Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.

DẠNG 3: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN THỜI GIAN VÀ THỜI ĐIỂM
LOẠI 1: Thời gian ngắn nhất liên quan đến li độ, vận tốc, gia tốc
KIỂU 1: Thời gian ngắn nhất vật đi từ li độ x1 đến x2
+ Nếu chọn t = 0 lúc vật ở biên dương và viết phương trình theo dạng hàm COS thì :
x
1
x
x  A cos t   cos t  t  arccos  
A

A
+ Nếu chọn t = 0 lúc vật đi qua VTCB theo chiều dương và viết phương trình dạng hàm SIN
thì :
x
1
x
x  A sin t   sin t  t  arcsin  
A

A
* Tóm tắt về phân bố thời gian trên trục x như sau :
x
1
+ Nếu đi từ VTCB đến li độ x hoặc ngược lại : t  arcsin  

A
+ Nếu đi từ biên về li độ x hoặc ngược lại : t 

x
1
arccos   .

A

+ Đặc biệt khi vật đi giữa các điểm đặc biệt ta có phân bố thời gian như sau :

* Các khoảng thời gian đặc biệt :
– Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ x  0(VTCB)  x  A(biên ) hoặc ngược lại là :
T
t 
4
A
– Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1   x2  A hoặc ngược lại là
2
T
t 
6
-1-

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.
- Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 
lại là t 

T
8

- Khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí có li độ x1 
lại là t 

A 2
 x2  A hoặc ngược
2

A 3
 x2  A hoặc ngược
2

T
12

2) Thời gian ngắn nhất vật đi từ x1 đến vị trí cân bằng và từ x1 đến vị trí biên :
1
x 
- Vật đi từ x1 đến VTCB thì : t1  arcsin  1 

A
1
x 
- Vật đi từ x1 đến biên thì : t 2  arccos  1 

A
3) Khoảng thời gian trong một chu kỳ vật cách vị trí cân bằng một khoảng :
1
x 
+ Nhỏ hơn x1 là : t  4.t1  4. arcsin  1 

A
1
x 
+ Lớn hơn x1 là : t  4.t 2  4. arccos  1  .

A
3) Thời gian ngắn nhất vật đi từ x1 đến x2 :
1
x 
x 
+ t  arccos  2   arccos  1 

A
A

1
x 
x 
arcsin  2   arcsin  1 

A
A
Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A, chu kì T. Xác định thời gian ngắn nhất
vật đi từ :
+ t 

A
đến x2 = A.
2
A 2
b) x1 
đến x2 = A
2
A 3
c) x1 
đến x2 = A
2
Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ A, chu kì T = 1 s. Xác định thời gian ngắn
nhất vật đi từ :
A
a) x1   đến x2 = - A
2
A 2
b) x1 
đến x2 = - A
2
A
c) x1   đến x2 = A
2
đáp số :
1
3
1
a) s
b) s
c) s.
6
8
3

a) x1 

-2-

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.
Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 10 cm, chu kì T = 2 s. Xác định thời
gian ngắn nhất vật đi từ :
a) x1 = - 5 cm đến x2 = - 10 cm
b) x1  5 2 cm đến x2 = - 10 cm
c) x1 = - 5 cm đến x2 = 10 cm.
đáp số :
1
a) s
3
b) 0,75 s
2
c) s.
3


Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x  4cos  4t   (cm).
2

a) Tính thời gian ngắn nhất kể từ t = 0 đến khi vật đi qua vị trí x = 2 cm.
b) Tính thời gian ngắn nhất khi vật đi từ x1 = 2 cm theo chiều dương đến khi vật đi qua vị
trí x2 = - 2 cm theo chiều âm.
Đáp án :
7
a)
s
24
b) 0,25 s.
Ví dụ 5: Một vật dao động điều hòa, khi vật có li độ x = 3 cm thì vận tốc của nó là 15 3
cm/s và khi vật có li độ x = 3 2 cm thì vận tốc là 15 2 cm/s. Thời gian ngắn nhất vật đi từ
x1 = 0 cm đến x2 = 2 cm gần nhất với giá trị nào sau đây ?
A. 0,07 s.
B. 0,25 s.
C. 3,89 s.
D. 14,51 s.
Ví dụ 6: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T trên đoạn thẳng MN. Gọi O, P lần
lượt là trung điểm của MN và OM. Thời gian để vật đi từ O đến N rồi đến P là
5T
5T
7T
T
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
12
12
12
6
Ví dụ 7: Cho đồ thị li độ của vật dao động điều hòa theo thời gian như hình vẽ. Phương trình
dao động của vật là




A. x  3cos  t   cm.
B. x  3cos  2t   cm.
2
2






C. x  3cos  t   cm.
D. x  3cos  2t   cm.
2
2



*Ví dụ 8: (Đề thi THPT Quốc gia năm 2016)
Một chất điểm dao động điều hòa có vận tốc cực đại 60 cm/s và gia tốc cực đại là 2 m/s2.
Chọn mốc thế năng tại vị trí cân bằng. Thời điểm ban đầu (t = 0) chất điểm có vận tốc 30
cm/s và thế năng đang tăng. Chất điểm có gia tốc bằng  (m/s2) lần đầu tiên ở thời điểm
A. 0,35 s.
B. 0,15 s.
C. 0,10 s.
D. 0,25 s.
-3-

