TRƯỜNG THPT …………………

BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN

MỤC LỤC
⬥CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
▶BÀI ❶. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC

⓫ – CTM 2025

5
5

☀. Đề kiểm tra rèn luyện ............................................................................................ 5
⬩Đề ❶: .......................................................................................................................................... 5
⬩Đề ❷: .......................................................................................................................................... 9
⬩Đề ❸: ........................................................................................................................................ 13
▶BÀI ❷. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

18

☀. Đề kiểm tra rèn luyện .......................................................................................... 18
⬩Đề ❶: ........................................................................................................................................ 18
⬩Đề ❷: ........................................................................................................................................ 22
⬩Đề ❸: ........................................................................................................................................ 26
▶BÀI ➌. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ

30

☀. Đề kiểm tra rèn luyện .......................................................................................... 30
⬩Đề ❶: ........................................................................................................................................ 30
⬩Đề ❷: ........................................................................................................................................ 34
⬩Đề ❸: ........................................................................................................................................ 37
▶BÀI ❹. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

41

☀. Đề kiểm tra rèn luyện .......................................................................................... 41
⬩Đề ❶: ........................................................................................................................................ 41
⬩Đề ❷: ........................................................................................................................................ 45
⬩Đề ❸: ........................................................................................................................................ 49
⬥ÔN TẬP CHƯƠNG I

54

☀. Đề kiểm tra rèn luyện .......................................................................................... 54
⬩Đề ❶: ........................................................................................................................................ 54
⬩Đề ❷: ........................................................................................................................................ 57
⬥CHƯƠNG 2. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

62

▶BÀI ❶.

62

DÃY SỐ

☀. Đề kiểm tra rèn luyện .......................................................................................... 62
⬩Đề ❶: ........................................................................................................................................ 62
⬩Đề ❷: ........................................................................................................................................ 65
⬩Đề ❸: ........................................................................................................................................ 68
WORD XINH DUONG HUNG

1

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN

▶BÀI ❷. CẤP SỐ CỘNG

⓫ – CTM 2025

72

☀. Đề kiểm tra rèn luyện .......................................................................................... 72
⬩Đề ❶: ........................................................................................................................................ 72
⬩Đề ❷: ........................................................................................................................................ 75
⬩Đề ❸: ........................................................................................................................................ 78
▶BÀI ➌.

CẤP SỐ NHÂN

81

☀. Đề kiểm tra rèn luyện .......................................................................................... 81
⬩Đề ❶: ........................................................................................................................................ 81
⬩Đề ❷: ........................................................................................................................................ 84
⬩Đề ❸: ........................................................................................................................................ 87
⬥ÔN TẬP CHƯƠNG II

91

☀. Đề kiểm tra rèn luyện .......................................................................................... 91
⬩Đề ❶: ........................................................................................................................................ 91
⬩Đề ❷: ........................................................................................................................................ 95
⬥CHƯƠNG 3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CỦA MẪU SỐ LIỆU
GHÉP NHÓM
98
▶BÀI ❶. MẪU GHÉP NHÓM
98
☀. Đề kiểm tra rèn luyện .......................................................................................... 99
⬩Đề ❶: ........................................................................................................................................ 99
⬩Đề ❷: ...................................................................................................................................... 105
⬩Đề ❸: ...................................................................................................................................... 111
▶BÀI ❷. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM

117

☀. Đề kiểm tra rèn luyện ........................................................................................ 117
⬩Đề ❶: ...................................................................................................................................... 117
⬩Đề ❷: ...................................................................................................................................... 123
⬩Đề ❸: ...................................................................................................................................... 128
⬥ÔN TẬP CHƯƠNG III

134

☀. Đề kiểm tra rèn luyện ........................................................................................ 134
⬩Đề ❶: ...................................................................................................................................... 134
⬩Đề ❷: ...................................................................................................................................... 139
⬥CHƯƠNG 4. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

144

▶BÀI ❶. ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

144

WORD XINH DUONG HUNG

2

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN

⓫ – CTM 2025

☀. Đề kiểm tra rèn luyện ........................................................................................ 144
⬩Đề ❶: ...................................................................................................................................... 144
⬩Đề ❷: ...................................................................................................................................... 149
⬩Đề ❸: ...................................................................................................................................... 154
▶BÀI ❷. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

