ĐỀ TEST NHANH
TỶ SỐ THỂ TÍCH – HÌNH HỌC 12
TIME: 20 PHÚT
ĐỀ BÀI
Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N là trung điểm của AB , AC , lấy điểm P thuộc cạnh AD sao cho
V
2
AP  AD . Khi đó tỉ số AMNP bằng
3
VABCD
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
6
8
4
3
V
Câu 2 . Cho hình chóp S. ABC có M , N , P theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC . Đặt k  MNPABC
VSABC
. Khi đó giá trị của k là
1
8
7
A. .
B. .
C. .
D. 8 .
8
7
8
Câu 3. Cho tứ diện ABCD có I là trung điểm của AB , J thuộc đoạn AC thỏa mãn 2AJ  JC . Biết rằng
thể tích khối ABCD là 6a 3 . Thể tích của khối BCDJI là
5a 3
A. 2a 3 .
B. 5a3 .
C. 3a3 .
D.
.
6
Câu 4. Cho hình chóp S. ABC . Gọi   là mặt phẳng qua A và song song với BC .   cắt SB , SC lần
Câu 1.

SM
biết   chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.
SB
2
3
1
1
A. .
B. .
C.
.
D.
.
3
2
2
2
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Gọi   là mặt phẳng qua A , trọng tâm G của tam giác SBC

lượt tại M , N . Tính tỉ số

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

Câu 8.

và song song với BC chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa phần bé và phần lớn
của hai phần đa diện trên.
3
4
2
3
A. .
B. .
C. .
D. .
5
5
3
4
Cho hình chóp S.ABCD . Gọi A ', B ', C ', D ' lần lượt là trung điểm của SA, SB , SC , SD. Tính
tỷ số k của thể tích khối chóp S.A ' B ' C ' D ' chia cho thể tích khối chóp S.ABCD .
1
1
1
1
A. k
.
B. k
.
C. k
.
D. k
.
16
8
2
4
Cho hình lăng trụ ABC. A B C có thể tích là V . Điểm M nằm trên cạnh AA sao cho
V
.
AM 2MA . Gọi V là thể tích của khối chóp M .BCC B . Tính tỉ số
V
V
1
V
1
V
3
V
2
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
V
3
V
2
V
4
V
3
Cho hình hộp ABCD. A B C D có I là giao điểm của AC và BD . Gọi V1 và V2 lần lượt là thể
V
tích của các khối ABCD. A B C D và I . A B C . Tính tỉ số 1 .
V2
V
V
V
V
3
A. 1 6 .
B. 1
.
C. 1 2 .
D. 1 3 .
V2
V2
V2 2
V2

Cho tứ diện ABCD . Gọi B ; C  lần lượt là trung điểm của AB và CD . Khi đó tỷ số thể tích
của khối đa diện ABCD và khối tứ diện ABCD bằng:
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
6
2
8
4
Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy. Góc giữa
Câu 9.

hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  là 60 . Gọi M ; N là trung điểm của SB; SC . Khi đó tỉ số thể
tích khối S.AMND so với thể tích khối chóp S.ABCD bằng
2
1
3
5
A. .
B. V  .
C. .
D. .
3
2
8
8
Câu 11. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a . Mặt bên của hình chóp tạo với đáy góc 60
. Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M,N.
Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMN.
2a 3 3
4a 3 3
5a3 3
a3 3
A. V 
.
B. V 
.
C. V 
.
D. V 
.
3
3
2
2
Câu 12. Cho khối lăng trụ ABC. ABC . Gọi M là trung điểm của BB , N
là điểm trên cạnh CC sao cho CN  3NC . Mặt phẳng ( AMN )
chia khối lăng trụ thành hai phần có thể tích V1 và V2 như hình vẽ.
V
Tính tỉ số 1 .
V2
V 5
V 3
A. 1  .
B. 1  .
V2 3
V2 2
V 4
V 7
C. 1  .
D. 1  .
V2 3
V2 5
Câu 13. Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  a, AD  b, SA vuông góc với đáy,