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.
Ví dụ 9: Vật dao động điều hòa với biên độ A. Trong một chu kì thời gian dài nhất vật đi từ
A
A 3
vị trí có li độ x1  theo chiều dương đến vị trí có li độ x 2 
là 0,45 s. Chu kì dao
2
2
động của vật là
A. 1,8 s.
B. 2 s.
C. 0,9 s.
D. 0,6 s.
*Ví dụ 10: Một chất điểm dao động điều hòa trên một đoạn thẳng xung quanh vị trí cân
bằng O. Gọi M, N là hai điểm trên đường thẳng cùng cách đều O, biết trong quá trình dao
động cứ sau t = 0,05 s thì chất điểm lại đi qua các điểm M, O, N và tốc độ của nó lúc đi
qua các điểm M, N là v > 0, chu kì dao động của chất điểm là
A. 0,3 s.
B. 0,05 s.
C. 0,2 s.
D. 0,4 s.
Hướng dẫn

*Ví dụ 11: Một chất điểm đang dao động điều hòa trên một đoạn thẳng xung quanh vị trí
cân bằng O. Gọi M, N là hai điểm trên đường thẳng cùng cách đều O, cho biết trong quá
trình dao động cứ t (s) thì chất điểm lại đi qua các điểm M, O, N và tốc độ của nó lúc đi
qua các điểm M, N là 20 cm/s. Tốc độ cực đại của chất điểm là
A. 20 cm/s.
B. 40  cm/s.
C. 120  cm/s.
D. 80  cm/s.
Hướng dẫn

*Ví dụ 12: Một chất điểm dao động điều hòa trên một đoạn thẳng. Trên đoạn thẳng đó có
bảy điểm theo đúng thứ tự là M1, M2, M3, M4, M5, M6 và M7 (với M4 là vị trí cân bằng, M1
và M7 là hai biên). Biết cứ 0,05 s thì chất điểm lại đi qua các điểm M1, M2, M3, M4, M5, M6
và M7. Tốc độ của nó lúc đi qua điểm M2 là 20  cm/s. Biên độ A bằng
A. 12 cm.
B. 6 cm.
C. 12 3 cm.
D. 4 cm.
*Ví dụ 13: Một vật dao động điều hòa xung quanh vị trí cân bằng O. Ban đầu vật qua O

theo chiều dương. Sau thời gian t1 =
s vật chưa đổi chiều chuyển động và vận tốc giảm đi
15
-4-

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.
một nửa so với lúc đầu. Sau thời gian t2 =
vật là
A. 40 cm/s.

3
s vật đã đi được 12 cm. Vận tốc ban đầu v0 của
10

B. 30 cm/s.

C. 20 cm/s.

D. 25 cm/s.

KIỂU 2: Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có v1 đến v2 hoặc a1 đến a2
+ Phân bố thời gian đối với vận tốc v và gia tốc a cũng tương tự như li độ x.

Chú ý :
+ Cũng có thể đổi vận tốc v hay gia tốc a sang li độ x sau đó quay về loại 1 để làm.
+ Nếu đề cho ở nhiều dạng đại lượng (x hoặc v hoặc a) thì nên quy về một đại lượng x rồi
thực hiện tính thời gian theo loại 1.
Ví dụ 14: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T và tốc độ cực đại là vmax. Thời gian
v
3
ngắn nhất mà chất điểm đi từ điểm có tốc độ bằng 0 đến điểm có tốc độ bằng max
là :
2
T
T
T
T
A. .
B. .
C. .
D.
.
12
8
6
4
Hướng dẫn

Ví dụ 15: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T và gia tốc cực đại là amax. Thời gian
a
2
ngắn nhất mà chất điểm đi từ điểm có gia tốc bằng max
đến điểm có gia tốc bằng
2
a max 3
là
2
T
T
T
T
A. .
B.
.
C. .
D.
.
12
24
8
6
Hướng dẫn
-5-

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.

*Ví dụ 16: Một vật dao động điều hòa có đồ thị vận tốc được biểu diễn như hình vẽ. Phương
trình dao động của vật là
 10 5 
 10 
A. x  2, 4cos 
B. x  2, 4cos 
t   (cm).
t  (cm).
6 
 3
 3 
 25 2 
 25  
C. x  1, 2cos 
D. x  1, 2cos 
t   (cm).
t   (cm).
6
3 
 3
 3

Hướng dẫn

Ví dụ 17: Một vật dao động điều hòa có đồ thị gia tốc được biểu diễn như hình vẽ. Phương
trình dao động của vật là

2 


A. x  5cos  2t   (cm).
B. x  5cos  2t   (cm).
3
3 



2 


C. x  5cos  2t   (cm).
D. x  5cos  2t   (cm).
3
3 



-6-

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.

Hướng dẫn

KIỂU 3: Thời gian để vật cách vị trí cân bằng một khoảng x cho trước.
+ Xác định miền có giá trị x thỏa mãn điều kiện.
+ Dựa vào phân bố thời gian để tính thời gian.
Ví dụ 18: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì
để vật cách vị trí cân bằng một khoảng không lớn hơn nửa biên độ là
2T
T
T
T
A. .
B.
.
C.
.
D. .
12
3
6
3
Hướng dẫn

-7-

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.