159

☀. Đề kiểm tra rèn luyện ........................................................................................ 159
⬩Đề ❶: ...................................................................................................................................... 159
⬩Đề ❷: ...................................................................................................................................... 163
⬩Đề ❸: ...................................................................................................................................... 168
▶BÀI ➌. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

172

☀. Đề kiểm tra rèn luyện ........................................................................................ 172
⬩Đề ❶: ...................................................................................................................................... 172
⬩Đề ❷: ...................................................................................................................................... 177
⬩Đề ❸: ...................................................................................................................................... 181
▶BÀI ❹. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

186

☀. Đề kiểm tra rèn luyện ........................................................................................ 186
⬩Đề ❶: ...................................................................................................................................... 186
⬩Đề ❷: ...................................................................................................................................... 190
⬩Đề ❸: ...................................................................................................................................... 195
▶BÀI ❺. PHÉP CHIẾU SONG SONG

199

☀. Đề kiểm tra rèn luyện ........................................................................................ 200
⬩Đề ❶: ...................................................................................................................................... 200
⬩Đề ❷: ...................................................................................................................................... 205
⬩Đề ❸: ...................................................................................................................................... 210
⬥ÔN TẬP CHƯƠNG IV

213

☀. Đề kiểm tra rèn luyện ........................................................................................ 214
⬩Đề ❶: ...................................................................................................................................... 214
⬩Đề ❷: ...................................................................................................................................... 218
⬥CHƯƠNG 5. GIỚI HẠN – DÃY SỐ LIÊN TỤC

223

▶BÀI ❶. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

223

☀. Đề kiểm tra rèn luyện ........................................................................................ 223
⬩Đề ❶: ...................................................................................................................................... 223
WORD XINH DUONG HUNG

3

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN

⓫ – CTM 2025

⬩Đề ❷: ...................................................................................................................................... 226
⬩Đề ❸: ...................................................................................................................................... 228
▶BÀI ❷. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

232

☀. Đề kiểm tra rèn luyện ........................................................................................ 232
⬩Đề ❶: ...................................................................................................................................... 232
⬩Đề ❷: ...................................................................................................................................... 235
⬩Đề ❸: ...................................................................................................................................... 238
▶BÀI ➌.

HÀM SỐ LIÊN TỤC

241

☀. Đề kiểm tra rèn luyện ........................................................................................ 241
⬩Đề ❶: ...................................................................................................................................... 241
⬩Đề ❷: ...................................................................................................................................... 246
⬩Đề ❸: ...................................................................................................................................... 249
⬥ÔN TẬP CHƯƠNG V

254

☀. Đề kiểm tra rèn luyện ........................................................................................ 254
⬩Đề ❶: ...................................................................................................................................... 254
⬩Đề ❷: ...................................................................................................................................... 257

WORD XINH DUONG HUNG

4

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN

⓫ – CTM 2025

⬥CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC, PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

▶BÀI ❶. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC

☀. Đề kiểm tra rèn luyện
⬩Đề ❶:
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến
câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Câu 1: Nếu một cung tròn có số đo bằng radian là

5
4

thì số đo bằng độ của cung tròn đó là

A. 172 .

B. 15 .

C. 225 .

D. 5 .
o

Câu 2: Góc có số đo 108 đổi ra radian là
A.

3
.
5

B.

Câu 3: Góc có số đo



.

10

C.

3
.
2

D.


4

.


đổi sang độ là
9
o

o

A. 15 .

o

B. 18 .

C. 20 .

D. 25

o

Câu 4: Đổi sang radian góc có số đo 108 ta được
A.


.
4

B.


10

.

C.

3
.
2

D.

3
.
5

C.

2
.
3

D.


.
2

Câu 5: Tìm mệnh đề đúng.
180 
A.  rad = 
.
  

B.  rad = 1 .

C.  rad = 60 .

D.  rad = 180 .

Câu 6: Số đo radian của góc 135 là
A.


