Giaovienvietnam.com
CHUYÊN ĐỀ 1:

SO SÁNH PHÂN SỐ

A.Những kiến thức cần nhớ:
1. Khi so sánh hai phân số:
- Có cùng mẫu số: ta so sánh hai tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
- Không cùng mẫu số: thì ta quy đồng mẫu số rồi so sánh hai tử số của các phân số đã quy
đồng được.
2. Các phương pháp khác:
- Nếu hai phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn.
- So sánh với 1.
- So sánh “phần bù” với 1 của mỗi phân số:
+ Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó.
+Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ngược lại.
a
c
a c
1 

d thì b d
1- b

Ví dụ: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất.
2000
2001
2001 và 2002

Bớc 1: (Tìm phần bù)
1

2000
1

2001 2001

2001
1

1- 2002 2002

Ta có :
Bớc 2: (So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh)
1
1
2000 2001


Vì 2001 2002 nên 2001 2002

* Chú ý: Đặt A = Mẫu 1 - tử 1
B = mẫu 2 - tử 2
Cách so sánh phần bù được dùng khi A = B. Nếu trong trờng hợp A B ta có thể sử
dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về 2 phân số mới có hiệu giữa mẫu số và
tử số của hai phân số bằng nhau:
2000
2001
Ví dụ: 2001 và 2003 .
2000 2000 2 4000


+) Ta có: 2001 2001  2 4002

4000
2
2001
2


1 - 4002 4002
1- 2003 2003
2
2
4000 2001
2000 2001



+)Vì 4002 2003 nên 4002 2003 hay 2001 2003

- So sánh “phần hơn” với 1 của mỗi phân số:
+ Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1.
+ Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
a
c
a c
 1   1thi 
b
d
b d

2001
2002
Ví dụ: So sánh: 2000 và 2001

Giaovienvietnam.com
Bớc 1: Tìm phần hơn

2001
1
 1
2000
Ta có: 2000

2002
1
 1
2001
2001

Bơc 2: So sánh phần hơn của đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh.
1
1
2001 2002


Vì 2000 2001 nên 2000 2001

* Chú ý: Đặt C = tử 1 - mẫu 1
D = tử 2 - mẫu 2
Cách so sánh phần hơn được dùng khi C = D. Nếu trong trường hợp C D ta có thể
sử dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về hai phân số mới có hiệu giữa
tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau.

2001
2003
Ví dụ: So sánh hai phân số sau: 2000 và 2001
2001 2001  2 4002


Bớc1: Ta có: 2000 2000 2 4000

4002
2
2003
2
 1
 1
4000
4000
2001
2001
2
2
4002 2003
2001 2003



Bớc 2: Vì 4000 2001 nên 4000 2001 hay 2000 2001

-So sánh qua một phân số trung gian:
3
4
Ví dụ 1: So sánh 5 và 9

Bớc 1: Ta có:

3 3 1
 
5 6 2
3 1 4
3 4
 

Bớc 2: Vì 5 2 9 nên 5 9
19
31
Ví dụ 2: So sánh 60 và 90

4 4 1
 
9 8 2

Bớc 1: Ta có:

19 20 1


60 60 3
19 1 31
19 31
 

Bớc 2: Vì 60 3 90 nên 60 90
101
100
Ví dụ 3: So sánh 100 và 101
101
100
101 100
1 

101 nên 100 101
Vì 100

31 30 1


90 90 3

Ví dụ 4: So sánh hai phân số bằng cách nhanh nhất.
40
41
57 và 55

Bài giải

40
+) Ta chọn phân số trung gian là: 55

Giaovienvietnam.com
40 40 41


+) Ta có: 57 55 55
40 41

+) Vậy 57 55

* Cách chọn phân số trung gian:
- Trong một số trờng hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung gian là những phân số

1 1
, ,...
dễ tìm được như: 1, 2 3 (ví dụ 1, 2, 3) bằng cách tìm thương của mẫu số và tử số

của từng phân số rồi chọn số tự nhiên nằm giữa hai thương vừa tìm được. Số tự nhiên
đó chính là mẫu số của phân số trung gian còn tử số của phân số trung gian chính
bằng 1.
a
c
- Trong trường hợp tổng quát: So sánh hai phân số b và d (a, b, c, d khác 0)

a
- Nếu a > c còn b < d (hoặc a < c còn b > d) thì ta có thể chọn phân số trung gian là d
c
(hoặc b )

- Trong trường hợp hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai
và hiệu của mẫu số phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối quan hệ

1 2 4
, , ,...
với nhau về tỉ số (ví dụ: gấp 2 hoặc 3lần,…hay bằng 2 3 5 ) thì ta nhân cả tử số

và mẫu số của cả hai phân số lên một số lần sao cho hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa
hai mẫu số của hai phân số là nhỏ nhất. Sau đó ta tiến hành chọn phân số trung gian
như trên.