T
như hình.
12
Ví dụ 19: Một chất điểm dao động điều hòa với biên độ 4 cm và chu kì 2 s. Khoảng thời
gian trong một chu kì để vật cách vị trí cân bằng một khoảng không nhỏ hơn 2 cm là
1
1
2
4
A. s.
B. s.
C. s.
D. s.
3
3
3
6
Hướng dẫn

+ vì xét trong một chu kì nên có cả lượt đi và lược về nên có 4.

KIỂU 4: Thời gian để vận tốc v hay gia tốc a thỏa mãn điều kiện cho trước.
+ Xác định miền có giá trị vận tốc v hay gia tốc a thỏa mãn điều kiện đề.
+ Dựa vào phân bố thời gian để tính thời gian.
Ví dụ 20: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos10  t (x đo bằng cm ; t đo
bằng s). Trong một chu kì, thời gian vật có vận tốc không lớn hơn 25  (cm/s) là
1
1
2
1
A.
s.
B.
s.
C.
s.
D.
s.
15
15
10
30
Hướng dẫn

-8-

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.

Ví dụ 21: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 5cos10t (x đo bằng cm ; t đo
bằng s). Trong một chu kì thời gian để vật có gia tốc không vượt quá 2,5 m/s2 là
2



A.
s.
B.
s.
C.
s.
D.
s.
15
10
15
30
Hướng dẫn

Ví dụ 22: (Đại học năm 2010)
Một con lắc dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A = 5 cm. Biết trong một chu kì
khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn gia tốc không vượt quá 100 cm/s2 là T/3.
Lấy 2 = 10. Tần số của dao động là
A. 4 Hz.
B. 3 Hz.
C. 2 Hz.
D. 1 Hz.
Hướng dẫn

-9-

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.

*Ví dụ 23: Một con lắc dao động điều hòa với chu kì T và biên độ A = 6 cm. Biết trong một
chu kì khoảng thời gian để vật nhỏ của con lắc có độ lớn vận tốc không vượt quá 3 2 cm/s
là T/2. Lấy 2 = 10. Chu kì dao động của vật là
A. 4 s.
B. 3 s.
C. 2 s.
D. 1 s.
Hướng dẫn

Ví dụ 24: (Đại học năm 2012)
Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Gọi vTB là tốc độ trung bình của chất điểm
trong một chu kì, v là tốc độ tức thời của chất điểm. Trong một chu kì, khoảng thời gian mà

v  vTB là
4
A. T/6.
B. 2T/3.
C. T/3.
D. T/2.
Hướng dẫn

- 10 -

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.
Câu 25: (Ví dụ 25 trang 63).
Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kì để độ lớn
gia tốc không nhỏ hơn 0,5 3 lần gia tốc cực đại là :
A. T/6.
B. 2T/3.
C. T/3.
D. T/2.
Hướng dẫn

Câu 26: (Ví dụ 26 trang 63) .
Một vật dao động điều hòa với phương trình x  A cos  t   (cm). Biết khoảng thời gian
ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp vật cách vị trí cân bằng một khoảng bằng a bằng với thời
gian ngắn nhất giữa hai lần liên tiếp vật cách vị trí cân bằng một đoạn b ; và trong một chu kì
2
a
khoảng thời gian mà tốc độ không nhỏ hơn (a  b) bằng s. Tỉ số gần nhất với giá trị
3
b
nào sau đây ?
A. 0,13.
B. 0,45.
C. 2,22.
D. 7,87.
KIỂU 5: THỜI GIAN MAX, MIN ĐỂ VẬT ĐI HẾT QUÃNG ĐƯỜNG S XÁC ĐỊNH
+ Ở VTCB vật có tốc độ cực đại, ở biên vật có tốc độ cực tiểu (bằng 0).
+ Với quãng đường xác định cho trước, thời gian sẽ lớn nhất khi vật đi chậm (đi xung
s
s
quanh một biên, lượt đi và lượt về ) và thời gian sẽ nhỏ nhất khi vật đi nhanh (đi
2
2
s
xung quanh VTCB mỗi bên ).
2

- 11 -

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.

* Nếu x là các vị trí đặc biệt ta nên áp dụng lại các phân bố thời gian đặc biệt ở trên.
Câu 27: (Ví dụ 27 trang 65).
Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 10 cm, chu kì T = 2 s. Tính thời gian ngắn nhất
để vật đi hết quãng đường s trong các trường hợp sau đây :
a) s = 10 cm
b) s = 12 cm
c) s = 30 cm.
Câu 28: (ví dụ 28 trang 66).
Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 10 cm , chu kì T = 2 s. Tính thời gian dài nhất để
vật đi hết quãng đường s trong các trường hợp sau :
a) s = 10 cm
b) s = 12 cm
c) s = 30 cm
KIỂU 6: KHOẢNG THỜI GIAN TRONG MỘT CHU KÌ ĐỂ VECTƠ VẬN TỐC VÀ
VECTƠ GIA TỐC CÙNG CHIỀU HAY NGƯỢC CHIỀU.