.
6

B.

Câu 7: Cung có số đo
A. 300 .
Câu 8: Góc có số đo −

3
.
4

5
rad đổi sang đơn vị độ bằng
3
B. 5 .

C. 600 .

D. 270 .

3
có số đo theo độ là
16

WORD XINH DUONG HUNG

5

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………
o
A. 33 45' .

Câu 9: Nếu một góc có số đo

BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN

o
B. −29 30' .

⓫ – CTM 2025

o
D. −33 45' .

o
C. −32 55' .

5
rad thì số đo của góc đó khi đổi sang đơn vị độ, phút, giây
12

là
A. 45 .

B. 75 .

C. 55 .

D. 65 .

Câu 10: Một đường tròn có bán kính R = 10cm . Độ dài cung 40 trên đường tròn gần bằng:
o

A. 7cm .

B. 9cm .

C. 11cm .

D. 13cm .

Câu 11: Cho đường tròn có bán kính bằng 9 ( cm) . Tìm số đo (theo radian) của cung có độ dài
3 ( cm) .

A.


.
3

B.

2
.
3

C.


.
4

D.


.
6

0
Câu 12: Một đường tròn có bán kính R = 12cm . Tính độ dài của cung 60 trên đường tròn

gần bằng
A. 2cm .

B. 4cm .

C. 6.28cm .

D. 12.56cm .

Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi
ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Đổi số đo các góc sau đây sang radian. Vậy:
a) 108 =

3
rad
5

b) 120 =

2
rad
3

c) 2230 =


rad
8



1
 1 
d) 
 = rad
 6  10

Câu 2: Tính được các giá trị lượng giác còn lại của góc x , biết: cos x =

1

với 0  x  . Khi
4
2

đó:
a) sin x  0

WORD XINH DUONG HUNG

6

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN

⓫ – CTM 2025

15
4

b) sin x = −

c) tan x = 15
1
15

d) cot x = −

Câu 3: Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau đây trên đường tròn lượng giác. Khi đó:


a) Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo 218 là điểm M thuộc góc phần tư thứ III của
đường tròn lượng giác thoả mãn AOM = 218

b) Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo −405 là điểm N thuộc góc phần tư thứ IV

của đường tròn lượng giác thoả mãn AON = −45
c) Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo
đường tròn lượng giác thoả mãn AOP =


4

d) Điểm biểu diễn của góc lượng giác có số đo
giác thoả mãn AOQ = −

25
là điểm P thuộc góc phần tư thứ I của
4

15
là điểm Q(0; −1) thuộc đường tròn lượng
2


2

Câu 4: Trong hình vẽ bên, ta xem hình ảnh đường tròn trên một bánh lái tàu thuỷtương ứng
với một đường tròn lượng giác.

a) Công thức tổng quát biểu diễn góc lượng giác (OA, OB) theo đơn vị radian:

(OA, OB) =


4

+ k 2 (k  );
WORD XINH DUONG HUNG

7

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN

⓫ – CTM 2025

b) Công thức tổng quát chỉ ra góc lượng giác tương ứng với bốn điểm biểu diễn là A, C , E , G
theo đơn vị radian là k


(k  )
3

c) Công thức tổng quát chỉ ra góc lượng giác tương ứng với hai điểm biểu diễn là A, E theo
đơn vị độ là: k180 ( k  )
d) Công thức tổng quát biểu diễn góc lượng giác (OA, OC ) + (OC, OH ) theo đơn vị radian:


+ k 2 (k  )
4
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1: Một chiếc quạt trần năm cánh quay với tốc độ 45 vòng trong một phút. Chọn chiều
quay của quạt là chiều thuận. Sau 3 giây, quạt quay được một góc có số đo bao nhiêu
radian?
Câu 2: Kim phút và kim giờ của đồng hồ lớn nhà Bưu điện Thành phố Hà Nội theo thứ tự
dài 1, 75m và 1, 26m . Hỏi trong 15 phút, mũi kim phút vạch nên cung tròn có độ dài
bao nhiêu? Cũng câu hỏi đó cho kim giờ.
Câu 3: Huyện lị Quản Bạ tỉnh Hà Giang và huyện lị Cái Nước tỉnh Cà Mau cùng nằm ở 105
kinh đông, nhưng Quản Bạ ở 23 vĩ bắc, Cái Nước ở vĩ độ 9 bắc. Hãy tính độ dài
của cung kinh tuyến nối hai huyện lị đó (khoảng cách theo đường chim bay), coi
Trái Đất có bán kính 6278km .
Câu 4: Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là
bao nhiêu?