SA  2a . Điểm M thuộc đoạn SA, AM  x . Giá trị của x để mặt phẳng  MBC  chia khối
S.ABCD thành hai khối có thể tích bằng nhau là
3 5
2 3
A. x 
B. x 
C. x  2  3 a .
D. x  3  5 a .
a.
a.
2
2
Câu 14. Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a . Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD,
ABC và E là điểm đối xứng với điểm B qua điểm D. Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện
ABCD thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện chứa điểm A.
a3 2
3a3 2
9a 3 2
4a 3 2
A. V 
.
B. V 
.
C. V 
.
D. V 
.
135
320
80
96
Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA, N là điểm trên
cạnh SB sao cho SN = 2NB. Mặt phẳng qua M,N cắt cạnh SD và SC lần lượt tại Q và P. Tỉ số
VS .MNPQ
lớn nhất bằng
VS . ABCD



A.

2
.
5

B.

1
.
3

C.
HẾT.

1
.
4





D.

3
.
8



1.A.C
12.D

3.B
13.D

MỨC ĐỘ
NHẬN
BIẾT

THÔNG
HIỂU

VẬN
DỤNG
VẬN
DỤNG
CAO

4.D
14.C

5.B
15.B

BẢNG ĐÁP ÁN
6.C
7.D

8.A

9.B

10.A

11.C

MA TRẬN TEST NHANH TỈ SỐ THỂ TÍCH
CÂU
DẠNG TOÁN
1
CHO SẴN TỶ LỆ , TÍNH TỶ SỐ HOẶC THỂ TÍCH ĐÁY TAM GIÁC
2
CHO SẴN TỶ LỆ , TÍNH TỶ SỐ HOẶC THỂ TÍCH ĐÁY TAM GIÁC
3
CHO SẴN TỶ LỆ , TÍNH TỶ SỐ HOẶC THỂ TÍCH ĐÁY TAM GIÁC
4
CHO SẴN TỶ LỆ , TÍNH TỶ SỐ HOẶC THỂ TÍCH ĐÁY TAM GIÁC
5
LIÊN QUAN ĐÁY TỨ GIÁC , PHẢI CHIA RA TÍNH
6
LIÊN QUAN ĐÁY TỨ GIÁC , PHẢI CHIA RA TÍNH
7
TỶ SỐ LIÊN QUAN ĐẾN LĂNG TRỤ , HỘP
8
TỶ SỐ LIÊN QUAN ĐẾN LĂNG TRỤ , HỘP
9
TÍNH TỶ SỐ CÁC HÌNH CÓ KÈM GÓC KHOẢNG CÁCH
10 TÍNH TỶ SỐ CÁC HÌNH CÓ KÈM GÓC KHOẢNG CÁCH
11 TÍNH TỶ SỐ CÁC HÌNH CÓ KÈM GÓC KHOẢNG CÁCH
12 TỶ SỐ CÁC BÀI CHIA KHỐI LỚN THÀNH NHIỀU KHỐI NHỎ
13 TỶ SỐ CÁC BÀI CHIA KHỐI LỚN THÀNH NHIỀU KHỐI NHỎ
14 TỶ SỐ CÁC BÀI CHIA KHỐI LỚN THÀNH NHIỀU KHỐI NHỎ
15

MAX MIN LIÊN QUAN TỶ SỐ THỂ TÍCH
LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1.

[2H1-3.3-1] Cho tứ diện ABCD . Gọi M , N là trung điểm của AB , AC , lấy điểm P thuộc cạnh
V
2
AD sao cho AP  AD . Khi đó tỉ số AMNP bằng
3
VABCD
1
A. .
6

1
B. .
8

1
C. .
4

1
D. .
3

Lời giải
Tácgiả:LêThịNguyên; Fb: NgọcGiangNguyên
Chọn A

VAMNP AM AN AP 1 1 2 1

.
.
 . .  .
VABCD
AB AC AD 2 2 3 6
[2H1-3.3-1] Cho hình chóp S. ABC có M , N , P theo thứ tự là trung điểm của SA , SB , SC .
V
Đặt k  MNPABC . Khi đó giá trị của k là
VSABC
Ta có:

Câu 2.

A.

1
.
8

8
B. .
7

C.

