CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

MỤC LỤC
▶BÀI ❷. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC....................................................................2
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức......................................................................................................................2
Ⓑ. Phân dạng toán cơ bản.............................................................................................................3
⬩Dạng ❶: Tính giá trị của các biểu thức chứa giá trị lượng giác....................3
⬩Dạng ❷: Giá trị lượng giác của góc lượng giác............................................4
⬩Dạng ❸: Ứng dụng......................................................................................5
Ⓒ. Dạng toán rèn luyện..................................................................................................................6
⬩Dạng ❶: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn..................................6
⬩Dạng ❷: Câu trắc nghiệm đúng, sai..........................................................13
⬩Dạng ❸: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.......................................................18

Giáo viên:……….…….

1

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

▶BÀI ❷. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
Ⓐ. Tóm tắt kiến thức
 ❶. Công thức cộng

(khi các biểu thức đều có nghĩa).
❷. Công thức nhân đôi
●
●
●

(khi các biểu thức đều có nghĩa).
❸. Công thức hạ bậc
●
●

❹. Công thức biến đổi tích thành tổng

❺. Công thức biến đổi tổng thành tích

Giáo viên:……….…….

2

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

Ⓑ. Phân dạng toán cơ bản
⬩Dạng ❶: Tính giá trị của các biểu thức chứa giá trị lượng giác
☞Các ví dụ minh họa
Câu 1: Cho

. Tính

Câu 2: Cho

. Tính

Câu 3: Cho

. Tính:

.

.

Câu 4: Không dùng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a)
b)
c)
Câu 5: Không dùng máy tính, hãy tính:

a)

;

b)

.

Câu 6: Tính giá trị của các biểu thức sau:

Câu 7: Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức sau

Câu 8: Biết

và

. Hãy tính các giá trị lượng giác của góc

Câu 9: Không dùng máy tính cầm tay. Tính giá trị của các biểu thức sau:

Giáo viên:……….…….

3

Số ĐT…………….

.

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

a)
b)

c)

.

Câu 10: Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác của góc
Câu 10: Cho

a)

và

.

. Tính giá trị của các biểu thức sau:

;

b)
c)
Câu 11: Tính các giá trị lượng giác của góc

, biết

và

.

⬩Dạng ❷: Giá trị lượng giác của góc lượng giác
☞Các ví dụ minh họa
Câu 1: Cho
Câu 2: Cho tam giác

. Chứng minh rằng:

.

, chứng minh rằng:

a)
(với điều kiện tam giác

không vuông);

b)

;

Câu 3: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
a)

;

b)

;

c)

;
Giáo viên:……….…….

4

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

d)

.

Câu 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a)

b)

;

c)
Câu 5: Chứng minh đẳng thức sau

Câu 6: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
b)

.

Câu 7: Chứng minh rằng:
a)
b)

.

Câu 8: Chứng minh rằng trong mọi tam giác

ta đều có

⬩Dạng ❸: Ứng dụng
☞Các ví dụ minh họa
Câu 1: Một sợi cáp

được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất

.

Một sợi cáp
khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất
.
Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách
chân cột 15 m (Hình 3).

Giáo viên:……….…….

5

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

a) Tính

, ở đó

là góc giữa hai sợi cáp trên.

b) Tính số đo góc

(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Câu 2: Trong vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho
bởi công thức x (t )= A cos ( ωt+ φ ) , trog đó t là thời điểm (tính bằng giây), x (t )
là li độ của vật tại thời điểm t , A là biên độ dao động ( A> 0) và φ ∈ [ −π ; π ] là
pha
ban
đầu
của
dao
động.
Xét hai dao động điều hòa có phương trình:

( π3 t + π6 )( cm )
π
π
¿ x 2 ( t )=2 cos ( t− ) ( cm )
3
3
¿ x 1 ( t )=2 cos

Tìm dao động tổng hợp x (t )=x 1 ( t ) + x 2 ( t ) và sử dụng công thức biến đổi tổng thành
tích để tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp này
--------------------------------------------VÀO NHÓM ZALO CÓ FILE WORD FULL GIẢI TRỌN BỘ

https://zalo.me/g/ifywxq805
Ⓒ. Dạng toán rèn luyện
⬩Dạng ❶: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn
Câu 1: Tính

A.
Câu 2: Tính
A.

ta được:

.

