Thảo luận về các bài toán tọa độ hình học trong mặt phẳng
Tác giả: Nguyễn Minh Hải
17th May 2025

Lời nói đầu: Như ta đã biết chuyên đề tọa độ hình học trong mặt phẳng là một phần quan trọng
trong hệ thống toán sơ cấp, nó được phổ biến trong chương trình toán 10 THPT chương trình mới cũng
như THCS, phần tọa độ chiếm một phần điểm khá lớn trong các đề thi HSG tỉnh (Không chuyên), đề
thi học kì.... Hôm nay mình mở chủ đề này để mọi người cùng nhau trao đổi về các vấn đề tọa độ hình
học phẳng từ cơ bản đến nâng cao cũng như có thể ôn tập cho kì thi HSG năm sau. Mong mọi người ủng
hộ,tham gia đóng góp nhiệt tình, hãy cùng nhau đóng góp cho topic bằng các đề bài, lời giải để nó thêm
sôi nổi . Mình xin cảm ơn.

Chú ý:
-Các bài giải vui lòng viết bằng tiếng việt có dấu, công thức toán viết bằng Latex
-Các bài hình vui lòng đính kèm thêm ảnh minh họa

Mục lục các phần:
I. Một số khái niệm: Nhắc lại các kiến thức cơ bản về vectơ.
II. Một số kĩ thuật, phương pháp: Phát biểu một số bài toán cơ sở quan trọng dùng để
giải các bài tập nâng cao.
III. Bài tập: Đưa ra một số bài tập nâng cao về vectơ.

I.Một số khái niệm cần nhớ.
1.
−−→
• Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta có: OM = (a; b) ⇔ M (a; b)
• Cho hai điểm A(xA ; yA ) và B(xB ; yB )
p
−→
−→
⇒ AB = (xB − xA ; yB − yA ); AB = |AB| = (xB − xA )2 + (yB − yA )2
xA + xB
yA + yB
; yM =
2
2
• Thêm C(xC ; yC ). Nếu G(xG ; yG ) là trọng tâm ∆ABC thì
• Nếu M (xM ; yM ) là trung điểm AB thì xM =

xG =

xA + xB + xC
yA + yB + yC
; yG =
3
3

−
−
Nếu →
u = (x1 ; y1 ) và →
v = (x2 ; y2 ) thì:
→
−
−
u +→
v = (x1 + x2 ; y1 + y2 )
→
−
−
u −→
v = (x1 − x; y1 − y2 )
−
k.→
u = (kx1 ; kx2 ) ∀k ∈ R
→
−
−
u .→
v = x1 .x2 + y1 .y2
→
−
−
u ⊥→
vp
⇔ x1 .x2 + y1 .y2 = 0
−
|→
u | = x21 + y12
→
−
−
u .→
v
x 1 x2 + y 1 y 2
→
−
→
−
p
• cos( u ; v ) = →
=p 2
−
→
−
| u |.| v |
x1 + y12 + x22 + y22

2.
•
•
•
•
•
•

1

3. Phương trình đường thẳng.
Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng ∆ : ax + by + c = 0(a; b không đồng thời bằng 0)
→
−
−
−
−
• Vectơ →
u hoặc k →
u (k ̸= 0) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu →
u ̸= 0 và giá của
→
−
u song song hoặc trùng với ∆
−
−
−
• Vectơ →
n hoặc k →
n (k ̸= 0) được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu giá của vectơ →
n
vuông góc với ∆
−
−
• Nếu ∆ có vectơ chỉ phương là →
u = (a; b) thì vectơ →
n = (−b; a) là một vectơ pháp tuyến của ∆
→
−
• Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ) và nhận n = (a; b) làm vectơ pháp tuyến có phương trình
là:
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) = 0 ⇔ ax + by + (−ax0 − by0 ) = 0
−
• Đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 nhận →
n = (a; b) là vectơ pháp tuyến.
4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = 0 và điểm M (x0 ; y0 ). Khoảng cách
từ điểm M đến ∆ được tính theo công thức sau:
d(M ; ∆) =

|ax0 + by0 + c|
√
a2 + b 2

5. Góc giữa hai đường thẳng
−
−
Cho hai đường thẳng ∆1 ; ∆2 cắt nhau tại I và có vectơ chỉ phương lần lượt là →
u1 = (a1 ; b1 ); →
u2 = (a2 ; b2 ).
Gọi A; B lafn lượt là các điểm thuộc ∆1 ; ∆2 sao cho
−
→ −
−→
→
−
u1 = IA; →
u2 = IB
−
−
−
→ −→
→ −→
→ −→
• Nếu IA; IB ≤ 90◦ ⇒ (∆1 ; ∆2 ) = IA; IB ⇒ cos(∆1 ; ∆2 ) = cos IA; IB ≥ 0
−
−
−
→ −→
→ −→
→ −→
• Nếu IA; IB > 90◦ ⇒ (∆1 ; ∆2 ) = 180◦ − IA; IB ⇒ cos(∆1 ; ∆2 ) = − cos IA; IB < 0
 −
→ −→

Từ hai trường hợp trên ta suy ra cos(∆1 ; ∆2 ) = cos IA; IB 
−
→ −→
−
−
Do IA; IB = (→
u ;→
u ) nên
1