- 12 -

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.

Câu 29: (ví dụ 29 trang 67).


Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x  A cos  2t   (cm). Kể
2

từ t = 0, vectơ vận tốc và vectơ gia tốc sẽ cùng chiều dương của trục Ox trong khoảng thời
gian nào sau đây ?
A. 0,5 s < t < 0,75 s.
B. 0 < t < 0,25 s.
C. 0,75 s < t < 1 s.
D. 0,25 s < t < 0,5 s.
Câu 30: (ví dụ 30 trang 68).


Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x  A cos  2t   (cm). Kể
3

từ t = 0, vectơ vận tốc và vectơ gia tốc sẽ cùng chiều dương của trục Ox trong khoảng thời
gian nào sau đây ?
1
1
7
1
s t  s.
A. s  t  s .
B.
12
3
12
4
1
1
1
3
C. s  t  s .
D. s  t  s .
2
4
4
2
Câu 31: (ví dụ 31 trang 69).


Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x  A cos  t   (cm). Kể
2

từ t = 0, vectơ vận tốc hướng theo chiều âm và vectơ gia tốc hướng theo chiều dương của
trục Ox trong khoảng thời gian nào sau đây ?
A. 0 < t < 0,5 (s).
B. 1 (s) < t < 1,5 (s).
C. 0,5 (s) < t < 1 (s).
D. 1,5 (s) < t < 2 (s).
Câu 32: (ví dụ 32 trang 69).
 2  
Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình x  A cos  t   (cm).
3
 3
Xét trong chu kì đầu tiên, vật chuyển động nhanh dần theo chiều âm của trục Ox từ thời
điểm nào đến thời điểm nào sau đây ?
A. 1s < t < 1,75 s.
B. 0,25 s < t < 1 s.
C. 0,5 s < t < 1,25 s.
D. 1,25 s < t < 2 s.

LOẠI 2: XÁC ĐỊNH THỜI ĐIỂM VẬT ĐI QUA VỊ TRÍ X ĐÃ
BIẾT
1) Xác định Thời điểm vật đi qua vị trí x0 đã biết theo chiều dương (âm)
- 13 -

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.
Phương pháp chung:

 x  Acos t     x1
Cách 1: Giải hệ phương trình 
v   A sin t     v1
t  t01  k .T
t  t  l.T  t01 , t02  0  k , l  0,1, 2...
02

- Xác định vị trí và chiều của vật tại thời điểm ban đầu t0 = 0 :
x 0  A cos  ; v0 : Dấu
- Xác định số lần vật đi qua vị trí đã biết trong 1 chu kì.
+ Một chu kì vật qua x được 2 lần (một lần theo chiều dương và một lần theo chiều âm). Qua
x được 4 lần (2 lần qua x > 0 và 2 lần qua x < 0).
- Xét tỉ số : lần thứ n / số lần trong 1 chu kì = k,p (với k là phần nguyên ; p lần thập phân).
- Tính thời gian theo công thức :
+ Khi p = 0  t  (k  1).T  t
+ Khi p  0  t  k.T  t
Trong đó : t là thời gian còn thiếu để vật đi từ vị trí đầu (x0) đến vị trí (x) đã biết cho đủ số
lần thứ n.
- Chú ý :
+ Nếu số lần ít (dưới 4 lần) ta chỉ cần xác định vị trí ban đầu x0 và chiều xuất phát, sau đó
vẽ cho đến khi nào đủ số lần đi qua vị trí (x) thì dừng lại, từ đó dựa vào phân bố thời gian để
tính thời gian.
+ Trường hợp biết vật đi qua vị trí có chiều cụ thể hoặc tìm thời điểm tổng quát (t theo k)
thì nên giải theo phương trình lượng giác như sau :
+ Viết phương trình x theo t.
+ Giải phương trình lượng giác để tìm t theo k.
+ Giải bất phương trình t > 0  các giá trị của k (k nguyên). Ứng với giá trị thứ nhất của
k sẽ là thời điểm đầu tiên của vật, giá trị thứ n của k sẽ cho thời điểm thứ n.
- Nếu đề cho ở dạng vận tốc v hay gia tốc a thì chuyển sang x rồi làm như trên.
2) Thời điểm vật qua x 0 tính cả hai chiều

Cách 1: Giải phương trình x  Acos  t    x1
 cos  t    

t  ?
t      (2)
x1
 cos  
 1
A
t      (2) t 2  ?

Trong một chu kì vật qua mỗi vị trí biên một lần và các vị trí khác hai lần. Để tìm hai thời
điểm đầu tiên ( t 1 và t 2 ) có thể dùng PTLG hoặc VTLG. Để tìm thời điểm, ta làm như sau:

Soálaà
n
dö 1: t=nT+t1
 n
2

dö 2 : t=nT+t 2
 2  
Ví dụ 33: Một vật dao động điều hòa với phương trình x  A cos  t   (cm). Thời điểm
3
 T
đầu tiên vật đi qua vị trí x = - A là :

A.

5T
.
6

B.

5T
.
8

C.

2T
.
3

Hướng dẫn giải
  A
+ Lúc t = 0 , ta có : x 0  A cos    
; v0 > 0 (do   0 )
 3 2

- 14 -

D.