B.

.

C.

.

D.

.

ta được:
.

B.

.

C.

.

Câu 3: Rút gọn biểu thức:
Giáo viên:……….…….

D.

.

, ta được:
6

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

A.

.

B.

.

C.

Câu 4: Rút gọn biểu thức
A.

.

B.

.

D.

.

ta được
.

Câu 5: Giá trị của biểu thức

A.

.

C.

.

D.

.

bằng

B.

.

C. –

.

D.

.

Câu 6: Biểu thức

A.

có giá trị bằng:

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 7: Rút gọn biểu thức:

,

ta được

A.

B.

Câu 8: Giá trị của biểu thức

A.

C.

D.

C. –

D.

bằng

B.

Câu 9: Rút gọn biểu thức:
A.

ta được kết quả là
B.

C.

D.

Câu 10: Khẳng định nào dưới đây SAI?
A.

.

B.

C.

.

D.

Câu 11: Gọi

A.

.
.

thì:

B.

Giáo viên:……….…….

C.

7

D.

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

Câu 12: Giá trị đúng của

A.

bằng

.

Câu 13: Cho hai góc nhọn

B.

.

C.

và

. Biết

Giá trị

,

B.

và

.

B.

.

D.

đều là các góc nhọn và dương thì

C.

Câu 15: Nếu

.

D.

thì
.

B.

Câu 16: Gọi

.

C.

B.

C.

D.

bằng:
.

D.

Câu 17: Gọi

.

thì:

A.

Câu 18: Nếu

.

thì:

A.

C.

.

.

C.

Câu 14: Nếu biết

A.

D. –

bằng

A.

A.

.

.

B.

.

.

D.

thì

Giáo viên:……….…….

.

bằng

8

Số ĐT…………….

là:

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

A.

B.

Câu 19: Biết

C.

và

A.

.

D.

. Giá trị của
B.

.

Câu 20: Biểu thức

là

C.

.

D.

.

có kết quả rút gọn bằng:

A.

.

B.

.

Câu 21: Biểu thức

C.

.

D.

.

có kết quả rút gọn bằng:

A.

.

B.

.

C.

.
D.

Câu 22: Khi

thì biểu thức

A.

.

B.

.

có giá trị bằng.

.

C.

.
D.

Câu 23: Nếu

thì biểu thức

A.

.

B.

Câu 24: Nếu

B.

Câu 25: Biết

A.

bằng:

.

C.

.

D.

thì giá trị của biểu thức

A. .

.

C.

và

.

Giáo viên:……….…….

.

C.

.

bằng.
.

D.

thì biểu thức

B.

.

.

có giá trị bằng:

.
9

D.

.

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

Câu 26: Rút gọn biểu thức
A.

.

ta được kết quả là:
B.

.

Câu 27: Tích số

C.

.

B.

C.

D.

Câu 28: Cho biểu thức

Hãy chọn kết quả đúng

A.

B.

C.

D.

Câu 29: Cho

. Khi đó giá trị lớn nhất của
.

B.

.

C.

.

B.

D.

Câu 32: Biết

C.

B.

.

C.

là các góc của tam giác
B.

C.

D.
là các góc của tam giác

B.

C.

D.

,
Giáo viên:……….…….

.

.
là

D.

.

khi đó.

A.

Câu 34: Biết

D.

khi đó.

A.

Câu 33: Biết

.

. Khi đó giá trị lớn nhất của

A. .

.

là

.

Câu 31: Cho

là

.

Câu 30: Giá trị lớn nhất của biểu thức
A.

.

bằng

A.

A.

D.

đều là góc dương, nhọn thì:
10

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

A.

.

B.

.

Câu 35: Nếu biết

C.

.

thì các giá trị của

A.

hoặc ngược lại.

C.

bằng:

B.

hoặc ngược lại.

D.

hoặc ngược lại.

D.

hoặc ngược lại.

Câu 36: Hãy xác định hệ thức sai:

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 37: Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

A.

.

