UBND HUYỆN ĐỒNG PHÚ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8
CẤP TRƯỜNG NĂM 2023-2024
Môn: TOÁN HỌC
Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Không được sử dụng máy tính cầm tay!

CÂU 1. (2,75 điểm)
1. Giải phương trình:

3
2
4x − 2
2
−
=
.
b) 2 ( 6 x + 7 ) ( 3x + 4 )( x + 1) – 12 = 0 .
x + 1 x − 2 ( x + 1).( x − 2)
x−4
1  
x −8 
2. Cho biểu thức: P =  3 +
.
 : 1 − 2

 x −1 x −1   x + x +1 

a)

a) Rút gọn P.
b) Tìm x thỏa mãn P>0.
3. Tìm giá trị của x,y,z thõa mản phương trình: 9x2 + y 2 + 2z 2 −18x + 4z − 6 y = −20 .
CÂU 2. (1,5 điểm)
1. Phân tích đa thức thành nhân tử: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1.
2. Cho 2 đường thẳng (d): y=mx-1+m; (d1): y=2x-4.
a) Tìm m để (d) và (d1) luôn đi qua một điểm thuộc trục hoành.
b) Tìm m để (d), (d1) và (d2): y=3x đồng quy.
CÂU 3. (1 điểm)
Một ô tô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về đến bến A
mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng nước là 2km/h.
CÂU 4. (1,25 Điểm)
Cho Δ ABC vuông tại A có đường cao AD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc
của D lên cạnh AB, AC.
a) Chứng minh: Tứ giác AEDF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh: AE. AB = AF. AC.
CÂU 5. (2,25 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD.
Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình
chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD.
a) Chứng minh rằng : BEDF là hình bình hành
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK.
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
CÂU 6. (1,25 Điểm)
1. Tìm x biết CD//AB
2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B =

200
x − 2x + 6
2

--- HẾT --Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay và trao đổi
Giám thị không giải thích gì thêm!

ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM THI
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TOÁN 8 CẤP TRƯỜNG – NỘP PHÒNG GD&ĐT
Câu 1. (2,75 điểm)
1. (VD) Giải phương trình:
a) (VD)

3
2
4x − 2
−
=
.
x + 1 x − 2 ( x + 1).( x − 2)

b) (VDC) 2 ( 6 x + 7 ) ( 3x + 4 )( x + 1) – 12 = 0 .
2

Ý

a)

Đáp án

Điểm

3
2
4x − 2
−
=
x + 1 x − 2 ( x + 1).( x − 2)
3( x − 2)
2( x + 1)
4x − 2
−
=
( x + 1)( x − 2) ( x + 1)( x − 2) ( x + 1)( x − 2)
3x − 6 − 2 x − 2 = 4 x − 2
x − 4x = 8 − 2
−3 x = 6
x = −2

0,5

Điều kiện xác định: x≠{-1;2}
⇒ S={-2}
2 ( 6 x + 7 ) ( 3x + 4 )( x + 1) – 12 = 0
2

(6x
(6x

+ 7 ) 2.(3 x + 4)6.( x + 1) = 72
2

0,25

+ 7 ) (6 x + 8)(6 x + 6) = 72
2

- Đặt 6x+7=t
Ta được:
t 2 (t + 1)(t − 1) = 72
t 2 (t 2 − 1) = 72
t 4 − t 2 − 72 = 0

b)

(t 2 − 9)(t 2 + 8) = 0

0,5

t 2 + 8  0
2
t − 9 = 0
 t2 − 9 = 0
 t =3

t = −3

 S={±3}

1  
x −8 
 x−4
+
 : 1 − 2

3
 x −1 x −1   x + x +1 

2. (VD) Cho biểu thức: P = 
a) (VD) Rút gọn P.

b) (VDC) Tìm x thỏa mãn P>0.

.