7T
.
12

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.
T T T 2T
A
; v0 > 0 đến khi gặp (- A) lần đầu ta có : t    
6 4 4
2
3
Ví dụ 34: Một vật dao động điều hòa với phương trình x  10cos  t  (cm). Xác định thời

+ Vẽ từ x 0 

điểm vật đi qua vị trí x = + 5 (cm) lần thứ 2 theo chiều âm ?
A.

1
(s).
3

B.

7
(s).
3

C. 4 (s).

D.

5
(s).
3

Hướng dẫn giải
Cách 1:
+ Lúc t = 0 vật có x0 = 10 cm = A (vật đang ở biên dương + 10 cm)
+ Quá trình đi từ x0 = 10 cm đến khi gặp x = 5 cm lần thứ 2 theo chiều âm được biểu diễn
như hình vẽ (Hs vẽ).
+ Vậy, thời điểm vật đi qua x = 5 (cm) theo chiều âm là : t 

T T T 7
   (s).
2 2 6 3

Cách 2:
Vì vật đi qu x = 5 (cm) theo chiều âm (chiều đã xác định) nên ta có thể giải bằng phương
pháp lượng giác như sau :

3

+ ta có : 5  10cos t  t    k.2
+ Vì lúc đó vật đi qua x = 5 cm theo chiều âm nên :

1
 k.2  t   2k (với k là số nguyên)
3
3
+ Vì t > 0  k = 0; 1 ; 2 ; 3; ….
t  

+ Giá trị k thứ nhất ứng với lần đầu tiên, do đó lần thứ 2 sẽ có k = 1  t =

7
(s).
3

 2 
Ví dụ 35: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình x  4 cos  t  (cm) (x tính
 3 
bằng cm; t tính bằng giây). Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = - 2 (cm) lần thứ
2017 vào thời điểm :
A. 3025,5 (s).
B. 3025 (s).
C. 3026 (s).
D. 1513 (s).
Hướng dẫn giải
+ Tại t = 0 ta có : x0 = 4 = A (vật đang ở biên dương)
+ Một chu kì vật đi qua x = - 2 (cm) được 2 lần.
2017
 1008,5  k  1008 và p = 5  0  t  1008T  t
2
+ Sau t = 1008T, vật đã qua x = - 2 cm được 2016 lần  thiếu 1 lần nên đi thêm t như

+ Ta có :

hình vẽ (Hs vẽ). (từ x0 = 4 cm = A đến x = - 2 cm).
+ Ta có : t 

T T T
 
4 12 3

+ Vậy thời điểm vật đi qua vị trí x = - 2 cm lần thứ 2017 là : t  1008.T 

T
 3025 (s).
3

(ở câu này đề không cho chiều chuyển động khi qua x = - 2 cm do đó không nên giải theo
phương trình lượng giác).


Ví dụ 36: Một vật dao động điều hòa với phương trình x  6cos  2t   (cm). Xác định
4

thời điểm vật đi qua vị trí x = - 3 cm lần thứ 10 theo chiều âm ?
A.

245
(s).
24

B.

221
(s).
24

C.
- 15 -

229
(s).
24

D.

253
(s).
24

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.
Hướng dẫn giải
Cách 1:

+ Lúc t = 0 , ta có : x 0  6cos    3 2 (cm) ; v < 0
4
+ Một chu kì vật đi qua x = - 3 theo chiều âm được 1 lần.
10
 10  k  10; p  0  t  (k  1)T  t  9T  t
1
+ Sau 9T vật đã đi qua x = - 3 (cm) theo chiều âm được 9 lần  thiếu 1 lần nên đi thêm t
(từ x0 = 3 2 , v < 0 , đến x = - 3) như hình vẽ (Hs tự vẽ).
T T 5T
5T 221
+ Ta có : t   
(s).
 t  9T 

8 12 24
24 24

+ Xét tỉ số :

Cách 2:
Vì vật đi qua x = - 3 (cm) theo chiều âm (chiều đã xác định) nên ta có thể giải bằng phương
pháp lượng giác như sau :


2


+ Ta có : - 3 = 6 cos  2t     2t      k.2
4
4
3


+ Vì lúc đó vật đi qua x = - 3 (cm) theo chiều âm nên :

2
5

  2t    
 k.2  t 
 k (với k là số nguyên)
4
3
24

+ Vì t > 0  k = 0; 1; 2; 3; 4; ….
+ Giá trị k thứ nhất ứng với lần đầu tiên, do đó lần thứ 10 sẽ có k = 9 nên : t 

5
221
9 
24
24

(s).