C.

Câu 38: Nếu

A.

thì giá trị của

.

B.

Câu 39: Nếu

B.

.

. D.

.

là:

.

C.

.

D.

thì giá trị đúng của
Giáo viên:……….…….

11

.

là:

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

A.

.

B.

.

C.

.
D.

.

Câu 40: Trong các mệnh đề sau. Mệnh đề nào sai.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 41: Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 42: Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?
A.

.

B.

.

C.

.
Giáo viên:……….…….

12

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

D.

.

Câu 43: Biểu thức
gọn bằng:

A.

không phụ thuộc vào

.

B.

.

C.

.

D.

Câu 44: Nếu biết

A.

B.

Câu 45: Cho

.

C.

.

D.

có giá trị đúng bằng:

.

. Chọn khẳng định đúng.

A.

.

B.

.

Câu 46: Giá trị lớn nhất của
A. .

C.

.

Câu 48: Một tam giác

.

D.

.

bằng
B.

.

C.

Câu 47: Giá trị nhỏ nhất của

A.

.

thì

.

và có kết quả rút

.

D.

.

là

B.

.

có các góc

C.

.

D. .

thỏa mãn

thì tam giác đó có gì đặc biệt?
A. Không có gì đặc biệt.

B. Tam giác đó vuông.

C. Tam giác đó đều.

D. Tam giác đó cân.

⬩Dạng ❷: Câu trắc nghiệm đúng, sai

Câu 1.

Cho biết

và

. Khi đó:

a)
b)
Giáo viên:……….…….

13

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

c)
d)

Câu 2.

Cho biết

và

. Khi đó:

a)
b)
c)
d)

Câu 3.
a)

Cho biết

. Khi đó:

b)
c)
d)

Câu 4.
a)

Cho biết

. Khi đó:

b)
c)
d)

Câu 5.
a)

Cho biết

và

; khi đó:

b)
Giáo viên:……….…….

14

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

c)
d)

Câu 6.
a)

Cho biết

và

; khi đó:

b)
c)

d)
Câu 7.
a)

Cho biết

và

. Khi đó:

b)
c)

d)
Câu 8.

Biết

và

,

là các góc nhọn. Khi đó:

a)
b)
c)
d)

Câu 9.

Biết

và

. Khi đó:

a)
b)
c)

Giáo viên:……….…….

15

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

d)

Câu 10. Biết

. Khi đó:

a)
b)
c)
d)

Câu 11. Biết
a)

. Khi đó:

b)
c)
d)

Câu 12. Cho

. Khi đó:

a)
b)
c)
d)

Câu 13. Cho

. Khi đó:

a)
b)
Giáo viên:……….…….

16

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

c)

d)
Câu 14. Biết:

và

. Khi đó:

a)
b)
c)
d)

Câu 15. Cho

, khi đó:

a)
b)
c)
d)

Câu 16. Biết:

. Khi đó:

a)
b)
c)
d)

Câu 17. Biến đổi được các biểu thức sau về dạng tích số. Khi đó:
a)

Giáo viên:……….…….

17

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

b)

;

c)
d)
Câu 18. Cho

. Khi đó:

a)
b)
c)
d)

Câu 19. Cho

. Khi đó:

a)
b)
c)
d)
⬩Dạng ❸: Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1: Cho

. Tính

Câu 2: Cho các góc
Tính
Câu 3: Cho
Câu 4: Cho

.

thỏa mãn

.

.
và
, với
Giáo viên:……….…….

. Tính

.

. Tính
18

.
Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

Câu 5: Cho hai góc nhọn

và

. Biết

Câu 6: Cho hai góc nhọn

và

với

Câu 7: Cho tam giác
nào?

. Tính giá trị của biểu thức:

và

. Tính

có:

.

. Khi đó tam giác

cân tại điểm

Câu 8: Rút gọn

Câu 9: Biến đổi thành tổng biểu thức sau:

.

Câu 10: Biết rằng

, khi đó

Câu 11: Biết rằng

. khi đó

Câu 12: Cho

Câu 13: Cho

. Tính giá trị của biểu thức sau:

. Tính giá trị của biểu thức sau:

Câu 14: Rút gọn biểu thức

.