Ý

Đáp án

Điểm

1  
x −8 
 x−4
+
 : 1 − 2

3
 x −1 x −1   x + x +1 

P= 


  x2 + x + 1 − x + 8 
x−4
x2 + x + 1
P=
+
:

2
2
x2 + x + 1 
 ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1)  

x2 + 9
x − 4 + x2 + x +1
P=
:
( x − 1)( x 2 + x + 1) x 2 + x + 1

a)

x2 + 9
x 2 + 2x − 3
:
P=
( x − 1)( x 2 + x + 1) x 2 + x + 1
P=

( x + 3)( x − 1)
x2 + x +1
.
( x − 1)( x 2 + x + 1)
x2 + 9

P=

x+3
x2 + 9

0,5

Điều kiện xác định: x≠{1}
- Để P>0
x+3
>0
x2 + 9


b)

- Mà x2+9>0

0,5

 x+3<0
 x<-3
- Vậy để P>0 thì x<-3
3. (VDC) Tìm giá trị của x,y,z thõa mản phương trình: 9 x2 + y 2 + 2 z 2 −18x + 4 z − 6 y = −20 .
Ý

Đáp án

Điểm

9 x + y + 2 z − 18 x + 4 z − 6 y = −20
2

2

2

9 x 2 + y 2 + 2 z 2 − 18 x + 4 z − 6 y + 20 = 0

(9x

2

− 18 x + 9 ) + ( y 2 − 6 y + 9 ) + ( 2 z 2 + 4 z + 2 ) = 0

( 3x − 3) + ( y − 3) + 2 ( z + 1)
( 3 x − 3)2  0
 x =1

2

Vì  ( y − 3)  0   y = 3


2
 z = −1
 ( z + 1)  0
2

2

2

0,5

=0

Vậy x=1;y=3;z=-1
Câu 2. (1,5 điểm)
1. (VDC) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1.
Ý

(x
=

Đáp án

+ 1)( x + 2 )( x + 3 )( x + 4 ) + 1

(x

2

+ 5 x + 4 )( x 2 + 5 x + 6 ) + 1

Điểm

- Đặt x2 + 5x + 4 =t
2
Ta được: = t ( t + 2 ) + 1 = t 2 + 2t + 1 = ( t + 1)
- Thay t= x2 + 5x + 4
2
Ta được: ( x 2 + 5 x + 5 )

0,5

2. Cho 2 đường thẳng (d): y=mx-1+m.
(d1): y=2x-4.
a) (VD) Tìm m để (d) và (d1) luôn đi qua một điểm thuộc trục hoành.
b) (VD) Tìm m để (d), (d1) và (d2): y=3x đồng quy.
Ý

Đáp án
Điểm
- Vì (d) và (d1) đi qua một điểm ∈ Ox ⇒ y=0
- Thay y=0 vào (d1) ta được 0=2x-4 => x=2
0,5
- Thay x=2;y=0 vào (d)
a)
1
Ta được: 0=m2-1+m ⇔ 0=3m-1 => m=
3
- Ta có phương trình hoành độ:
2x-4=3x⇔2x-3x=4⇔x=-4
- Thay x=-4 vào y=2x-4 ta được: y=-12
- Thay x=-4;y=-12 vào (d)
b)
0,5
Ta được: -12=m.(-4)-1+m
-11=-3m
11
m=
3
Câu 3. (1 điểm) (VD) Một ô tô xuôi dòng từ bến A đến bến B mất 4 giờ và ngược dòng từ bến B về
đến bến A mất 5 giờ. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc của dòng nước là
2km/h.
Ý

Đáp án
Gọi x(km) là khoảng cách giữa hai bến A và B. Điều kiện x>0
x
Vận tốc xuôi dòng là : (km/h)
4
x
Vận tốc ngược dòng là: (km/h)
5
Theo đề bài ta có phương trình:
x x
− = 2.2
4 5
x = 80 ( nhận)
Vậy khoảng cách giữa hai bến A và B là 80km

Điểm
0,25
0,25

0,5

Câu 4. (1,25 Điểm) Cho Δ ABC vuông tại A có đường cao AD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông
góc của D lên cạnh AB, AC.
a) (NB) Chứng minh: Tứ giác AEDF là hình chữ nhật.
b) (VD) Chứng minh: AE. AB = AF. AC.
Ý