7
.
8

D. 8 .

Lời giải
Tácgiả:LêThịNguyên; Fb: NgọcGiangNguyên
Chọn C

Đặt VSABC  V , VSMNP  V1 , VMNPABC  V2
V1 SM SN SP 1 1 1 1
1

.
.
 . .   V1  V .
V
SA SB SC 2 2 2 8
8
V
7
1
7
V2  V  V1  V  V  V  2  .
V 8
8
8
7
.
8
[2H1-3.3-1] Cho tứ diện ABCD có I là trung điểm của AB , J thuộc đoạn AC thỏa mãn
2AJ  JC . Biết rằng thể tích khối ABCD là 6a 3 . Thể tích của khối BCDJI là

Vậy k 
Câu 3.

A. 2a 3 .

B. 5a3 .

C. 3a3 .

D.

5a 3
.
6

Lời giải
Tácgiả:LêThịNguyên; Fb: NgọcGiangNguyên
ChọnB

Do 2AJ  JC nên AJ 
Ta có:

Câu 4.

1
AC .
3

VAIJD
AI AJ AD 1 1
1
1

.
.
 . .1   VAIJD  .VABCD .
VABCD AB AC AD 2 3
6
6

5
5
VBCDJI  VABCD  VAIJD  VABCD  .6a 3  5a 3 (đvtt).
6
6
[2H1-3.3-1] Cho hình chóp S. ABC . Gọi   là mặt phẳng qua A và song song với BC .   cắt

SB , SC lần lượt tại M , N . Tính tỉ số

SM
biết   chia khối chóp thành hai phần có thể tích
SB

bằng nhau.
A.

1
.
3

B.

1
.
2

C.

3
.
2

D.

2
.
2

Lời giải
Tácgiả:LêThịNguyên; Fb: NgọcGiangNguyên
ChọnD


  / / BC
Do 
nên MN / / BC .


(
SBC
)

MN




Đặt

SM
SN
 k (k  0) 
k.
SB
SC

Ta có:

VSAMN SA SM SN

.
.
 k 2  VSAMN  k 2 .VSABC (1).
VSABC SA SB SC

1
Do   chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau nên VSAMN  VSABC (2).
2

1
2
.
k 
2
2
[2H1-3.3-2] Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD . Gọi   là mặt phẳng qua A , trọng tâm G của
Từ (1) và (2) suy ra: k 2 

Câu 5.

tam giác SBC và song song với BC chia khối chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa phần
bé và phần lớn của hai phần đa diện trên.
3
4
2
3
A. .
B. .
C. .
D. .
5
5
3
4
Lời giải
Tácgiả:LêThịNguyên; Fb: NgọcGiangNguyên
Chọn B

Gọi I là trung điểm của BC.

 E  SB, F  SC


G     ( SBC )
Ta có: 
nên    (SBC)  EF với  EF / / BC
.

/
/
BC



G  EF


Mặtkhác : AD / / BC nên AD    .
Thiết diện là tứ giác AEFD .
Do G là trọng tâm tam giác SBC nên
Ta có:

SG 2
SE SF 2
 

 .
SI 3
SB SC 3

VS . ADF SF 2
2
1

  VS . ADF  .VS . ADC  .VS . ABCD .
VS . ADC SC 3
3
3

VS . AEF SE SF 4
4
2

.
  VS . AEF  .VS . ABC  .VS . ABCD .
VS . ABC SB SC 9
9
9
5
4
VS . AEFD  VS . ADF  VS . AEF  .VS . ABCD  VABCDFE  VS . ABCD  VS . AEFD  .VS . ABCD .
9
9

Vậy:
Câu 6.

VABCDFE 4
 .
VS . AEFD 5

[2H1-3.3-2] Cho hình chóp S.ABCD . Gọi A ', B ', C ', D ' lần lượt là trung điểm của SA, SB ,
SC , SD. Tính tỷ số k của thể tích khối chóp S.A ' B ' C ' D ' chia cho thể tích khối chóp S. ABCD
.
1
.
2

A. k

B. k

1
.
4

C. k

1
.
8

D. k

1
.
16

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Dung; Fb: Ngọc Dung
Chọn C

Ta có VS . A ' B 'C ' D '

VS . A ' B 'C '

VS . A ' D 'C ' .

