trên mặt cầu. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng OM là
A. 12

B. 3

C. 9

Phương pháp giải:

với

D. 6

lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu.

Giải chi tiết:

Mặt cầu

có tâm

Với

ta có:

, bán kính

.
.

Câu 30 (VDC): Trong không gian Oxyz, cho hình hộp
,
A.

.

biết

,

, điểm M thuộc cạnh DC . GTNN của tổng các khoảng cách
B.

.

C.

.

Phương pháp giải: Đánh giá theo bất đẳng thức:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

D.

là:
.
.

.

Giải chi tiết:

Gọi độ dài đoạn

. Khi đó, tổng các khoảng cách:

khi và chỉ khi:
.

Trang 25

Câu 31 (VD): Cho hàm bậc ba
nhiêu điểm cực trị trên đoạn

A. 7

có đồ thị như hình vẽ. Hàm số
.

B. 8

C. 5

Phương pháp giải: Số điểm cực trị của hàm số
giao điểm của đồ thị hàm số

D. 6
= số điểm cực trị của hàm số

+ số

với trục hoành.

Giải chi tiết: Xét hàm số

ta có:

Xét phương trình hoành độ giao điểm

.

Dựa vào đồ thị hàm số ta có:

Phương trình

có bao

.

sinh ra 2 nghiệm

Vậy hàm số

có

.
điểm cực trị.

Câu 32 (VD): Có bao nhiêu giá trị m nguyên bé hơn −6 để phương trình

có

nghiệm?
A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Phương pháp giải: Bình phương hai vế để giải phương trình vô tỉ, kết hợp bảng biến thiên để biện luận
số nghiệm.
Giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị hàm số
với
Xét hàm số

và đường thẳng

.
ta có BBT:

Trang 26

Từ bảng biến thiên suy ra để phương trình có nghiệm

thì

Lại có:

có 7 giá trị m thỏa mãn bài toán.

Câu 33 (VD): Cho hàm số
với
A. −8.

thỏa mãn
. Tính

B. −24.

Phương pháp giải: - Rút

và

C. 24.

- Từ giả thiết

tìm hằng số

và tính tổng

D. 8.

từ giả thiết đề bài cho.

, sử dụng công thức tính nguyên hàm:

với hàm

. Biết rằng

.

- Tìm

- Tính

.

và suy ra hàm số

.
.

vừa tìm được, đưa kết quả về dạng

. Đồng nhất hệ số tìm

.

Giải chi tiết: Ta có:

Mà

Khi đó ta có:

Trang 27

Vậy

.

Câu 34 (VD): Có 10 học sinh, gồm 5 bạn lớp 12A và 5 bạn lớp 12B tham gia một trò chơi. Để thực hiện
trò chơi, người điều khiển ghép ngẫu nhiên 10 học sinh đó thành 5 cặp. Xác suất để không có cặp nào
gồm hai học sinh cùng lớp bằng:
A.

B.

C.

D.

Phương pháp giải: - Tính số phần tử của không gian mẫu.
- Gọi A là biến cố: “không có cặp nào gồm hai học sinh cùng lớp”

Mỗi học sinh lớp 12A phải ghép

cặp với một học sinh lớp 12B. Chọn từng học sinh lớp 12A, sau đó chọn 1 học sinh lớp 12B để ghép cặp
với học sinh lớp 12A đã được chọn.
Giải chi tiết: Số phần tử của không gian mẫu là

.

Gọi A là biến cố: “không có cặp nào gồm hai học sinh cùng lớp”

Mỗi học sinh lớp 12A phải ghép cặp

với một học sinh lớp 12B.

Vậy xác suất biến cố A là

.

Câu 35 (VD): Cho hình tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi
đối xứng của
diện

qua các mặt phẳng

B.

Phương pháp giải: - Tứ diện

- Tính

. Tính thể tích của khối tứ

.

A.

- Gọi

lần lượt là điểm

C.

D.

đồng dạng với tứ diện

lần lượt là trọng tâm tam giác

, gọi

theo tỉ số
. Tính

.
.

.

Trang 28

- Sử dụng công thức tính nhanh: Thể tích khối tứ diện đều cạnh

là

.

Giải chi tiết:

Dễ dàng nhận thấy tứ diện
Gọi

lần lượt là trọng tâm tam giác

Gọi
Ta có

đồng dạng với tứ diện

theo tỉ số

.

ta có

.

.
là trọng tâm của tứ diện đều

nên

.

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
.
Mà

là tứ diện đều cạnh 1 nên

Vậy

.

.

Câu 36 (NB): Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
, khi đó

tại điểm có hoành độ bằng 1 có dạng

bằng:

Đáp án:
Phương pháp giải: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
hàm số là:

tại điểm

thuộc đồ thị

.

Giải chi tiết: TXĐ:
Trang 29

Ta có:

Với

.

Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là

.

.
Câu 37 (TH): Hàm số

có bao nhiêu điểm cực trị?

Đáp án: 3
Phương pháp giải: - Tính
- Giải phương trình

.
xác định số nghiệm bội lẻ.

Giải chi tiết: Ta có:

Vậy hàm số

đã cho có 3 điểm cực trị.

Câu 38 (TH): Trong không gian Oxyz, cho điểm
Khoảng cách từ

đến

và mặt phẳng

.

bằng:

Đáp án: 5
Phương pháp giải: Công thức tính khoảng cách từ điểm
là:

đến mặt phẳng

.