Đáp án
Hình vẽ +GT +KL
Lưu ý: KHÔNG VẼ HÌNH – KHÔNG CHẤM ĐIỂM CẢ CÂU

Điểm

B

E

A

D

F

C

Chứng minh: Tứ giác AEDF là hình chữ nhật.
̂ = 𝐴𝐸𝐷
̂ = 𝐴𝐹𝐷
̂ = 90𝑜 (giả thiết)
- Xét tứ giác AEDF : 𝐸𝐴𝐹
a)
0,5
⇒ AEDF là hình chữ nhật
Chứng minh: AE. AB = AF. AC.
b)
̂ chung; 𝐷
̂ = 𝐸̂ = 90𝑜 (giả thiết)
- Xét △DAE và △BAD: 𝐸𝐴𝐷
DA AE
=
 AD 2 = AE. AB
⇒
(1)
BA AD
0,5
̂ chung; 𝐹̂ = 𝐷
̂ = 90𝑜 (giả thiết)
- Xét △ADF và △ACD: 𝐷𝐴𝐶
AD AF
=
 AD 2 = AF . AC
⇒
(2)
AC AD
0,25
- Từ (1) và (2) ⇒ AE.AB=AF.AC
Câu 5. (2,25 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F
lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C
xuống đường thẳng AB và AD.
d) (NB) Chứng minh rằng : BEDF là hình bình hành
e) (VD) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK.
f) (VDC) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2.
Ý

Đáp án
Hình vẽ +GT +KL
Lưu ý: KHÔNG VẼ HÌNH – KHÔNG CHẤM ĐIỂM CẢ CÂU

a)

Chứng minh rằng : BEDF là hình bình hành

Điểm

- Chứng minh: △OBE= △ODF (g.c.g)
+ Có: OB=OD (giả thiết); OE=OF( cmt)
 O là trung điểm của 2 đường chéo
Suy ra: Tứ giác BEDF là hình bình hình
Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
b)

0,5

- Chứng minh: △CBH ~ △CDK
0,5

CB CH
=
 CB.CK = CH .CD
⇒
CD CK

Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2
̂ chung ; 𝐴𝐸𝐵
̂ = 𝐴𝐻𝐶
̂ = 90𝑜 (giả thiết)
- C/m △ABE ~△ACH: 𝐻𝐴𝐶
⇒

AB AE
=
 AB. AH = AE. AC
AC AH

(1)

̂ chung ; 𝐴𝐹𝐷
̂ = 𝐴𝐾𝐶
̂ = 90𝑜 (giả thiết)
- C/m △ADF ~△ACK: 𝐾𝐴𝐶
c)

AD AF
=
 AD. AK = AF . AC
⇒
AC AK

0,25
0,25

(2)

Từ (1) và (2) ⇒ AB.AH+AD.AK=AE.AC+AF.AC

0,25

AB.AH+AD.AK= AC(AE+AF)
- Chứng minh △ABE=△CDF ⇒ AE=CF
⇒ AB.AH+AD.AK= AC(CF+AF) mà AC=CF+AF
⇒ AB.AH+AD.AK= AC2 (điều cần phải chứng minh)

0,5

Câu 6. (1,25 Điểm)
1. (VD) Tìm x biết CD//AB

2. (VDC) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B =
Ý
1

Đáp án
- Chứng minh △AEB~ △DEC: AB//CD (Định lí đồng dạng)
x−2 3
AE AB
=  5 x − 10 = 30  5 x = 40  x = 8
=
⇒
thay
10
5
DE CD
200
200
200
= 2
=
Ta có: B = 2
2
x − 2x + 6
x − 2x + 1 + 5 ( x − 1) + 5

(

2

200
x − 2x + 6
2

)

200
 B  40
5
Dấu “=” xảy ra khi x-1=0 hay x=1
Vậy giá trị lớn nhất của B=40 khi và chỉ khi x=1

Vì ( x − 1)  0  B 

Điểm
0,5
0,25

2

0,5