ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6
Năm học 2012 - 2013
MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (7,5 điểm).
Tìm x biết:
a)
b)
c)
d) 11 - (-53 + x) = 97
e) 32x = 81
Câu 2: (3,0 điểm).
Cho S = 21 + 22 + 23 + ... + 2100
a) Chứng minh rằng S 15
b) Tìm chữ số tận cùng của S.
c) Tính tổng S.
Câu 3: (3,0 điểm).
Một ô tô đi từ A lúc 8h. Đến 9h một ô tô khác cùng đi từ A. Xe thứ nhất đến
B lúc 2h chiều. Xe thứ hai đến sớm hơn xe thứ nhất nửa giờ. Hỏi xe thứ hai đuổi
kịp xe thứ nhất ở cách A bao nhiêu km nếu vận tốc của nó lớn hơn vận tốc của xe
thứ nhất là 20km/h.
Câu 4: (6,5 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi
M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB.
a) Chứng tỏ rằng OA < OB.
b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại ?
c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của
điểm O (O thuộc tia đối của tia AB).

---------- Hết ---------

Câu
Câu 1:
(7,5
điểm)

Đáp án

a) 1,5 điểm

Điểm

0,25đ
0,25đ
0,25đ

x=

0,25đ

x=
x=

0,5đ

b) (1,5 điểm)
= -12 + 17
=5
3x + 1 = 5 hoặc 3x + 1 = - 5
3x
=4
3x
=-6
x

=

x

Vậy x =

;x=-2

c) (1,5 điểm)

=-2

0,25đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ

0,5đ

0,5đ
0,5đ

d) (1,5 điểm) :11 - (-53 + x) = 97
11 +53 - x = 97
64 – x = 97
x = 64 – 97 = -33
e) (1,5 điểm)

0,5đ
0,5đ
0,5đ

32x = 81
32x = 34

0,5đ
0,5đ
0,5đ

2x = 4
=> x = 2

Câu 2:
(3 điểm)

Câu 3:
(3 điểm)

a) (1,25 điểm)
S = 21 + 22 + 23 + ... + 2100
Tổng trên gồm 100 số hạng được chia thành 4 nhóm, mỗi
0,25đ
nhóm có 4 số hạng ta có:
S = (21 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) + ... + (297 + 298 +
299 + 2100)
0,5đ
= 2 (1 + 2 + 22 + 23) + 25 (1 + 2 + 22 + 23) + ... + 297 (1 + 2
+ 22 + 23)
0,25đ
= 2 . 15 + 25 . 15 + ... + 297 . 15
= 15 (2 + 25 + ... + 297) 15 (ĐPCM)
b) (0,75 điểm)
Vì S 15  S 5 (1)
Lại có tất cả các số hạng của S đều chia hết cho 2 nên S 2
(2)
Từ (1) và (2)  S 10 hay S có chữ số tận cùng là 0.
c) (1,0 điểm)
2S - S = 2 (21 + 22 + 23 + ... + 2100) - (21 + 22 + 23 + ... + 2100)
S = (22 + 23 + 24 + ... + 2101) - (21 + 22 + 23 + ... + 2100)
hay S = 2101 - 2
Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB là :14h - 8h =
6h.
Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB là : (14h - 0,5h)
- 9h = 4,5h =
Một giờ xe thứ nhất đi được :

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ

(quãng đường AB).
0,25đ

Một giờ xe thứ hai đi được :
Phân số chỉ 20km là :

-

0,5đ

(quãng đường AB).
=

(quãng đường AB)

Vậy quãng đường AB dài : 20 :

0,5đ
0,25đ

= 360 (km)

Vận tốc xe thứ nhất là : 360 . = 60 (km/h)
0,5đ
Khi hai xe cùng bắt đầu đi chúng cách nhau 60km (vì xe thứ 0,25đ
nhất đi trước xe thứ hai 1 giờ). Do đó, chúng gặp nhau (kể từ
khi xe thứ hai đi) sau: 60 : 20 = 3 (h)
Nơi gặp nhau cách A là: 60 + 60 . 2 = 240 km.
Câu 4:
(6,5điểm
)

o

m

a

n

b

0,5đ

a, Hai tia AO, AB đối nhau, nên điểm A nằm giữa hai điểm 0,75đ
O và B, suy ra :
OA < OB.
0,75
b,Ta có M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nên :

0,5
0,5
0,5

Vì OA < OB, nên OM < ON.
Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON, nên điểm M
0,5
nằm giữa hai điểm O và N.
c,+ Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nên ta
có :
OM + MN = ON
hay :
+ Vì AB có độ dài không đổi, nên MN có độ dài
không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ
thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia
AB).
* Lưu ý: - Mọi cách làm khác đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Tùy theo bài làm của học sinh, giám khảo có thể chia nhỏ biểu điểm.

0,5đ
0,5đ
0,5
0,5
0,5

---------- Hết ----------