Câu 5: Một cái đồng hồ treo tường có đường kính bằng 60 cm , ta xem vành ngoài chiếc đồng
hồ là một đường tròn với các điểm A, B, C lần lượt tương ứng với vị trí các số 2,9, 4
.
WORD XINH DUONG HUNG

8

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN

⓫ – CTM 2025

Tính độ dài các cung nhỏ AB và AC (kết quả tính theo đơn vị centimét và làm
tròn đến hàng phần trăm).

Câu 6: Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A , vệ tinh bắt đầu
chuyển động quanh Trái Đất theo quỹđạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái
Đất. Giả sử vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹđạo trong 2 h theo chiều kim
đồng hồ. Khi vệ tinh chuyển động được 3 h , bán kính của vòng quay quét một góc
lượng giác có số đo bằng bao nhiêu? (Tính theo đơn vị radian).
⬩Đề ❷:
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến
câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
o
Câu 1: Đổi số đo góc 105 sang rađian bằng

A.

5
.
12

7
.
12

B.

C.

9
12

D.

5
.
8

Câu 2: Cho đường tròn lượng giác gốc A và điểm M nằm trên đường tròn lượng giác sao cho
MOx = MOy = 45o . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. sđ AM =


+ k 2 , k  .
4

C. sđ AM = −

B. sđ AM =


+ k 2 , k  .
4


+ k , k  .
4

D. sđ AM = −


+ k , k  .
4

0
Câu 3: Góc có số đo 120 đổi sang rađian là

A.

2
.
3

B.

3
.
2

C.


.
4

D.


10

.

Câu 4: Cho đường tròn có bán kính 6 cm. Tìm số đo (rad) của cung có độ dài 3 cm.
A. 1 .

B.

0, 5 .

WORD XINH DUONG HUNG

C.

9

2

.

D. 3 .

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN

⓫ – CTM 2025

Câu 5: Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng
là
A. 30 .

B. 40 .

C. 50 .

D. 60 .

Câu 6: Bánh xe đạp có đường kính 55cm ( kể cả lốp). Nếu chạy với vận tốc 40 km / h thì
trong 25s bánh xe quay được số vòng gần bằng với kết quả nào dưới đây?
A. 52 .

B. 161 .

C. 322 .

D. 200 .

Câu 7: Tìm khẳng định sai? (với điều kiện các hệ thức đã xác định)



A. tan ( +  ) = tan  . B. cos  +   = sin  .
2

C. cot ( − ) = − cot  . D. sin ( −  ) = sin  .
Câu 8: Cho góc  thỏa mãn 2   


2

C. sin   0 .

B. cot   0 .

A. tan   0 .
Câu 9: Cho

5
. Khẳng định nào sau đây sai?
2
D. cos   0 .

    . Kết quả đúng là

A. sin   0, cos   0 . B. sin   0, cos   0 .
C. sin   0, cos   0 . D. sin   0, cos   0 .
Câu 10: Cho 0   


. Mệnh đề nào sau đây sai?
2

A. sin( +  )  0 .

B. cos( +  )  0 .

C. tan( −  )  0 .

D. cot( −  )  0 .

Câu 11: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?
A. cos150 =

3
.
2

C. tan150 = −

1
.
3

Câu 12: Giá trị của tan


là
6

A.

3
.
3

B. cot150 = 3 .
D. sin150° = −

B. −

3
.
2

3
.
3

C.

3.