15
70
Ví dụ: So sánh hai phân số 23 và 117
15 15 5 75


23
23

5
115
Bớc 1: Ta có:

70
75
Ta so sánh 117 với 115

70
Bớc 2: Chọn phân số trung gian là: 115
70
70
75
70
75
70 15




Bớc 3: Vì 117 115 115 nên 117 115 hay 117 23

- Đa hai phân số về dạng hỗn số để so sánh
- Khi thực hiện phép chia tử số cho mẫu số của hai phân số ta đợc cùng thương thì ta
đưa hai phân số cần so sánh về dạng hỗn số, rồi so sánh hai phần phân số của hai hỗn
số đó.
47
65
Ví dụ: So sánh hai phân số sau: 15 và 21 .
47
2
65
2
3
3
15
21
21
Ta có: 15

Giaovienvietnam.com
2
2
2
2
47 65

3 3

21 hay 15 21
Vì 15 21 nên 15

- Khi thực hiên phép chia tử số cho mẫu số, ta được hai thương khác nhau, ta cũng đa
hai phân số về hỗn số để so sánh.
41
23
Ví dụ: So sánh 11 và 10

Ta có:

41
8
3
11
11
8
3
41 23
3 2
10 hay 11 > 10
Vì 3 > 2 nên 11

23
3
2
10
10

* Chú ý: Khi mẫu số của hai phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên ta có thể nhân
cả hai phân số đó với số tự nhiên đó rồi đa kết quả vừa tìm được về hỗn số rồi so sánh
hai hỗn số đó với nhau
47
65
Ví dụ: So sánh 15 và 21 .
47
47
2
9
5
+) Ta có: 15 x 3 = 5
2 2
2
2
47
65

9 9
7 hay 15 > 21
+) Vì 5 7 nên 5

65
65
2
3  9
21
7
7

- Thực hiện phép chia hai phân số để so sánh
- Khi chia phân số thứ nhất cho phân số thứ hai, nếu thương tìm đợc bằng 1 thì hai
phân số đó bằng nhau; nếu thương tìm đợc lớn hơn 1 thì phân số thứ nhất lớn hơn
phân số thứ hai; nếu thương tìm được nhỏ hơn 1 thì phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số
thứ hai.
5
7
Ví dụ: So sánh 9 và 10
5 7
50
5
7
1
Ta có: 9 : 10 = 63
Vậy 9 < 10 .
c e
a e
a c
 thi 

b f
b d và d f

- Rút gọn phân số.

B.BÀI TẬP
1 , Không quy đồng tử số và mẫu số hãy so sánh các p/s sau :
12 1212
121212
24 2424
242424
a, 14 , 1414 và 141414
b, 35 , 3535 và 353535
ab abab
ababab
123 123123 123123123
c, cd , cdcd và cdcdcd
d, 145 , 145145 và 145145145
122436 12
22 224466
va
va
e, 132639 13
f, 25 255075

2 .Không quy đồng tử số và mẫu số hãy so sánh các p/s sau : (so sánh phần bù)
1999
2003
a ) 2000 và 2004

1997
1995
b) 2000 và 1998

a
a 1
c) a  1 và a  2

3. Không quy đồng tử số và mẫu số hãy so sánh các p/s sau : (so sánh phần hơn)

Giaovienvietnam.com
1995
2003
a ) 1994 và 2002

2003
1999
2000 và 1996

b)
4. Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần

299
279
c ) 295 và 275

1 2 3 4 5 6 7 8 9
, , , , , , , , .
2 3 4 5 6 7 8 9 10

2
3
5. Viết 5 phân số khác nhau nằm giữa 2 phâ số 5 và 5

Bài 6: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:
7
17
a) 11 và 23
12
13
b) 48 và 47
25
25
c) 30 và 49

34
35
d) 43 và 42
23
47
e) 48 và 92
415
572
g) 395 và 581

7
12
a) 17 và 15
1999
12
b) 2001 và 11
13
27
c) 27 và 41

1999
1998
d) 1999 và 2000
1
1
e) a  1 và a  1
23
24
g) 47 và 45

Bài 7: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:

Bài 8: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:
a)
b)
c)
d)

15
5
25 và 7
13
27
60 và 100
1993
997
1995 và 998
47
29
15 và 35

3
17
e) 8 và 49
43
29
g) 47 và 35
43
31
h) 49 và 35
16
15
i) 27 và 29

Bài 9: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất:

Bài 10:

13
23
a) 15 và 25
23
24
b) 28 và 27
12
25
c) 25 và 49

13
133
d) 15 và 153
13
1333
e) 15 và 1555

1 2 3 4 5 6 7 8 9
; ; ; ; ; ; ; ;
a) Sắp xếp các phân số theo thứ tự giảm dần: 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Giaovienvietnam.com
26 215 10 26 152
;
; ; ;
.
15 253 10 11 253
5 1 3 2 4
; ; ; ; .
6 2 4 3 5

b) Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần:
c) Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần:
d) Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ lớn đén bé:
e) Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ lớn đến bé:
Bài 11: Tìm phân số nhỏ nhất trong các phân số sau:

21 60 19
; ;
25 81 29
15 6 3 12 2004
; ;1; ; ;
6 14 5 15 1999

1985 19 1983 31 1984
; ;
; ;
1980 60 1981 30 1982

196 14 39 21 175
; ; ; ;
189 45 37 60 175

a)
b)
Bài 12: Viết các phân số sau dới dạng phân số thập phân rồi xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
11 9 7 600 19
; ;
;
;
20 10 25 1000 50

Bài 13: Tìm phân số nhỏ nhất và phân số lớn nhất trong các phân số sau:
12 77 135 13 231
;
;
;
;
49 18 100 47 123

Bài 14:

1
3
a) Tìm 6 phân số tối giản nằm giữa 5 và 8

b) Hãy viết 5 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số:
2
3
5 và 5

1995
1995
1997 và 1996

Bài 15: Hãy tìm 5 phân số có tử số chia hết cho 5 và nằm giữa hai phân số:
999
1001
a. 1001 và 1003

9
11
b. 10 và 13

Bài 16: So sánh phân số sau với 1

34 34
1999 1999
a) 33 35
b) 1995 1995
198519851985 198719871987
c) 198619861986 198619861986

Bài 17: So sánh

1 3 5  2  6 10  4 12  20  7  21 35
308
1 5  7  2 10 14  4  20  28  7 35  49 với 708

Bài 18: So sánh A và B, biết:

11 13 15  33 39  45  55  65  75  99 117 135
A = 13 15 17  39  45 51  65 75 85  117 135 153
1111
B = 1717

Bài 19: So sánh các phân số sau (n là số tự nhiên)
a. )

n 1 n  3
;
n2 n4

b)

n
n 1
;
n3 n4

Giaovienvietnam.com
Bài 20: So sánh phân số sau: (a là số tự nhiên, a khác 0)

a 1 a  3
a 1
a
;
b)
;
a
a2
a6 a7
1 1 1 1 1 1 1
     
Bài 21: Tổng S = 2 3 4 5 6 7 8 có phải là số tự nhiên không? Vì sao?
1
1
1
1
1
5

  ...  
89 90 với 6
Bài 22: So sánh 31 32 33
a)

Bài 23: Hãy chứng tỏ rằng:

7
1
1
1
1
1



 ... 

1
12 41 42 43
79 80

Bài 24: So sánh A và B biết:
A. 

2006
2007

987654321 246813579

B. 

Bài 25: So sánh M và N, biết:
M 

2003 2004

2004 2005

N 

Bài 26: So sánh A và B, biết:
A.

432143214321
9999999999 99

2007
2006

987654321 246813579

B.

2003  2004
2004  2005

1231  1231  1231 1231
1997  1997 1997  1998199820 00

Bài 27: Cho phân số:

1  2  3  4  ...  9
M = 11 12  13  ... 19

Hãy bớt một số hạng ở tử số và một số hạng ở mẫu số sao cho giá trị phân số không
thay đổi.
CHUYÊN ĐỀ 2
BỐN PHÉP TÍNH VỚI PHÂN SỐ
I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1. Phép cộng phân số
1.1. Cách cộng
* Hai phân số cùng mẫu:
a c ac
 
( b  0)
b b
b

* Hai phân số khác mẫu số:
- Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đa về trờng hợp cộng 2 phân số có cùng mẫu số.
* Cộng một số tự nhiên với một phân số.
- Viết số tự nhiên thành phân số có mẫu số bằng mẫu số của phân số đã cho.
- Cộng hai tử số và giữ nguyên mẫu số.
Ví dụ:
3 8 3 11
  
2+ 4 4 4 4

1.2. Tính chất cơ bản của phép cộng
- Tính chất giao hoán:
a c c a
  
b d d b.

- Tính chất kết hợp:

Giaovienvietnam.com
 a c  m a  c m
       
b d n b d n

- Tổng của một phân số và số 0:
a
a a
 0 0  
b
b b

2. Phép trừ phân số
2.1. Cách trừ
* Hai phân số cùng mẫu:
a c a c
 
b b
b

* Hai phân số khác mẫu số:
- Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đưa về trường hợp trừ 2 phân số cùng mẫu số
b) Quy tắc cơ bản:
- Một tổng 2 phân số trừ đi một phân số:
 a c  m a  c m
   
  
 b d  n b  d n  (Với
c  a m
  
d
 b n  (Với
=

c m

d n)
a m

b n)

- Một phân số trừ đi một tổng 2 phân số:
a  c m  a
     
b d n b
a
 
= b

c m

d n
m c

n d

- Một phân số trừ đi số 0:
a
a
 0
b
b

3. Phép nhân phân số

a c axc
x 
3.1. Cách nhân: b d bxd

3.2. Tính chất cơ bạn của phép nhân:
- Tính chất giao hoán:
a c c a
x  x
b d d b

- Tính chất kết hợp:

 a c  m a  c m
  
  
b d n =b d n

- Một tổng 2 phân số nhân với một phân số:
a c m a m c m
      
b d n b n d n

- Một hiệu 2 phân số nhân với một phân số:
a c m a m c m
      
b d n b n d n

- Một phân số nhân với số 0:

Giaovienvietnam.com
a
a
x 0 0 x 0
b
b

3.3. Chú ý:
- Thực hiện phép trừ 2 phân số:

1 1 2 1 1
1
1 1
1
 
    
1 2 2 2 2 1x 2
Do đó: 1 2 1x 2
1 1 3 2 1
1
1 1
1
    
 
2 3 6 6 6 2 x3
Do đó: 2 3 2 x3
1 1 4
3
1
1
1 1
1
  
 
 
3 4 12 12 12 3 x 4
Do đó: 3 4 3x 4
1
1
n 1
n
1
1
1
1






n n  1 n ( n  1) n (n  1) n (n  1) Do đó: n n  1 n (n  1)

- Muốn tìm giá trị phân số của một số ta lấy phân số nhân với số đó.
1
1
6 3
Ví dụ: Tìm 2 của 6 ta lấy: 2
1
1
1 1 1
 
Tìm 2 của 3 ta lấy: 2 3 6

4. Phép chia phân số

a c axd
: 
4.1. Cách làm: b d bxc

4.2. Quy tắc cơ bản:
- Tích của 2 phân số chia cho một phân số.
 a c  m a  c m
 x  :  x : 
b d n b d n

- Một phân số chia cho một tích 2 phân số:
a  c m  a c  m
:  x   :  : .
b d n b d n

- Tổng 2 phân số chia cho một phân số:
a c m a m a m
  :  :  :
b d n b n b n

- Hiệu 2 phân số chia cho một phân số:
a c m a m c m
  :  :  :
b d n b n d n

0:

a
0 .
b

- Số 0 chia cho một phân số:
- Muốn tìm 1 số khi biết giá trị 1 phân số của nó ta lấy giá trị đó chia cho phân số t ương ứng.
2
Ví dụ: Tìm số học sinh lớp 5A biết 5 số học sinh của lớp 5A là 10 em.