Ví dụ 37: Một vật dao động điều hòa với x  8cos  2t   (cm). Thời điểm thứ 2010 vật
6

qua vị trí v = - 8 (cm/s) là
A. 1004,5 (s).
B. 1004 (s).
C. 2010 (s).
D. 1005 (s).
Hướng dẫn giải
+ Tại thời điểm ban đầu : t = 0 ; x0 = 4 3 (cm) ; v0 > 0
v2
+ Vị trí vật có vận tốc v = - 8  cm/s là : A 2  x 2  2  x  4 3 (cm)

+ Bài toán trở thành tìm thời điểm lần thứ 2010 vật đi qua vị trí x =
v2
2
2
A  x  2  x  4 3 (cm) theo chiều âm (vì v = - 8 cm/s < 0)

+ Một chu kì vật qua x = 4 3 cm theo chiều âm được 2 lần.
2010
 1005  k  1005; p  0  t  (k  1)T  t  1004.T  t
2
+ Sau 1004.T vật đã qua x  4 3 cm theo chiều âm được 2008 lần  thiếu 2 lần nên tiếp

+ Ta có :

tục đi thêm t như hình vẽ (Hs tự vẽ) ; từ 4 3 đến 8 ; 8 đến - 4 3 ).
+ Ta có : t 

T T T T
  
12 4 6 2

+ Vậy tổng thời gian là :  t  1004.T 

T
 1004,5.T  1004,5 (s).
2

- 16 -

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.


Ví dụ 38: Một vật dao động điều hòa với phương trình x  4cos  2t   (cm). Tính thời
6

điểm vật có tốc độ 4 3 (cm/s) lần thứ 2012 kể từ lúc dao động gần nhất với giá trị nào sau
đây ?
A. 1005,92 (s).
B. 503,12 (s).
C. 1006,32 (s).
D. 502,92 (s).
Hướng dẫn giải
 
+ Lúc t = 0, ta có : x 0  4cos     2 3 (cm) ; v0 > 0 (do  < 0)
 6
v2
2
2
+ Vị trí vật có tốc độ 4 3 (cm/s) là : A  x  2  x  2 (cm)

+ Bài toán trở thành tìm thời điểm lần thứ 2012 vật đi qua vị trí x = 2 (cm).
+ Một chu kì vật qua x = 2 cm được 4 lần.
2012
 503, 0  k = 503 ; p = 0  t = (k – 1)T + t
4
 t  502T  t
+ Sau 502T vật đã qua x = 2 cm được 2008 lần  thiếu 4 lần nên tiếp tục đi thêm t như
hình vẽ (Hs tự vẽ) ; (từ 2 3  4  - 4  2).
T T T T 11T
+ Ta có : t     
12 2 4 12 12
11T 6035.T
+ Vậy tổng thời gian là : t  502T 

 502,92 (s)
12
12

+ Ta có :

+ Chú ý : Ở câu này đề cho tốc độ nên không có chiều, do đó lấy cả chiều âm và chiều
dương mỗi khi đi qua x = 2 (cm).


Ví dụ 39: Một vật dao động điều hòa với phương trình x  6cos  2t   (cm). Kể từ t = 0,
4

2
2
thời điểm lần thứ 2016 vật đi qua vị trí có gia tốc a  12 cm/s gần nhất với gia trị nào sau
đây ?
A. 1007,46 (s).
B. 1007,29 (s).
C. 1007,79 (s).
D. 2016,00 (s).
Hướng dẫn giải
 
+ Lúc đầu, ta có : x 0  6cos     3 2 (cm) ; v0 > 0 (do  < 0)
 4
2
2
+ Ta có : a   .x  12  x  3 (cm)
+ Bài toán trở thành tìm thời điểm lần thứ 2016 vật đi qua vị trí có x = - 3 (cm).
+ Một chu kì vật đi qua x = - 3 (cm) được 2 lần.
+ Xét tỉ số :

2016
 1008  k = 1008 ; p = 0  t  1007T  t
2

+ Sau thời gian 1007.T vật đã đi qua x = - 3 (cm) được 2014 lần  thiếu 2 lần nên vật phải
tiếp tục đi thêm t như hình vẽ (Hs tự vẽ) ; (từ 3 2  6  6  3 )
+ Ta có : t 

T T T 19T
19T 24187.T 24187
(s).
  
 t  1007T 


8 2 6 24
24
24
24

- Chú ý :
+ Trong ví dụ này ta phải đổi a sang x bằng công thức a  2 .x
+ Đề không nói gì đến vận tốc nên lấy cả chiều dương và chiều âm.


Ví dụ 40: Vật dao động điều hòa theo phương trình x  10cos  t   (cm). Thời điểm vật
6

đi qua vị trí cân bằng là
- 17 -

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.
2
3
2
C. t   k (s); k  N .
3

A. t   2k (s); k  N .

1
3

B. t    2k (s); k  N .
1
3

D. t   k (s); k  N .

Hướng dẫn giải

 


+ Khi vật qua VTCB thì : x = 0  10cos  t    0   t     k
6
6 2



 t 

2
2
 k  t   k(s)
3
3

LOẠI 3: XÁC ĐỊNH SỐ LẦN VẬT ĐI QUA VỊ TRÍ X ĐÃ BIẾT.
Cách 1:
+ Giải phương trình lượng giác x  A cos  t   để tìm t (t theo k)
+ Giải bất phương trình : t1 < t < t2
+ Liệt kê tất cả các giá trị của k (thường k nhỏ), thời điểm thứ k chính là giá trị thứ k.
Cách 2:
+ Xác định vị trí và chiều chuyển động tại t1 : x1 ; v1.
+ Xác định vị trí và chiều chuyển động tại t2 : x2 ; v2.
t t
+ Phân tích thời gian t2 – t1 theo chu kì : 2 1  k, p  t 2  t1  k.T  t
T
(k là phần nguyên, p là phần thập phân và 0  t  T ).
+ Nhận xét : Một chu kì qua x, n lần  trong k.T sẽ qua nk lần. Để tìm số lần có trong t
thì vẽ từ (x1; v1) đến (x2; v2). Từ đó suy ra tổng số lần qua x.