D. − 3 .

Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi
ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
WORD XINH DUONG HUNG

10

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN

⓫ – CTM 2025

Câu 1: Tính được giá trị các biểu thức. Khi đó:
a) A =

1
3
cos 30 − 3 2 sin 45 + cot 45 = − ;
2
3

2

2

b) B = sin 60 + tan 30 − 2 = −

c) C = 2sin


6

tan

d) D =

+ 3 cos


4

+1

1

cot − 2
2
2

=


6

=

11
;
12

5
2

6
.
5



Câu 2: Cho 0    90 . Xét được dấu của các biểu thức sau. Khi đó:

a) A = sin ( + 90 )  0 ;
b) B = cos ( − 45 )  0 ;
c) C = tan ( 270 −  )  0 ;
d) D = cos ( 2 + 90 )  0 .
Câu 3: Cho tan x = −2 . Tính được các biểu thức A1 =

5cot x + 4 tan x
2sin x + cos x
, A2 =
, khi
5cot x − 4 tan x
cos x − 3sin x

đó:
a) cot x = −

1
2

b) Vì tan x = −2 nên cos x = 0
c) A1 = −
d) A2 =

21
11

3
7

Câu 4: Từ một vị trí ban đầu trong không gian, vệ tinh X chuyển động theo quỹđạo là một
đường tròn quanh Trái Đất và luôn cách tâm Trái Đất một khoảng bằng 9200 km .
Sau 2 giờ thì vệ tinh X hoàn thành hết một vòng di chuyển.
WORD XINH DUONG HUNG

11

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN

⓫ – CTM 2025

a) Quãng đường vệ tinh X chuyển động được sau 1 giờ là:  28902, 65( km).
b) Quãng đường vệ tinh X chuyển động được sau 1,5 giờ là:  43353,98( km)
c) Sau khoảng 5,3 giờ thì X di chuyển được quãng đường 240000 km
d) Giả sử vệ tinh di chuyển theo chiều dương của đường tròn, sau 4,5 giờ thì vệ tinh vẽ nên
một góc

9
rad?
2

Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10,57 cm và kim phút dài 13,34 cm . Trong 30
phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài bằng bao nhiêu?
Câu 2: Một chiếc đồng hồ có kim giờ và kim phút được cho như trong hình vẽ sau. Xét tia
Ou là kim giờ, Ov là kim phút. Xét chiều quay của góc là chiều kim đồng hồ, hãy

viết công thức số đo tổng quát của góc lượng giác (Ou, Ov) trong trường hợp sau:

Câu 3: Một bánh xe có đường kính kể cả lốp xe là 55 cm . Nếu xe chạy với tốc độ 50 km / h thì
trong một giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng? (Kết quả được làm tròn đến
hàng phần trăm).
Câu 4: Hải lí là một đơn vị chiều dài hàng hải, được tính bằng độ dài một cung chắn một góc

 1 
 của đường kinh tuyến (Hình 17). Đồi số đo  sang radian và cho biết 1
 60 

 =

hải lí bằng khoảng bao nhiêu kilômét, biết bán kính trung bình của Trái Đất là
6371 km . Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

WORD XINH DUONG HUNG

12

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN

⓫ – CTM 2025

Câu 5: Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh trục O của nó trên một mặt phẳng
thẳng đứng và in bóng vuông góc xuống mặt đất như Hình 12. Vị trí ban đầu của
thanh là OA . Hỏi độ dài bóng OM của OM khi thanh quay được 3

1
vòng là bao
10

nhiêu, biết độ dài thanh OM là 15 cm ? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Câu 6: Khi xe đạp di chuyển, van V của bánh xe quay quanh trục O theo chiều kim đồng hồ
với tốc độ góc không đổi là 11 rad / s (Hình 13). Ban đầu van nằm ở vị trí A . Hỏi
sau một phút di chuyển, khoàng cách từ van đến mặt đất là bao nhiêu, biết bán kính
OA = 58 cm ? Già sử độ dày của lốp xe không đáng kể. Kết quả làm tròn đến hàng

phần mười.

⬩Đề ❸:
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến
câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Câu 1: Cung có số đo 250 thì có số đo theo đơn vị radian là:
WORD XINH DUONG HUNG

13

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

A.

25
.
12

B.

BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN

25
.
18

C.