Số học sinh của lớp 5A là:
2
25
10 : 5
(em)

Bài giải

Giaovienvietnam.com
a
c
* Khi biết phân số b của x bằng d của y (a, b, c, d 0)
c a
:
- Muốn tìm tỉ số giữa x và y ta lấy d b
a c
:
- Muốn tìm tỉ số giữa y và x ta lấy b d
2
3
Ví dụ: Biết 5 số nam bằng 4 số nữ. Tìm tỉ số giữa nam và nữ.

Bài giải

3 2 15
:
4 5= 8 .

Tỉ số giữa nam và nữ là:
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN
Dạng 1: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số
của phân số liền trước 2 lần.
1 1 1
1
1
1
  


Ví dụ: 2 4 8 16 32 64 .

Cách 1:

Cách giải:

1 1 1
1
1
1
  


Bớc 1: Đặt A = 2 4 8 16 32 64
1
1
1 
2
Bớc 2: Ta thấy: 2
1 1 1
 
4 2 4
1 1 1
 
8 4 8
1  1
1
1

1
1     
   
  ... 
2
2
4
4
8






Bớc 3: Vậy A =
1 1
1 1
1
1
1
 
 
 ... 

2 2
4 4
8
32
A=
1
A = 1 - 64
64
1
63


A = 64 64 64
63
Đáp số: 64 .

Cách 2:

1 1 1
1
1
1
  


Bớc 1: Đặt A = 2 4 8 16 32 64

Bớc 2: Ta thấy:

1
1
1 
2
2
1 1 3
1
  1 
2 4 4
4

1 
 1



 32 64 
1
64

Giaovienvietnam.com
1 1 1 7
1
   1 
2 4 8 8
8

…………….

1 1 1
1
1
1
  


Bớc 3: Vậy A = 2 4 8 16 32 64
1
64
1
63


= 1 - 64 = 64 64 64

Dạng 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp
mẫu số của phân số liền trước n lần. (n > 1)
1 1 1
1
1
1
  


Ví dụ: A = 2 4 8 16 32 64

Bớc 1: Tính A x n (n = 2)

Cách giải:

1
1
1 
1 1 1


   

2
4
8
16
32
64


Ta có: A x 2 = 2 x
2 2
2
2
2
2
  


= 2 4 8 16 32 64
1 1 1 1
1
1   

2 4 8 16 32
=

Bớc 2: Tính A x n - A = A x (n - 1)

1 1 1
1
1 


1    

2 4 8 16 32 
Ax2-A= 
1 1 1
1
1
1
1   


2 4 8 16 32 - 2
A x (2 - 1) =
1
A = 1 - 64
64
1
63


A = 64 64 64
5 5
5
5
5
5
 



Ví dụ 2: B = 2 6 18 54 162 486

1
1
1 
1 1 1


   

 2 4 8 16 32 64 
1 1
1
1
1
 


4 8 16 32 64

Bớc 1: Tính B x n (n x 3)

5
5
5
5 
5 5



  

B x 3 = 3 x  2 6 18 54 162 486 
15 5 5
5
5
5
  


= 2 2 6 18 54 162

Bớc 2: Tính B x n - B

5
5
5 
 15 5 5
  




Bx3 - B =  2 2 6 18 54 162  15 5 5
5
5
5
  


B x (3 - 1) = 2 2 6 18 54 162 15
5

486
Bx2= 2

5
5
5
5 
5 5



  

 2 6 18 54 162 486 
5 5
5
5
5
5





2 6 18 54 162 486

Giaovienvietnam.com
3645  5
486
Bx2=
3640

486
Bx2
3640
:2
B = 486
1820

B 486
910

B 243

BÀI TẬP:Tính nhanh

2 2
2
2
2
2
2
 




a) 3 6 12 24 48 96 192
1 1 1
1
1
1
1
1
  




b) 2 4 8 16 32 64 128 256
1
1
1
1
1
1
b1) S = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64
1 1
1
1
1
1
 



.
c) 3 9 27 81 243 729
3 3
3
3
3
 


d) 2 8 32 128 512
3
3
3
3



e) 3 + 5 25 125 625
1
1
1
1
1



 .... 
1280
g) 5 10 20 40
1 1 1
1
1
 

 ... 
59049
h) 3 9 27 81

Dạng 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có
hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trớc là thừa số thứ nhất của mẫu
phân số liền sau:
1
1
1
1



Ví dụ: A = 2 x 3 3 x 4 4 x 5 5 x 6
3 2
4 3 5 4 6 5



2
x
3
3
x
4
4
x
5
5x6
A=

Ví dụ:

3
2

= 2 x 3 2 x3
1 1 1
  
= 2 3 3
1 1 3

 
= 2 6 6



4
3
5
4
6
5





3x 4 3x4 4 x5 4 x5 5 x6 5 x6

1 1 1 1 1
   
4 4 5 5 6
1 2 1
 
6 6 3

Giaovienvietnam.com
3
3
3
3



B = 2 x 5 5 x 8 8 x 11 11 x 14
5  2 8  5 11  8 14  11



.
2
x
5
5
x
8
8
x
11
11
x
14
B=
5
2

B = 2 x5 2 x5
1 1 1
  
= 2 5 5
1
1
7


= 2 14 14



8
5
11
8
14
11





5 x 8 5 x 8 8 x 11 8 x 11 11 x 14 11 x 14

1 1 1
1
1
 


8 8 11 11 14
1
6 3

 
14 14 7

BÀI TẬP
Bài 1: Tính nhanh:

4
4
4
4
4
4





a. 3 x 7 7 x 11 11 x 15 15 x 19 19 x 23 23 x 27
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2








 ... 