;

Câu 15: Rút gọn biểu thức

.

Câu 16: Biến đổi thành tích biểu thức
Câu 17: Biến đổi thành tổng biểu thức

;
.

Câu 18: Biết

tìm

?

Câu 19: Biết

tìm

?

Câu 20: Biết

Câu 21: Cho tam giác

tìm

?

. Biết

Giáo viên:……….…….

, tìm ?
19

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

Câu 22: Rút gọn biểu thức sau:

Câu 23: Rút gọn biểu thức sau:
Câu 24: Cho

. Tính

Câu 25: Cho

. Tính

Câu 26: Cho

và

Câu 27: Cho tam giác

.
.
.
. Tính

.

có

, thỏa

Hỏi tam giác

là tam giác gì?

Câu 28: Cho

với

. Tính

.

.

Câu 29: Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác của góc
Câu 30: Cho

, với

.

.

Tinh
Câu 31: Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
b)

.

Câu 32: Cho

. Tính

Câu 33: Cho

.
. Chứng minh rằng:

.

Câu 34: Không dùng máy tính cầm tay. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
b)
Giáo viên:……….…….

20

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

c)

.

Câu 35: Cho

và

, tính giá trị của các biểu thức sau:

a)
b)
c)
d)
Câu 36: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
b)

;

c)
d)

.

Câu 37: Cho

. Tìm

Câu 38: Cho

để
và

.
. Tính giá trị của biểu thức

và

.
Câu 39: Phương trình dao động điều hoà của một vật tại thời điểm giây được cho bởi công
thức
, trong đó
là li độ của vật tại thời điểm giây,
là
biên độ dao động
và
là pha ban đầu của dao động.
Xét hai dao động điều hoà có phương trình lần lượt là:

a) Xác định phương trình của dao động tổng hợp

.

b) Tìm biên độ và pha ban đầu của dao động tổng hợp trên.
Giáo viên:……….…….

21

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

Câu 40: Trên một mảnh đất hình vuông
, bác
đặt một chiếc đèn pin tại vị trí chiếu
chùm sáng phân kì sang phía góc . Bác An nhận thấy góc chiếu sáng của đèn pin
giới hạn bởi hai tia
và
, ở đó các điểm
lần lượt thuộc các cạnh
sao cho

a) Tính

.

b) Góc chiếu sáng của đèn pin bằng bao nhiêu độ?
Câu 41: Cho tam giác
cho

vuông tại
, điểm

có cạnh

. Điểm

thuộc tia đối của tia

a) Tìm

, từ đó tính độ dài đoạn

.

b) Tính

, từ đó tính độ dài cạnh

.

thuộc đoạn

sao cho

(Các kết quả trong bài được làm tròn đến hàng phần trăm).

Giáo viên:……….…….

22

Số ĐT…………….

.

sao

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

Câu 42: Từ một vị trí , người ta buộc hai sợi cáp
và
đến một cái trụ cao
dựng vuông góc với mặt đất, chân trụ ở vị trí . Biết
và
góc nhọn
tạo bởi hai sợi dây cáp đó, đồng thời tính gần đúng
đến hàng phần chục, đơn vị độ).

Câu 43: Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng-ten cao
mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh

và chân

. Từ vị trí quan sát
của cột ăng-ten dưới góc

phương nằm ngang. Biết chiều cao của toà nhà là
a) Tính

, được
. Tìm
(làm tròn

cao
và

so với
so với

, hai toà nhà cách nhau

.

;

b) Tính góc

(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Câu 44: Trong Vật lí, phương trình tổng quát của một vật dao động điều hoà cho bởi công thức
, trong đó

là thời điểm (tính bằng giây),

thời điểm
là biên độ dao động
và
động. Xét hai dao động điều hoà có phương trình:

Giáo viên:……….…….

là li độ của vật tại

là pha ban đầu của dao

. Tìm dao động tổng hợp

23

Số ĐT…………….

CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM CTM 2025

TRƯỜNG THPT …………………

và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích để tìm biên độ và pha
ban đầu của dao động tổng hợp này.

Giáo viên:……….…….

24

Số ĐT…………….