VS . A' B 'C '
VS . ABC

SA ' SB ' SC '
.
.
SA SB SC

Suy ra VS . A ' B 'C '

1
.VS . ABC .
8

Mà

Tương tự ta cũng có VS . A ' D 'C '
Vậy VS . A ' B 'C ' D '
Suy ra
Câu 7.

VS . A' B 'C ' D '
VS . ABCD

1
VS . ABC
8

1 1 1
. .
2 2 2

1
.
8

1
.VS . ADC .
8

1
VS . ADC
8

1
VS . ABC
8

VS . ADC

1
VS . ABCD .
8

1
.
8

[2H1-3.3-2] Cho hình lăng trụ ABC. A B C có thể tích là V . Điểm M nằm trên cạnh AA sao
V
cho AM 2MA . Gọi V là thể tích của khối chóp M .BCC B . Tính tỉ số
.
V

A.

V
V

1
.
3

B.

V
V

1
.
2

C.

V
V

3
.
4

D.

V
V

2
.
3

Lời giải
Tác giả: Nguyễn Dung; Fb: Ngọc Dung
Chọn D
C'

A'

M

B'

C

A

B

Cách 1.
Ta có thể tích khối lăng trụ V

d A ; ABC .S ABC .

Điểm M nằm trên cạnh AA thỏa mãn AM

2
d A ; ABC
3

và

1
d A ; ABC .
3

1
d A; A B C
3

d M; ABC

2MA nên d M ; ABC

1 2
1
2
. .d A ; ABC .S ABC
.d M ; ABC .S ABC
V.
3 3
3
9
1 1
1
Thể tích khối chóp M . A B C là V2
. .d A ; ABC .S ABC
.d M ; A B C .S A B C
3 3
3
1
V.
9
2
1
2
V V1 V2 V
Thể tích khối chóp M .BCC B là V
V
V
V.
9
9
3
V
2
Vậy
.
V
3
Có thể tính nhanh:
1
1
d
M
;
ABC
d M; A B C
V VM . ABC VM . A B C
V
2 1 2
3
3
.
1
1
V
V
9 9 3
d A ; ABC
d A; A B C

Thể tích khối chóp M . ABC là V1

Cách 2.
+ VM .BCC B

1
d M ; BCC B
3

V

1
d . A; BCC B
3

V
+ Ta lại có: A. BCC B
V
Từ 1 và 2

V
V

.S BCC B

VA. BCC B 1

VA. A B C
1
V
2
.
3

.S BCC B

1

1
d A; A B C .S A B C
3
d A; A B C .S A B C

1

1
3

2
2
3

Câu 8.

[2H1-3.3-2]Cho hình hộp ABCD. A B C D có I là giao điểm của AC và BD . Gọi V1 và V2 lần
V
lượt là thể tích của các khối ABCD. A B C D và I . A B C . Tính tỉ số 1 .
V2
V
V
V
V
3
A. 1 6 .
B. 1
.
C. 1 2 .
D. 1 3 .
V2
V2
V2 2
V2
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Dung; Fb: Ngọc Dung
Chọn A

V1

VABCD. A B C D

V2

VI . A B C

V1
V2
Câu 9.

h.S A B C D .

1
d I, A B C
3

h.S A B C D
1
h.S
6 ABCD

.S A B C

1 1
h. .S
3 2 A B C D'

1
h .S A B C D ' .
6

6.

[2H1-3.3-2] Cho tứ diện ABCD . Gọi B ; C  lần lượt là trung điểm của AB và CD . Khi đó tỷ
số thể tích của khối đa diện ABCD và khối tứ diện ABCD bằng
1
1
1
1
A. .
B. .
C. .
D. .
6
2
8
4
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Dung; Fb: Ngọc Dung
Chọn B