8 x 9 9 x 10
b. 3 x 5 5 x 7 7 x 9 9 x 11 11 x 13 13 x 15 1 x 2 2 x3 3 x 4

3
3
3
3
3
3
77
77
77
77




 ... 



 ... 
9 x 10 2 x 9 9 x 16 16 x 23
93 x 100
c. 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4 x 5 5 x 6

4
4
4
4



d. 3 x 6 6 x 9 9 x 12 12 x 15
1 1 1 1 1 1
1
    
 ... 
110
e. 2 6 12 20 30 42

Bài 2: Cho tổng:

7
7
7
7
7




đ. 1 x 5 5 x 9 9 x 13 13 x 17 17 x 21
1 1 1
1
1
1
  


g. 10 40 88 154 138 340

4
4
4
664
S


 ... 
37 7 11 1115
1995

a) Tìm số hạng cuối cùng của dãy S.
b) Tổng S có bao nhiêu số hạng?
Bài 3: Tính nhanh:
5 11 19 29 41 55 71 89
      
a) 6 12 20 30 42 56 72 90

b) Tính tổng của 10 phân số trong phép cộng sau:

1 5 11 19 29 41 55 71 89 109
        
2 6 12 20 30 42 56 72 90 110
1 1 1 1 1 1
, , ,
,
, ........
Bài 4: Cho dãy số: 2 6 12 20 30 42

a) Hãy tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số trên.

1
b) Số 10200 có phải là một số hạng của dãy số trên không? Vì sao?

Bài 5: Tính nhanh:

1
1
1
1


 ... 
1  2 1 2  3 1 2  3  4
1  2  3  4  ...  50

Bài 6: So sánh S với 2, biết rằng:

Giaovienvietnam.com
1 1 1
1
S 1     ... 
3 6 10
45

Bài 7: Chứng minh rằng:

1 1 1 1 1 1 1 1 1
        1
3 7 13 21 31 43 57 73 91

Bài 8: Điền dấu >,< hoặc = vào ô trống:

1 1 1 1
1
S      ... 
4 9 16 25
1000  1
abc mnpmnp
1993 19941994
Bài 9: Tính a) 1994 19931993
b) mnp abcabc

Bài 10:Tính

a)

b)
Bài 11: .Tính biểu thức :
a)
b)

1
1
1
1
1
S = (1- 2 ) (1- 3 ) (1- 4 )  (1- 5 ) (1- 6 )
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
     
  



S= 7 8 9 10 11 12 14 15 18 22 24 28 30

2004 2005  2006 6  6
2005 1997  4 2005
2003 4  1998  2001 2002
2002  2002 502  500 2002
72 : 2 574  286 2 64
4  4  8  12  20  ...  220

c)
Bài 12:Tính :

191919 888
a) 18 ( 212121 + 999 ) b ,

c)

206 195195
195 206206

1999 2000  2001 5  5
504 2000  500 2000
;
2000 4  1995  2001 1995
1995 495  1995 5  1995 3
;
72  36 2  24 3  18 4  12 6  168
2  2  4  6  ...  512  1024

171717
3737
27 ( 272727 + 3636 )

Bài 10: Tính giá trị biểu thức:

c,

7777 141414
3 ( 9999 + 272727 )

 17
  23 11 9 
   12,98  0,25  12,5.
  7  8,7  :  
2 25 
  4
a)  10
2
2
7
2
2
1
2
7
1
5 2 3 2 
5
9
17
b) 24
c) 2 17  1 24  5 5  3 9 x 2
1
1  7
4 3
 1 1 3  11
 3
 :
  
:
 1  2  1   1
5
10  10
5 7
d) 3 x  7 3 14  14 .
e)  5

Bài 11: Tính giá trị của biểu thức:

1
1  1
1
1
1


 
 :  

10
15   6
10
15 
6
1
1
1  1
1
1




 :  

3
4
5  4
6
b)  2
1
1  1
1
1
1
1
7 
17
 3


 
 :  




 
6
10
15
6
10
15

 

4
20 
49
 15
1
1
1
1
1
1

 

1
2




 :  

5 
3
4
5  4
6
3
5
c)  2
d)
3
1
6
6 :
 1 
5
6
7
1
10
2
4 
 5
11
a) 5 11

Giaovienvietnam.com
5
1 7
 1 
7
7 8
7
1
11
3  7
2
12
e) 6

 1 1 1  1 1 1
   :   
 2 4 5  2 4 5
1  1 1
1
1 1
   :  

2
5
10
2
5
10




g)

36 9
:
41 41  2
14 7
5
:
h) 21 21
8  7 3
:  
3 1
12  3 9 
 
3  21 5 2
 5
2 1  :
4  24
k)  8

1 1
7
 2
3 5
15
1 7  5
 3
   

l)  10 4 20  6

5:

34  2

:
3 
21  31

 12   3

2 
 : 2  :

i)  15   30
3

2
1
7 
7
1
1
 13
1  2 

:2 4 
5
2 180  18
2 10
m)  84

Bài 12: Tính:
1

1
1

1
1

a)
1

c)

1
2

1
2

1

1 

1
1

b) 1

d)

1
1

1
2

1

2

1
3

1 

e)



1 

1
1  4

2
2  3

Bài 13: Thực hiện các phép tính sau:
1 7  7
1 1
 13 2
 1  2 
 :2  4 
84 5
2 180  18
2 10
a) 
1
1
70  528: 7
2
2

Bài 14: Tìm y:

29  1  81
19  1
 9

8
1
 1
 11

100 100  4  100 100  50

b)

