CHỦ ĐỀ 2: TỨ GIÁC NỘI TIẾP
1. Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó.
2. Định lí
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°.
- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đổi diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được
đường tròn.
Một số dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp
1. Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180° là tứ giác nội tiếp.
2. Tứ giác có 4 đỉnh cách đều một điểm cố định (có 4 đỉnh nằm trên cùng một đường tròn).
3. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.
4. Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện là tứ gác nội tiếp.
Chú ý: Trong các hình đã học thì hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân nội tiếp được
đường tròn.

BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN VỀ TỨ GIÁC NỘI TIẾP
Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp
Phương pháp giải: Để chứng minh tứ giác nội tiếp, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
Cách 1. Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180°.
Cách 2. Tìm được một điểm cách đều 4 đỉnh của tứ giác.
Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BM và CN cắt nhau tại H. Chứng minh tứ giác
AMHN là tứ giác nội tiếp.
Bài 2: Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O), qua A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường
tròn (B, C là tiếp điểm). Chứng minh tứ giác ABOC là tứ giác nội tiếp.

Bài 3: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M là điểm chính giữa của cung AB. Nối M với D, M

với C cắt AB lần lượt ở E và P. Chứng minh PEDC là tứ giác nội tiếp.
Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là điểm thuộc đường tròn. Vẽ
MH vuông góc với BC tại H, vẽ MI vuông góc với AC. Chứng minh MIHC là tứ giác nội
tiếp.
Dạng 2:  Sử dụng tứ giác nội tiếp để chứng minh các góc bằng nhau, các đoạn thẳng
bằng nhau, các đường thẳng song song hoặc đồng quy, các tam giác đồng dạng…
Phương pháp: Sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp
Bài 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm nằm giữa O và B. Kẻ dây CD
vuông góc với AB tại H. Trên cung nhỏ AC lấy điểm E, kẻ CK vuông góc AE tại K. Đường
thẳng DE cắt CK tại F. Chứng minh:
a) Tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp;
b) AH.AB = AD2
c) Tam giác ACE là tam giác cân.
Bài 2. Cho nửa (O) đường kính AB. Lấy M thuộc OA (M không trùng O và A). Qua M vẽ
đường thẳng d vuông góc với AB. Trên d lấy N sao cho ON > R. Nối NB cắt (O) tại C. Kẻ
tiếp tuyến NE với (O) (E là tiếp điểm, E và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ d). Chứng minh:
a) Bốn điểm O, E, M, N cùng thuộc một đường tròn;
b) NE2 = NC.NB;
c) góc NEH = góc NME (H là giao điểm của AC và d);
d) NF là tiếp tuyến (O) với F là giao điểm của HE và (O)
Bài 3. Cho đường tròn (O) đường kính AB, gọi I là trung điểm của OA, dây CD vuông góc
với AB tại I. Lấy K tùy ý trên cung BC nhỏ, AK cắt CD tại H.
a) Chứng minh tứ giác BIHK là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh AHAK có giá trị không phụ thuộc vị trí điểm K.
c) Kẻ DN vuông góc CB, DM vuông góc AC. Chứng minh các đường thẳng MN, AB, CD
đồng quy.
Bài 4. Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Qua A kẻ hai tiếp tuyến
AM, AN tới đường tròn (M, N là hai tiếp điểm). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn
(O; R) tại B và C (AB < AC). Gọi  là trung điểm BC.
a) Chứng minh năm điểm A, M, N, O, I thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh AM2 = AB.AC.
c) Đường thẳng qua B, song song với AM cắt MN tại E. Chứng minh IE song song MC.
d) Chứng minh khi d thay đổi quanh quanh điểm A thì trọng tâm G của tam giác MBC luôn
nằm trên một đường tròn cố định.