Ví dụ 41: Phương trình li độ của vật là x  4cos  5t   (cm). Kể từ khi bắt đầu dao động
2

đến khi t = 1,5 s vật đã đi qua li độ x = - 2 cm mấy lần ?
A. 6 lần.
B. 8 lần.
C. 4 lần.
D. 7 lần.


Ví dụ 42: Phương trình li độ của vật là x  6cos 15t   (cm). Kể từ thời điểm t1 = 2 (s)
2

đến thời điểm t2 = 2,5 (s) vật đã đi qua li độ x  3 2 (cm) theo chiều âm mấy lần ?
A. 6 lần.
B. 8 lần.
C. 4 lần.
D. 7 lần.
Hướng dẫn giải





+ Khi vật qua x  3 2 cm thì : 6cos 15t    3 2  15t      k.2
2
2
4


1 2k
 

+ Vì đi theo chiều âm nên : 15t     k.2  t  
20 15
2 4

1 2k
 2,5  14, 6  t  18,38  k = 15,16; 17; 18. Chọn C.
+ Vì 2  t  2,5  2  
20 15


Ví dụ 43: Phương trình li độ của vật là x  3cos  5t   (cm). Trong 1 (s) đầu tiến vật đã
6

đi qua li độ x = 1 (cm) mấy lần ?
A. 5 lần.
B. 4 lần.
C. 6 lần.
D. 7 lần.
Hướng dẫn giải
+ Ta có : t1 = 0  x1  1,5 3 cm ; v1 < 0

+ t2 = 1 (s)  x 2  1,5 3 cm ; v2 > 0
- 18 -

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.
t t
2
 0, 4 s  2 1  2,5  t 2  t1  2T  t
T

+ Một chu kì vật qua x = 1 cm được 2 lần  trong 2T đã qua x = 1 cm được 4 lần.
+ Trong thời gian t còn lại vật đi từ x1  1,5 3 cm(v1  0)  x 2  1,5 3 (cm) (v2  0) như
hình vẽ (Hs tự vẽ).
+ Từ hình vẽ  trong thời gian t vật qua thêm được 1 lần  tổng cộng có 5 lần  Chọn
A.

+ Ta có : T 

*Ví dụ 44: Một chất điểm dao động điều hòa có vận tốc bằng 0 tại hai thời điểm liên tiếp là
t1 = 2,2 s và t2 = 2,9 s. Tính từ thời điểm ban đầu (t = 0) đến thời điểm t2 chất điểm đã qua vị
trí cân bằng
A. 6 lần.
B. 5 lần.
C. 4 lần.
D. 3 lần.
Hướng dẫn giải
+ Hai thời điểm liên tiếp có v = 0 nên vật đi từ biên này đến biên kia :
T
T
t 2  t1   2,9  2, 2   T  1, 4 (s).
2
2
t t
T
+ Ta có : 2 0  2,1  t 2  t 0  2T 
T
14
+ Một chu kì vật qua vị trí cân bằng được 2 lần  Từ biên lùi về quá khứ 2 chu kì vật đã
T
qua vị trí cân bằng (VTCB) được 4 lần, lúc này vật đang ở biên. Tiếp tục lùi
để về vị trí
14
ban đầu thì vẫn chưa đến được VTCB nên trong thời gian t2 = 2,9 (s) chỉ qua được 4 lần 
Chọn C.


Ví dụ 45: Phương trình li độ của vật là x  5cos 10t   (cm). Kể từ thời điểm t1 = 5 s
4

đến thời điểm t2 = 17,5 (s) vật đã đi qua vị trí có vận tốc v = - 25 (cm/s) mấy lần ?
A. 63 lần.
B. 125 lần.
C. 127 lần.
D. 64 lần.
Hướng dẫn giải
Cách 1:
+ Ta có : t1 = 5 (s)  x1  2,5 3 (cm) ; v1 > 0 và t2 = 17,5 (s)  x2 = 2,5 2 (cm) ; v2 < 0.
t t
2
 0, 2(s)  2 1  62,5  t 2  t1  62T  t
+ Ta có : T 

T
v2
+ Vị trí vật có v = - 25  (cm/s) là : x  A 2  2   2 3 (cm)

+ Một chu kì vật qua x   2 3 (cm) được 2 lần theo chiều âm  Trong 62T vật qua
x   2 3 (cm) theo chiều âm được 124 lần.

+ Trong thời gian t còn lại vật đi từ x1  2,5 3 (cm) , v1 > 0 đến x 2  2,5 3 ; v2 < 0 như
hình vẽ (Hs tự vẽ).
+ Từ hình  trong t qua thêm được 1 lần  tổng có 125 lần.
+ Chú ý : Vì v = - 25  (cm/s) < 0 nên chỉ tính những lần theo chiều âm.
Cách 2: (Giải phương trình lượng giác)




+ Ta có : x  5cos 10t    v  50.sin 10t  
4
4



- 19 -

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.
 

