UBND HUYỆN VĨNH BẢO
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ GIAO LƯU HSG HUYỆN CẤP THCS
MÔN: TOÁN 8

Bài 1. (3 điểm)
a) Phân tích đa thức
b) Cho

thành nhân tử

là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn:

Tính giá trị của biểu thức:
c) Cho
Chứng minh rằng:
Bài 2. (2 điểm)
a) Tìm số tự nhiên để
và
là hai số chính phương
b) Cho
thỏa mãn
Bài 3. (1 điểm)
Cho hình bình hành
hành các tam giác đều
Bài 4. (3 điểm)
Cho tam giác

Chứng minh
có góc
và

nhọn. Vẽ ra phía ngoiaf hình bình

Tính số đo

nhọn có các đường cao

và H là trực tâm

a) Chứng minh
b) Chứng minh rằng:
c) Gọi D là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với DH cắt
lần lượt tại M và N. Chứng minh H là trung điểm của
Bài 5. (1 điểm)
Cho hình vuông
và
đường thẳng cùng có tính chất chia hình
vuông này thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng Chứng minh rằng có ít nhất
đường thẳng trong 2018 đường thẳng trên đồng quy.

ĐÁP ÁN
Bài 1.
a)

b)

Tương tự:

c) Vì
Hay

Do đó:
Mà
Tương tự:
Vì vậy:

Suy ra :
Bài 2.
a) Để

và

là hai số chính phương
và

Nhưng 59 là số nguyên tố, nên:
Từ
Thay vào
Vậy với

ta được
thì
và

là hai số chính phương

b) Có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi
Áp dụng

có:

Suy ra:

Với
dương , chứng minh
Dấu bằng xảy ra khi
Ta được:
. Dấu đẳng thức xảy ra

Bài 3.

A

D
C

B

F

E
Chứng minh được
Chứng minh được
Tương tự:
đều

Bài 4.

A

C' H

B'
N

M
B

A' D

a) Chứng minh
Chứng minh
Từ (1) và (2)
Tương tự :

b) Có
Tương tự:

c) Chứng minh

C

Chứng minh
Mà
Từ

là trung điểm của MN

Bài 5.
Gọi
EF và

lần lượt là trung điểm của

Lấy các điểm

trên

trên PQ thỏa mãn:

Xét d là một trong các đường thẳng bất kỳ đã cho cắt hai đoạn thẳng
lần lượt tại

Ta có:

hay qua G.
Từ lập luận trên suy ra mỗi đường thẳng thỏa mãn yêu cầu của đề bài đều đi qua
một trong 4 điểm
Do có

đường thẳng đi qua 1 trong 4 điểm

theo nguyên lý Dirichle

phải tồn tại ít nhất
đường thẳng cùng đi qua một điểm trong 4
điểm trên.
Vậy có ít nhất 505 đường thẳng trong số 2018 đường thẳng đã cho đồng quy.