25
.
9

D.

⓫ – CTM 2025

35
.
18

Câu 2: Trên đường tròn bán kính bằng 5, cho một cung tròn có độ dài bằng 10. Số đo rađian
của cung tròn đó là
A. 2 .

B. 3 .

C. 1 .

D. 4 .

Câu 3: Một đường tròn có bán kính 30cm. Tính độ dài của cung tròn trên đường tròn đó có
số đo 2,5 .
A. 7,5cm .

B. 0,83cm .

C. 75cm .

D. 12cm .

C. tan   0 .

D. cot   0 .

Câu 4: Trong các hệ thức sau đây, hệ thức nào đúng?
2
2
A. sin x + cos x = 1 .

2
2
B. sin x + cos x = 1 .

C. sin 2 x + cos 2 x = 1.

2
2
D. sin x + cos x = 1 .

Câu 5: Cho

7
   2 .Xét câu nào sau đây đúng?
4

A. cos   0 .
Câu 6: Cho 0   

B. sin   0 .


. Khẳng định nào sau đây đúng?
2

A. tan   0, cot   0. B. tan   0, cot   0.
C. tan   0, cot   0. D. tan   0, cot   0.


Câu 7: Đơn giản biểu thức A = cos   −  , ta được:
2

B. sin  .

A. cos  .

D. − sin  .

C. – cos  .

2
2
2
Câu 8: Giá trị của biểu thức S = 3 − sin 90 + 2cos 60 − 3tan 45 bằng

A.

1
.
2

B. −

1
.
2

C. 1 .

D. 3

Câu 9: Cho a là số thực bất kỳ. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. sin a + cos a = 1 .

3
3
B. sin a + cos a = 1 .

4
4
C. sin a + cos a = 1 .

2
2
D. sin a + cos a = 1 .

Câu 10: Các đẳng thức nào sau đây đồng thời xảy ra?
2
5
; cos =
.
3
3

A. sin  =
C. sin  =

4
−3
; cos = .
5
5

Câu 11: Cho tan  =

B. sin  =

2
5
; cos =
.
5
5

D. sin  =

1
3
; cos = .
4
4

1
sin 
. Giá trị của biểu thức P =
là
3
2
2sin  + 3cos3 

WORD XINH DUONG HUNG

14

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

5
.
26

A.

B.

Câu 12: Cho góc  thỏa cot =
A. cos =

4
.
5

BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN

1
.
3

C. −

5
.
26

⓫ – CTM 2025

1
D. − .
3

3
O
O
và 0    90 . Khẳng định nào sau đây đúng?
4
B. sin  =

4
.
5

4
C. sin = − .
5

4
D. cos = − .
5

Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi
ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Đổi số đo các góc sang đơn vị radian:

a) 90 =


rad ;
2


b) 75 =

5
rad
12


b) 750 =

25
rad ; .
6



1
5
d) −   = − rad
36
 

Câu 2: Tính được các giá trị lượng giác của góc  =

a) sin  = −

3
2

b) cos  = −

1
2


3

+ k 2 (biết k  ). Khi đó:

c) tan  = 3
d) cot  = −

3
3

Câu 3: Tính được các giá trị lượng giác còn lại của góc x , biết: sin x = −

3
3
với   x 
.
5
2

Khi đó:
a) cos x  0

WORD XINH DUONG HUNG

15

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

b) cos x = −
c) tan x =

3
4

d) cot x =

4
3

BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN

⓫ – CTM 2025

4
5

Câu 4: Cho cot x = 2 . Tính được các biểu thức B1 =

2sin x + 3cos x
2
, B2 =
,
2
3sin x − 2cos x
cos x − sin x cos x

khi đó:
a) Vì cot x = 2 nên sin x  0 .
b) B1 = −8
c) B2 = −5
d) B1 + B2 = −13
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1: Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc O của nó trên một mặt phẳng
thẳng đứng và in bóng vuông góc xuống mặt đất như hình bên. Vị trí ban đầu của
thanh là OA . Hỏi độ dài bóng OM của OM khi thanh quay được

60
vòng là bao
13

nhiêu, biết độ dài thanh OM là 10 cm ? Kết quả làm tròn đến hàng
phần mười.