10t    k2

 

4 6
 25  50.sin 10t    
 5
4 

10t  
 m.2

4 6
1 k

 t  24  5
24,5  k  87, 29
 có 125 lần.


24,
46

m

86,95
13
m

t 

 120 5
LOẠI 4: THỜI GIAN TRONG MỘT CHU KÌ ĐỂ HAI DAO ĐỘNG CÙNG DẤU
HOẶC TRÁI DẤU.

*Câu 46: (ví dụ 46 trang 81).
Cho hai chất điểm dao động điều hòa cùng phương, có phương trình dao động lần lượt là




x1  5cos  t   (cm) và x 2  5cos  t   (cm). Thời gian trong một chu kì để x1.x2 < 0
3
2


là
1
1
5
5
A. s.
B. s.
C. s.
D. s.
6
3
6
3
*Câu 47: (ví dụ 47 trang 81).

- 20 -

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.
Hai chất điểm dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, mà đồ thị li độ của chúng theo
thời gian được mô tả như hình vẽ bên dưới. Xác định thời gian trong một chu kì mà li độ của
chúng cùng dấu ?
1
5
1
5
A. s.
B. s.
C. s.
D. s.
3
3
6
6

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Câu 1: Một vật dao động điều hòa có chu kì T = 4 s. Thời gian ngắn nhất để vật đi từ điểm có
li độ cực đại đến điểm có li độ bằng một nửa biên độ là
A. 1/3 s.
B. 2 s.
C. 2/3 s.
D. 1 s.
Câu 2: Một vật dao động điều hòa có chu kì là T. Nếu chọn gốc thời gian t = 0 lúc vật qua vị
trí cân bằng, thì trong nửa chu kì đầu tiên, vận tốc của vật bằng không ở thời điểm
T
T
T
T
A. t  .
B. t  .
C. t  .
D. t  .
8
6
4
2
Câu 3: Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình x = A cos4t (t tính bằng s). Tính
từ t=0, khoảng thời gian ngắn nhất để gia tốc của vật có độ lớn bằng một nửa độ lớn gia tốc
cực đại là
A. 0,083s.
B. 0,125s.
C. 0,104s.
D. 0,167s.
Câu 4 :(ĐH – 2010):
Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Trong khoảng thời gian ngắn nhất khi đi từ vị
A
trí biên có li độ x = A đến vị trí x =
, chất điểm có tốc độ trung bình là
2
9A
6A
3A
4A
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
2T
2T
T
T
Câu 5: (ĐH-2013)
Một vật nhỏ dao động điều hòa theo phương trình x = A cos4t (t tính bằng s). Tính từ t=0,
khoảng thời gian ngắn nhất để gia tốc của vật có độ lớn bằng một nửa độ lớn gia tốc cực đại
là
A. 0,083s.
B. 0,125s.
C. 0,104s.
D. 0,167s.
Câu 6: Một chất điểm dao động điều hoà với chu kỳ T trên trục Ox với O là vị trí cân bằng.
A
Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm có toạ độ x = 0 đến điểm có toạ độ x =
là
2
T
T
T
T
A.
.
B.
.
C. .
D.
.
16
12
24
6
Câu 7: Một chất điểm dao động điều hoà với chu kỳ T trên trục Ox với O là vị trí cân bằng.
A
Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm có toạ độ x = 0 đến điểm có toạ độ x =
là
2
- 21 -

Phân loại và phương pháp giải vật lý 12 – Dao động cơ
Gv soạn : Thầy Mỹ Cần Thơ – ĐT: 0913.540.971.

T
T
T
T
.
B.
.
C. .
D.
.
16
12
8
6
Câu 8: Một vật dao động điều hoà có chu kỳ dao động là 4 s. Thời gian ngắn nhất để vật đi
từ điểm có li độ cực đại về điểm có li độ bằng một nửa li độ cực đại là
1
2
A. s.
B. s.
C. 1 s.
D. 2 s.
3
3
Câu 9: Một vật dao động điều hoà với biên độ 4 cm. Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp
tốc độ của vật cực đại là 0,05 s. Khoảng thời gian ngắn nhất để nó đi từ vị trí có li độ 2 cm
đến vị trí có li độ 4 cm là
1
1
1
1
A.
s.
B.
s.
C.
s.
D.
s.
120
100
80
60
Câu 10: Một chất điểm dao động điều hoà với biên độ 10 (cm) và tần số góc 10 rad/s.
Khoảng thời gian ngắn nhất để nó đi từ li độ 3,5 cm đến vị trí cân bằng là
A. 0,036 s.
B. 0,121 s.
C. 2,049 s.
D. 6,951 s.

Câu 11: Một vật dao động điều hoà có phương trình li độ x = 8cos(7t + ) cm. Khoảng thời
6
gian ngắn nhất để vật đi từ li độ 7 cm đến vị trí có li độ 2 cm là
1
5
A.
s.
B.
s.
C. 6,65 s.
D. 0,12 s.
12
24
Câu 12:(CĐ 2009):
Một cật dao động điều...