1
Ta có : VABC D  VB. AC D  d  B,  AC D   .SAC D (1).
3
Vì C  là trung điểm của CD nên SAC D 

1
SACD (2).
2

Vì B là trung điểm của AB nên d  B,  AC D   

1
1
d  B,  AC D    d  B,  ACD   (3).
2
2

1 1
1
V
1
1
Từ (1), (2) và (3) suy ra : VABC D  . .d  B,  ACD   . SACD  VABCD  ABCD  .
3 2
2
4
VABCD 4
Câu 10. [2H1-3.3-3] Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
đáy. Góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  là 60 . Gọi M ; N là trung điểm của SB; SC .
Khi đótỉ số thể tích khối S.AMND so với thể tích khối chóp S.ABCD bằng
2
1
3
5
A. .
B. V  .
C. .
D. .
3
2
8
8
Lời giải
Tác giả: Nguyễn Dung; Fb: Ngọc Dung
Chọn A

SO  BD
Ta có 
   SBD  ;  ABCD    SOA  60
 AC  BD
AC  a 2  AO 

a 2
a 6
 SA  AO.tan 60 
2
2

1
1a 6 2
6 3
VS . ABCD  V  SA.S ABCD 
.a 
a
3
3 2
6
VS . AMD SM 1
1
1

  VS . AMD  VS . ABD  VS . ABCD
VS . ABD
SB 2
2
4
VS .DMN SM SN 1
1
1

.
  VS .DMN  VS .DBC  VS . ABCD
VS .DBC
SB SC 4
4
8

1
1
3
VS . ADMN  VS . AMD  VS . NMD  VS . ABCD  VS . ABCD  VS . ABCD
4
8
8
.
V
3
 S . ADMN  .
VS . ABCD 8
Câu 11. [2H1-3.3-3] Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a . Mặt bên của hình chóp tạo với
đáy góc 60 . Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần
lượt tại M,N. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABMN.

A. V 

5a3 3
.
2

B. V 

2a 3 3
.
3

C. V 

a3 3
.
2

D. V 

4a 3 3
.
3

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Văn Tỉnh ; Fb:Nguyễn Văn Tỉnh
Chọn C
S

M

N

G

D

C

I

H
A

Gọi H là tâm hình vuông suy ra

B

 SBC  ;  ABCD   SIH  60 .


1
4 3 3
Xét tam giác SHI vuông tại H có SH  HI .tan 600  a 3  VS . ABCD  .a 3.4a 2 
a .
3
3
Vì G là trọng tâm của tam giác SAC nên M , N lần lượt là trung điểm của SC , SD .
Áp dụng công thức tính nhanh tỉ số thể tích khối chóp tứ giác có đáy là hình bình hành
VS . ABMN 1 SA SM
 . .
VS . ABCD 2 SA SC

3
a3 3
 SB SN  1 1  1  3
.

V

V



.
1


S . ABMN
S . ABCD




8
2
 SB SD  2 2  2  8

Câu 12. [2H1-3.3-3] Cho khối lăng trụ ABC.ABC . Gọi M là trung điểm của BB , N là điểm trên
cạnh CC sao cho CN  3NC . Mặt phẳng ( AMN ) chia khối lăng trụ thành hai phần có thể tích
V
V1 và V2 như hình vẽ. Tính tỉ số 1 .
V2

A.

V1 5
 .
V2 3

B.

V1 3
 .
V2 2

C.

V1 4
 .
V2 3

D.

V1 7
 .
V2 5

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Văn Tỉnh ; Fb:Nguyễn Văn Tỉnh
Chọn D
Áp dụng công thức tính nhanh tỉ số thể tích khối lăng trụ tam giác ta có
V2 1  AA BM CN  1  1 3  5
5
7
 


       V2  Vlt Suy ra V1  12 Vlt .
Vlt 3  AA ' BB ' CC '  3  2 4  12
12
Vậy

V1 7
 .
V2 5

Câu 13. [2H1-3.3-3] Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  a, AD  b, SA vuông góc
với đáy, SA  2a . Điểm M thuộc đoạn SA, AM  x . Giá trị của x để mặt phẳng  MBC  chia
khối S.ABCD thành hai khối có thể tích bằng nhau là
3 5
2 3
A. x 
B. x 
C. x  2  3 a .
D. x  3  5 a .
a.
a.
2
2









Lời giải
Tác giả:Nguyễn Văn Tỉnh ; Fb:Nguyễn Văn Tỉnh
Chọn D
S

N

M

A

B

D

C

 BC   MBC 

Ta có  AD   SAD  suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng  SBC  ,  SAD  song song với AD .
 BC / / AD

Trong mặt phẳng  SAD  kẻ MN / / AD ( N  SD) .