WORD XINH DUONG HUNG

16

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN

⓫ – CTM 2025

Câu 2: Độ dài của ngày từ lúc Mặt Trời mọc đến lúc Mặt Trời lặn ở một thành phố X trong
ngày

thứ

t

của

năm

 2
d ( t ) = 4sin 
(t − 80) + 12 (t 
 365


được

tính

xấp

xỉ

bởi

công

thức

và 1  t  365) .

Thành phố X vào ngày 31 tháng 1 có bao nhiêu giờ có Mặt Trời chiếu sáng? Làm
tròn kết quả đến hàng
phần mười.
Câu 3: Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A , vệ tinh bắt đầu
chuyển động quanh Trái Đất theo quỹđạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái
Đất. Giả sử vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹđạo trong 2 h theo chiều kim
đồng hồ. Khi vệ tinh chuyển động được 3 h , bán kính của vòng quay quét một góc
lượng giác có số đo bằng bao nhiêu? (Tính theo đơn vị radian).
Câu 4: Một vòng quay Mặt Trời quay mỗi vòng khoảng 15 phút. Tại vị trí quan sát, bạn Linh
thấy vòng quay chuyển động theo chiều kim đồng hồ. Khi vòng quay chuyển động
được 10 phút, bán kính của vòng quay quét một góc lượng giác có số đo bằng bao
nhiêu? (Tính theo đơn vị radian).
Câu 5: Bánh xe của người đi xe đạp quay được 12 vòng trong 6 giây.
a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.
b) Tính quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính
bánh xe đạp là 860 mm .
Câu 6: Kim giờ dài 6 cm và kim phút dài 11 cm của đồng hồ chỉ 4 giờ. Hỏi thời gian ít nhất
để 2 kim vuông góc với nhau là bao nhiêu? Lúc đó tổng quãng đường hai đầu mút
kim giờ và kim phút đi được là bao nhiêu?

WORD XINH DUONG HUNG

17

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

BỘ ĐỀ RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TOÁN

⓫ – CTM 2025

▶BÀI ❷. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC
☀. Đề kiểm tra rèn luyện
⬩Đề ❶:
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12.
Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Câu 1:

Tính sin1050 ta được:
A.

Câu 2:

6− 2
.
4

Câu 4:

Câu 6:

6+ 2
.
4

6+ 2
.
4

D. −

C. 2 − 3 .

B. 2 + 3 .

D. −(2 − 3) .

Rút gọn biểu thức: cos 540 cos 40 − cos 360 cos860 , ta được:
A. cos 500 .

B. cos 580 .

Giá trị của biểu thức cos

37
bằng
12

A.
Câu 5:

C.

Tính tan1050 ta được:
A. −(2 + 3) .

Câu 3:

6− 2
.
4

B. −

6+ 2
.
4

B.

D. sin 580 .

C. sin 500 .

6− 2
.
4

C. –

6+ 2
.
4

2− 6
.
4

D.

Khẳng định nào dưới đây SAI?
A. 2sin 2 a = 1 − cos 2a .

B. cos 2a = 2cos a −1.

C. sin 2a = 2sin a cos a .

D. sin ( a + b ) = sin a cos b + sin b.cos a .

Cho hai góc nhọn a và b . Biết cos a =

1
1
, cos b = .
3
4

Giá trị cos ( a + b ) .cos ( a − b ) bằng
A. −

113
.
144

B. −

115
.
144

WORD XINH DUONG HUNG

C. −
18

117
.
144

D. −

119
.
144

•ZALO 0774860155

TRƯỜNG THPT …………………

Câu 7:

Nếu biết sin a =
A.

Câu 8:

20
.
220

B. −

Nếu tan x = 0.5; sin y =

20
.
220

C.

21
.
221

D.

22
.
221

3
0  y  900 ) thì tan ( x + y ) bằng:
(
5
B. 3 .

Biểu thức

D. 5 .

C. 4 .

3 − 4 cos 2 + cos 4
có kết quả rút gọn bằng:
3 + ...