1
13  8
 9
9 : 11
 18  16  
4
20  9
 10

2
1  7 4 1 
 3 1
 3 :  2 1      1 : 
5
4  2 5 5 2
 4 4
 1 3
 1   y
 2 4
= 64

Bài 15: Tìm số tự nhiên n sao cho:
121 54
100 25

n
:
27 11
21 126

Bài 16: Tìm x là số tự nhiên biết:

Giaovienvietnam.com
x 60

a) 17 204
x 3

d) 5 7

12  x 2

43

x
3
c)
15 x 46
 
g) 26 16 52

6 x 7

b) 33 11
11
1  2
x
e)

CHUYÊN ĐỀ 3
CÁC BÀI TOÁN VỀ THÊM BỚT Ở TỬ SỐ VÀ MẪU SỐ
A. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ
1. Thêm vào tử số và bớt ở mẫu số cùng một số tự nhiên khác 0 thì tổng của tử số và mẫu số
của 2 phân số không đổi.
2. Bớt ở tử số và thêm ở mẫu số cùng một số tự nhiên khác 0 thì tổng của tử số và mẫu số
của 2 phân số không đổi.
3.Cùng thêm hoặc cùng bớt ở cả tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên khác 0 thì hiệu của tử
số và mẫu số (hoặc hiệu của mẫu số và tử số) không đổi.
I . Bài tập thêm bớt cả tử và mẫu .

B.BÀI TẬP

7
a ) Cho phân số 9 . Hãy tìm một số n sao cho nếu đem tử số trừ đi số tự nhên n và đem mẫu
1
số cộng với n thì được một ps mới sau khi rút gọn bằng bằng 3 .
5
b) Cho phân số 7 . Hãy tìm một số n sao cho nếu đem tử số trừ đi số tự nhên n và đem mẫu
1
số cộng với n thì được một ps mới sau khi rút gọn bằng bằng 3
5
c ) Cho phân số 59 . Hãy tìm một số n sao cho nếu đem tử số cộng số tự nhên n và đem mẫu

số trừ n thì được một ps mới sau khi rút gọn bằng bằn (các phần a,b,c,d được giải = tổng tỉ)

9
e) Cho p/s 34 hãy tìm số tự nhiên m sao cho khi đem cả tử và mẫu cửa p/s đã cho trừ đi m ta
1
đựơc p/s mới. Rút gọn p/s mới ta đợc p/s 6 .
43
g) Cho p/s 56 hãy tìm số tự nhiên m sao cho khi đem cả tử và mẫu cửa p/s đã cho trừ đi m ta
3
đựơc p/s mới. Rút gọn p/s mới ta được p/s 4 .
5
h) Cho p/s 35 hãy tìm số tự nhiên m sao cho khi đem cả tử và mẫu cửa p/s đã cho trừ đi m ta
1
đựơc p/s mới .Rút gọn p/s mới ta đợc p/s 11 .

II. Bài tập tìm P/s khi thêm bớt vào tử hoặc mẫu:

Giaovienvietnam.com
a
a
9
a) Cho p/s b nếu rút gọn b thì được p/s 11 .nếu thêm vào tử số 38 đơn vị rồi mới rút gọn thì
5
a
đợc p/s 4 .Tìm p/s b .
3
a
a
b) Cho p/s b nếu rút gọn b thì được p/s 7 .nếu thêm vào tử số 15 đơn vị rồi mới rút gọn thì
36
a
đợc p/s 49 .Tìm p/s b .
a
a
9
c) Cho p/s b nếu rút gọn b thì được p/s 13 .nếu thêm vào tử số 315 đơn vị rồi mới rút gọn
27
a
thì đợc p/s 32 .Tìm p/s b .
3
a
a
d) Cho p/s b nếu rút gọn b thì đợc p/s 7 .nếu thêm vào tử số 70 đơn vị rồi mới rút gọn thì đ3
a
ợc p/s 2 .Tìm p/s b

III . Các bài tìm p/s

7
a) Tìm p/s bằng p/s 10 mà có tử số nhỏ hơn mẫu số 2004 đơn vị .
5
b) Tìm p/s bằng p/s 8 mà có tử số nhỏ hơn mẫu số 810 đơn vị .
11
c ) Tìm p/s bằng p/s 16 mà có tử số nhỏ hơn mẫu số 915 đơn vị .
63
a
a
a
h) Cho p/s b có b- a = 25 .P/s b sau khi rút gọn bằng 68 . Tìm p/s b ?
5
a
a
a
i) Cho p/s b có b- a = 18 .P/s b sau khi rút gọn bằng 7 . Tìm p/s b ?
5
a
a
a
k) Cho p/s b có b + a = 112 .P/s b sau khi rút gọn bằng 9 . Tìm p/s b ?
4
a
a
a
n) Cho p/s b có b + a = 143 .P/s b sau khi rút gọn bằng 7 . Tìm p/s b ?

CHUYÊN ĐỀ 4
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG, HIỆU - TỈ
Phương pháp giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số:
Để giải bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ số ta có thể làm như sau:
Bước 1: Vẽ sơ đồ biểu diễn hai số đó.
Bước 2: Tìm tổng số phần bằng nhau.
Bước 3: Tìm số lớn hoặc số bé:
Số lớn = (Tổng : tổng số phần bằng nhau) x số phần của số lớn;
Số bé= Tổng – số lớn
Phương pháp giải bài toán tìm hai số khi biết hiệu và tỉ số:
Bước 1: Vẽ sơ đồ biểu diễn hai số đó.
Bước 2: Tìm hiệu số phần bằng nhau.
Bước 3: Tìm số lớn hoặc số bé:

Giaovienvietnam.com
Số lớn = (Hiệu : hiệu số phần bằng nhau) x số phần của số lớn
Số bé = (Hiệu : hiệu số phần bằng nhau) x số phần của số bé.
1. Ba bạn A, B, C có 84 quyển sách, số sách của A gấp 2 lần của B, số sách của B gấp 3 lần
của C .Tìm số sách của 3 bạn .
2. Ba lớp nhặn đợc 49 kg giấy, lớp 5a nhặt gấp 4 lần 5b, lớp 5c bằng một nửa lớp 5a.Tìm số
giấy của mỗi lớp.
1
3 . Tuổi bà gấp 2 lần tuổi mẹ, tuổi Lan bằng 6 tuổi mẹ. Tính tuổi mỗi người (biết mẹ và Lan

có tổng số tuổi là 42)

1
1
4. Số bông hoa của A bằng 2 số bông hoa của B và bằng 3 số bông hoa của C. Tìm số bông

hoa của mỗi người.(biết số bông hoa của A và C là 100 bông)

1
5. a) Số cây của 4 bằng 3 số cây của 4b số cây của 4a gấp 2 lần số cây của 4c.Tìm số cây của
a

mỗi lớp (3 lớp trồng đợc 603 cây)

2
1
6 Hồng ,Cúc ,.Chúc , Mai góp 28 quyển truyện. Hồng góp 7 số truyện và bằng 3 của

Cúc . Nếu Trúc góp thêm 1 quyển, Mai bớt đi 1 quyển thì Trúc gấp 2 lần Mai. Tìm số quyển
truyện Mỗi bạn .
1
1
7 .a) Số ngời học tiếng Nhật bằng 2 số ngời học tiếng Hoa ,số ngời học tiếng Hoa bằng 3

số người học tiếng Anh . Tìm số ngời học mỗi loại .(Tổng số người học là108)
b) Cuối học kỡ I , ba lớp 5A , 5B và 5C nhận 177 quyển vở để phát thưởng cho học sinh.

2
3
4
Biết 3 số vở lớp 5A bằng 5 số vở lớp 5B và bằng 7 số vở lớp 5C . Hỏi mỗi lớp được nhận

bao nhiêu quyển vở ?
c) Bác Thuận , Anh Tuấn và Cụ Yến chia nhau một số tiền thưởng là 3.480.000 đồng .

3
4
5
Biết rằng 5 số tiền thưởng của bác Thuận bằng 7 số tiền thưởng của Anh Tuấn; 9 số tiền
35
thưởng của Anh Tuấn bằng 51 số tiền thưởng của Cụ Yến. Hỏi mỗi người được thưởng bao

nhiêu tiền ?

*****
8. Tổng của 2 số là 105 .Nếu lấy số lớn chia cho số bé được thương là 9 và dư 5 .Tìm 2 số
đó.
9. Trong một phép chia có thương là 5 số dư là 12 .Biét tổng của SBC và SC thương số và số
dư là 113.Tìm SBC và SC
10. Khi thực hiện một phép chia 2 số tự nhiên thì được thương là 6, dư 51.Tổng của SBC, SC
thương và số dư là 969. Hãy tìm SBC và SC.
11. Khi lấy số lớn chia cho số bé ta được thương là 9 dư 5 .Biết tổng của số lớn, số bé, thương và số dư là 119.Tìm 2 số đó .
*****

Giaovienvietnam.com
3
2
12. Hoài và Hiền có tổng số tiền là 57000 đồng để mua sgk.Biết 3 số tiền của Hiền bằng 5

của Hoài .Hỏi mỗi bạn cố bao nhiêu đồng.

5
3
13. Lơng Bố hơn lơng Mẹ 60 000 đồng.Biết 6 lương Mẹ bằng 4 lương Bố .Tính lương Bố

và Mẹ .

2
3
4
14 . a) Tổng của 3 số là 935 .biết 7 số thứ nhất bằng 5 số thứ 2 bằng 9 số thứ 3.Tìm 3 số

đó.

b) Cuối học kì I , ba lớp 5A , 5B và 5C nhận 177 quyển vở để phát thưởng cho học sinh.

2
3
4
Biết 3 số vở lớp 5A bằng 5 số vở lớp 5B và bằng 7 số vở lớp 5C . Hỏi mỗi lớp được nhận

bao nhiêu quyển vở ?

2
15.Tổng số tuổi của Ông ,Bố ,Mẹ tôi là 152 .Đố bạn tính được tuổi mỗi người . Biết 3 tuổi
2
3
Mẹ bằng 5 tuổi Bố bằng 7 tuổi Ông.
4
16. Hồng và Huệ có tổng số Tiền là 65 000 đồng sau khi Hồng tiêu 7 số tiền của mình, Huệ
1
tiêu 2 số tiền của mình thì số tiền còn lại của 2 bạn bằng nhau. Tìm số tiền của mỗi bạn
2
4
17 . Hai tấm vải dài 176 m. Sau khi bán đi 3 tám vải thứ nhất và 7 tấm vải thứ hai thì 2 tấm

vải cồn lại bằng nhau.Tìm độ dài 2 tấm vải lúc đầu.

1
2
18. Một ngời có 290 kg gạo Nếp và Tẻ sau khi bán 3 số gạo tẻ và 7 số gạo nếp thì số gạo

còn lại bằng nhau. Tìm số gạo mỗi loại.

3
1
1
19 .Ba tấm vải Xanh,Trắng, Đỏ dài 108 m. Nếu cắt 7 tấm vải Xanh, 5 tấm vải Trắng, 3 tấm

vải Đỏ thì phần còn lại dài bằng nhau.Tìm chiều dài mỗi tấm.

2
3
20. Một giá sách có 2 ngăn, ngăn 1 bằng 3 ngăn 3, ngăn 2 bằng 4 ngăn 1. Cả 3 ngăn có 64

quyển,Tìm số sách mỗi ngăn.