V
1
1
Theo bài ra ta có VS .BCNM  VS . ABCD  S .BCNM 
2
VS . ABCD 2

1 SM SC  SB SN  1
SM  SM 
 .
.


 
1 
 1
2 SA SC  SB SD  2
SA 
SA 

SM
1
5
2a  x
1
5
 

 
 x  3 5 a .
SA
2 2
2a
2 2
Câu 14. [2H1-3.3-4] Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a . Gọi M, N lần lượt là trọng tâm các
tam giác ABD, ABC và E là điểm đối xứng với điểm B qua điểm D. Mặt phẳng (MNE) chia
khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện chứa điểm A.





3a3 2
B. V 
.
80

a3 2
A. V 
.
96



9a 3 2
C. V 
.
320

4a 3 2
D. V 
.
135

Lời giải
Tác giả:Nguyễn Văn Tỉnh ; Fb:Nguyễn Văn Tỉnh
Chọn C
A

I

M
K
N
H

B

D
E

E

J

C

Thể tích khối tứ diện đều VABCD 

2 3
.a .
12

Trong mặt phẳng  ABD  gọi I , K lần lượt là giao điểm của ME với AB, AD .
Trong mặt phẳng  ABC  gọi J  IN  AC . Suy ra khối đa diện chứa điểm A là khối AIJK .
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABE ta có

AB AE 2 AD
.


AI AE
AK

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD ta có

AB AD 2 AH


AI AK
AM

 AB
 AI 
Ta có hệ pt 
 AB 
 AI

AD 2 AH
 AB 5
 AB AD



3

 AI 3
AK
AM   AI AK


AE 2 AD
AB
2 AD

 AD  4

1 
 AI
 AK 3
AE
AK
AK

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABC ta có
.

AB AC
AE
5 AC
AC 4

2
 
 3

AI AJ
AN
3 AJ
AJ 3

Theo công thức tính tỉ số thể tích ta có
Suy ra VAIJK 

VAIJK
AI AJ AK 3 3 3 27
.

.
.
 . . 
VABCD AB AC AD 5 4 4 80

27
27 2 3 9 2 3
.VABCD  .
a 
a .
80
80 12
320

Câu 15. [2H1-3.3-4] Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SA, N
là điểm trên cạnh SB sao cho SN = 2NB. Mặt phẳng qua M,N cắt cạnh SD và SC lần lượt tại Q
V
và P. Tỉ số S .MNPQ lớn nhất bằng
VS . ABCD
1
3
1
2
A. .
B. .
C. .
D. .
8
3
5
4
Lời giải
Tác giả:Nguyễn Văn Tỉnh ; Fb:Nguyễn Văn Tỉnh
Chọn B
S

M

Q
I

N

D

A
O
P

B

C

Áp dụng công thức tính nhanh tỉ số thể tích khối chóp tứ giác đáy là hình bình hành ta có
 SP
 SC  x
VS .MNPQ 1 SN SQ  SM SP  1 SQ  1 SP  1  1

 .
.


 .
 
  y   x  (1).Với  SQ
VS . ABCD 2 SB SD  SA SC  3 SD  2 SC  3  2


y
 SD
Áp dụng định lí menelaus ta có
SO
 SA SC
 SM  SP  2. SI
SA SC SB SD
SC 3 SD
1 1 1
2x




 2
 
    y
(2)
 SB SD
SO
SM SP SN SQ
SP 2 SQ
x 2 y
x2


 2.
SI
 SN SQ
Thay (2) vào (1) ta được

VS .MNPQ
VS . ABCD

1 2 x 1  2 x 1 2 x2  x
.
 .
.
 .
3 x2 2
3 x2

1 2 x2  8x  2
1 2x2  x
 0 x   0;1 suy ra hàm số
Xét hàm số f ( x)  .
trên  0;1 có f '  x   .
3  x  2 2
3 x2
1
đồng biến trên  0;1 nên Maxf  x   f 1  .
3

HẾT.