Giải chi tiết: Ta có:

.
Trang 30

Câu 39 (TH): Một lớp 11 có 30 học sinh, gồm 15 nam và 15 nữ. Có bao nhiêu cách xếp các học sinh
thành hai hàng, một hàng nam và một hàng nữ trong lúc tập thể dục giữa giờ?
Đáp án:
Phương pháp giải: Sử dụng hoán vị.
Giải chi tiết: Xếp 15 học sinh nam thành một hàng có
Xếp 15 học sinh nữ thành một hàng có
Hoán đổi vị trí 2 hàng có

cách.

cách.

Vậy số cách xếp thỏa mãn là
Câu 40 (VDC): Cho

cách.

.

là đa thức thỏa mãn

. Tính

.

Đáp án:
Phương pháp giải: - Tính

.

- Sử dụng phương pháp nhân liên hợp.
Giải chi tiết: Đặt

ta có

và
.
.

Ta có:

.
Câu 41 (TH): Giá trị lớn nhất của hàm số

là:

Đáp án: 3
Phương pháp giải:
Trang 31

Giải chi tiết: Đồ thị hàm số
bằng 3 khi

có đỉnh

và có hệ số

Hàm số đạt GTLN

.

Câu 42 (TH): Đồ thị hàm số

có điểm cực tiểu là

. Giá trị của

bằng:

Đáp án: 4
Phương pháp giải: Đồ thị hàm số

có điểm cực tiểu là

khi và chỉ khi

Giải chi tiết: Ta có:

.

.

Đồ thị hàm số

có điểm cực tiểu là

khi và chỉ khi

.

.

Vậy

.

Câu 43 (TH): Cho hình phẳng

giới hạn bởi các đường

tròn xoay tạo thành khi quay hình
giản. Tính tổng

và

quanh trục hoành là

với

. Thể tích của khối
và

là phân số tối

.

Đáp án:
Phương pháp giải: Xét phương trình hoành độ giao điểm.
Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường
quanh trục Ox là:
Đưa tích phân cần tính về dạng

.

, và tìm ra các hệ số a và b, thay vào tính tổng

Giải chi tiết: Phương trình hoành độ giao điểm của

là

.
.
Trang 32

Khi đó, thể tích cần tính là

.
Vậy

.

Câu 44 (VD): Cho hàm số

Hỏi phương trình

liên tục trên

có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Đáp án: 3
Giải chi tiết: Dựa vào đồ thị ta có:

Vậy phương trình

có tất cả 3 nghiệm thực phân biệt.

Câu 45 (VD): Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm M biểu diễn của số phức z thỏa mãn
là phương trình đường thẳng có dạng

. Khi đó tỉ số

bằng:

Đáp án:
Phương pháp giải: - Đặt

. Áp dụng công thức tính môđun số phức:

.

- Biến đổi rút ra mối quan hệ giữa a và b và suy ra quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z.
Giải chi tiết: Đặt

.

Theo bài ra ta có:

Trang 33

.
Suy ra tập hợp các điểm

biểu diễn số phức z là đường thẳng

Dựa vào các đáp án ta có: Với

.

trung điểm của đoạn AB là

.

là 1 VTPT của đường trung trực của AB.
Suy ra phương trình đường trung trực của AB là:
.
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường thẳng:
Vậy

.

.

Câu 46 (TH): Cho hình lăng trụ tứ giác đều
Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng

có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng
và

.

?

Đáp án:
Phương pháp giải: - Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng
và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.
Giải chi tiết: Ta có:

.

Ta có:

Xét tam giác vuông

có:

.
.

Trang 34

Câu 47 (TH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

và điểm

. Điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng d có tọa độ là
Đáp án:
Phương pháp giải: Tìm tọa độ hình chiếu trên đường thẳng, khi đó hình chiếu chính là trung điểm.
Giải chi tiết: Ta có:

.

Gọi M là hình chiếu vuông góc của A trên d và
Suy ra:

đối xứng A qua d.

và

.

Khi đó:
Vậy

.
và M là trung điểm

nên

.

Câu 48 (VDC): Cho các số dương x, y thỏa mãn
thức

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

.

Đáp án:
Phương pháp giải: - Sử dụng hàm đặc trưng, tìm biểu diễn
- Thế vào biểu thức

theo

, sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của biểu thức

.
.

Giải chi tiết: Ta có:

Xét

ta có:

Do đó hàm số

đồng biến trên

.
.

Do đó

.

Khi đó
Dấu “=” xảy ra

.
.
Trang 35

Vậy:

.

Câu 49 (VD): Cho lăng trụ đứng

có ABC là tam giác vuông

trung điểm của BC. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM và

, M là

.

Đáp án:
Phương pháp giải: +) Gọi N là trung điểm của

, đưa bài toán về tính khoảng cách từ 1 điểm đến

đường thẳng.

+)

.

Giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm của

Tam giác vuông ABC có
Xét tam giác vuông

vuông cân tại B
có:

Xét tam giác vuông ABN có:

Ta có:

Mà

.

Trang 36

Câu 50 (VD): Ông A dự định sử dụng hết 5m 2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ
nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung
tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
Đáp án:

Phương pháp giải: Gọi chiều rộng bể cá là x, tính chiều dài và chiều cao của bế cá theo x.
Tính thể tích của bể cá theo x, sử dụng phương pháp hàm số tìm GTLN của thể tích bể cá.
Giải chi tiết: Gọi chiều rộng của bể cá là

Chiều dài của bể cá là

.

Gọi h là chiều cao của bể cá ta có
Khi đó thể tích của bể cá là
Xét hàm số

có

.

Lập BBT:

Trang 37

.

Trang 38