2
3
21, Tổng số tuổi của 3 cha con là 85.Tuỏi con gái bằng 5 tuổi cha, tuổi con trai bằng 4 tuổi

con gái.Tìm tuổi mỗi người.

8
3
a
c
22. Ba lớp có 115 học sinh, Học sinh lớp 4 bằng 9 học sinh lớp 4 , học sinh lớp 4 bằng 4
b

học sinh lớp 4b.Tìm học sinh mỗi lớp.

3
23.Trong vờn có 60 cây cam, chanh, bởi Số cây bởi bằng 4 số cây chanh, số cây chanh bằng
4
5 số cây cam. Tìm số cây mỗi loại.

Giaovienvietnam.com
3
24. Ba bạn có tất cả 63 bông hoa số hoa của bạn A bằng 4 số hoa của bạn B, số hoa của bạn
7
C bằng 6 số hoa của bạn A. Tìm số hoa của mỗi bạn.
4
25. Ba trường có 74 học sinh giỏi, học sinh giỏi trường A bằng 5 học sinh giỏi trường B, học
5
sinh giỏi trường C bằng 6 trờng A. Tìm học sinh giỏi mỗi trường.

*****
26. Một giá sách có 2 ngăn, số sách hiện có ở ngăn dưới gấp 5 lần ngăn trên nếu chuyển 3
quyển từ ngăn dưới lên ngẳn trênthì số sách ở ngăn dưới gấp 4 lần ngăn trên.Tìm số sách mỗi
ngăn?
27.
2
Trong lớp chỉ có 2 loại học sinh giỏi và khá. Cuối học kì 1 số học sinh giỏi bằng 7 số học

1
sinh khá. Đến cuối năm 1 học sinh khá vươn lên học sinh giỏi vì thế số học sinh giỏi bằng 3

số học sinh khá. Tìm số học sinh khá,giỏi .

1
28. Trong một buổi họp mặt cô giáo nhận thấy rằng số học sinh vắng mặt bằng 5 số học sinh
1
có mặt ,cô cho một học sinh đi gọi lúc này cô nhận thấy số học sinh vắng mặt bằng 4 số học

sinh có mặt.Tìm số học sinh cả lớp.

3
29. Tủ sách 5 a có 2 ngăn. Số sách ngăn trên bằng 7 số sách ngăn dưới. Nếu chuyển 10
1
quyển từ ngăn trên xuống ngăn dưới thì ngăn trên bằng 2 ngăn dưới.Tìm số sách mỗi ngăn.
5
30. Lớp Avà B đi lao động số cây lớp A bằng 9 số cây lớp B, nếu chuyển 10 cây của lớp A
2
sang B thì số cây lớp A bằng 5 số cây lớp B.Tìm số cây mỗi lớp .

*****
31. Năm nay tuổi Hoa gấp 3 lần tuổi em Huệ . Hai năm trớc ,tuổi hoa gấp 5 lần tuổi em
Huệ .Vậy Hoa và Huệ năm nay bao nhiêu tuổi

2
32. Năm nay tuuôỉ Tuấn gấp 2 lần tuổi Tú . 5 năm nữa tuổi Tú bằng 3 tuổi Tuấn .Tìm tuổi

mỗi người.

1
1
33. Năm nay , Tôi bằng 4 tuổi Ông .11 năm nữa ,tuổi tôi bằng 3 tuổi Ông . Vây năm nay

Ông bao nhiêu tuổi .

*****

Giaovienvietnam.com
3
34.Lớp Avà B nhận bàn chải đánh răng .Sau khi nhận thì thấy rằng 4 số bàn chải đánh răng
1
3
1
của lớp B gấp 3 lần 3 số bàn chải của lớp A. 4 số bàn chải của lớp B nhiều hơn 3 số bàn

chải của lớp A 18 bàn chải .Tìm số bàn chải của mỗi lớp .

3
1
3
2
35. 5 số cây của A hơn 3 số cây của B là 20 cây và 5 số cây của A gấp 3 số cây của B 3

lần.Tìm số cây của mỗi lớp .

3
1
3
2
36. 5 số cây của A hơn 3 số cây của B là 2 lần và 5 số cây của A hơn 3 số cây của Blà 54

cây.Tìm số cây của mỗi lớp .

1
2
3
1
3
37. 4 số cây của A bằng 3 của 5 số cây của B và 4 số cây của Avà 5 cây của B là 25

cây .Tìm số cây mỗi bạn.

2
3
3
2
3
38. 3 số cây của A bằng 4 của 4 số cây của B và 3 số cây của Avà 4 cây của B là 42

cây .Tìm số cây mỗi

*****
39. Cho 4 số có tổng là 396. Nếu đem số thứ nhất cộng với 5, đem số thứ Hai trừ đi 5, đem
số thứ ba nhân với 5 , đem số thứ 4 chia cho 5 thì đợc bốn kết quả bằng nhau .Tìm 4 số đó .
40. Cho 4 số có tổng là 45.Nếu đem số thứ nhất cộng với 2 ,đem số thứ Hai trừ đi 2 ,đem số
thứ ba nhân với 2 ,đem số thứ 4 chia cho 2 thì được bốn kết quả bằng nhau .Tìm 4 số .

7
41. Khối 5 có 150 học sinh .số học sinh khá bằng 15 số học sinh của khối ,số học sinh giỏi

bằng 60% số học sinh khá.
a) Tìm học sinh đạt loại khá, giỏi ?

3
2
b) Tìm học sinh đạt TB và Y.(biết 5 học sinh Y bằng 3 học sinh TB)
4
42. Bốn bạn có 110 bông hoa .Số ho...