2

−
−
|a1 a2 + b1 b2 |
|→
u1 .→
u2 |
→
−
→
−
p
=p 2
cos(∆1 ; ∆2 ) = |cos (u1 ; u2 )| = →
−
→
−
|u1 |.|u2 |
a1 + b21 . a22 + b22
−
−
n1 ; →
n2 là vectơ pháp tuyến của ∆1 ; ∆2 ta cũng có
• Ngoài ra với →
−
−
|→
n1 .→
n2 |
→
−
→
−
cos(∆1 ; ∆2 ) = |cos (n1 ; n2 )| = →
−
−
|n1 |.|→
n2 |
• Nếu ∆1 ⊥∆2 ⇒ a1 a2 + b1 b2 = 0
6. Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R là
(x − a)2 + (y − b)2 = R2
Phương trình trên cũng được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn
x2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0
2

Phương trình này được gọi là phương trình tổng quát của đường tròn
Ta có: x2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 ⇔ (x − a)2 + (y − b)2 = a2 + b2 − c
Phương trình trên là phương √
trình đường tròn khii và chỉ khi a2 + b2 − c > 0. Lúc này đường tròn đã
cho có tâm I(a; b) bán kính R = a2 + b2 − c
• Đường thẳng ∆ đi qua điểm M0 (x0 − a; y0 − b) và có vectơ pháp tuyến
−−→
IM0 = (x0 − a; y0 − b)
• Phương trình tiếp tuyến ∆ là
(x0 − a)(x − x0 ) + (y0 − b)(y − y0 ) = 0

7. Tâm đường tròn nội tiếp
Trong mặt phẳng (Oxy) cho tam giác ABC có tọa độ 3 đỉnh là (xA ; yA ); (xB ; yB ); (xC ; yC ) thì tọa độ
I là tâm đường tròn nội tiếp có dạng


BC.xA + CA.xB + AB.xC BC.yA + CA.yB + AB.yC
;
AB + BC + CA
AB + BC + CA

8. Công thức đường phân giác
Cho (∆) : Ax + By + C = 0, (∆' ) : A' x + B ' y + C ' = 0. Các đường phân giác của (∆) và (∆' ) được cho
bởi công thức
Ax + By + C
A' x + B ' y + C '
√
=± √
A2 + B 2
A'2 + B '2

Phương pháp:
Giả sử phương trình các cạnh (AB); (AC) theo thứ tự có phương trình
f (x, y) = a1 x + b1 y + c1 = 0,

g(x, y) = a2 x + b2 y + c2 = 0

Bước 1: Viết phương trình các đường phân giác được tạo bởi các cạnh (AB), (AC).
a1 x + b1 y + c1
a2 x + b 2 y + c 2
p
=± p 2
2
2
a1 + b 1
a2 + b22
3

(∗)

a1 x + b 1 y + c 1 a2 x + b 2 y + c 2
p
+ p 2
=0
a21 + b21
a2 + b22
a1 x + b 1 y + c 1 a2 x + b 2 y + c 2
− p 2
=0
- Gọi (l2 ) là đường phân giác f2 (x, y) = p 2
a1 + b21
a2 + b22
Từ (∗) cho ta đồng thời 2 đường phân giác trong và ngoài. Để phân biệt phân giác trong và ngoài ta phải
xét dấu của chúng.
Bước 2: Xét dấu và kết luận
- Tính f1 (B) và f1 (C)
Nếu f1 (B) · f1 (C) < 0 thì (l1 ) là đường phân giác trong và (l2 ) là đường phân giác ngoài.
Nếu f1 (B) · f1 (C) > 0 thì (l1 ) là đường phân giác ngoài và (l2 ) là đường phân giác trong.
- Gọi (l1 ) là đường phân giác f1 (x, y) =

Ví dụ:
Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC với A(2; 0), B(0; 4), C(4; 1). Viết phương trình các cạnh AB, AC và
đường phân giác trong của góc A.

x y
+ = 1 ⇔ 2x + y − 4 = 0
2 4
x − xC
y − yC
x−4
Phương trình cạnh (AC) :
=
hay
= y−4
⇔ x + 2y − 2 = 0.
−1
xC − x A
yC − yA
2
Các đường phân giác của góc A

2x + y − 4
x + 2y − 2
(l ) : f1 (x, y) = x − y − 2 = 0
√
√
=±
⇔ 1
(l2 ) : f2 (x, y) = x + y − 2 = 0
5
5

Phương trình cạnh (AB) :

Ta có f1 (B) = −6, f1 (C) = 3 ⇒ f1 (B) · f1 (C) = −18 < 0 suy ra B, C nằm khác phía so với (l1 ) nên
đường thẳng (l1 ) : x − y − 2 = 0 là đường phân giác trong của góc A của △ABC.
9. Trục đẳng phương của hai đường tròn
Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn
(C1 ) : f1 (x, y) = x2 + y 2 − 2a1 x − 2b1 y + c1 = 0
(C2 ) : f2 (x, y) = x2 + y 2 − 2a2 x − 2b2 y + c2 = 0
Trục đẳng phương của hai đường tròn là đường thẳng
2(a1 − a2 )x + 2(b1 − b2 )y + (c1 − c2 ) = 0
4

10. Phương tích một điểm với đường tròn Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M (x0 ; y0 ) và đường tròn
(C) : f (x, y) = x2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0
Phương tích của điểm M đối với đường tròn (C) là
PM/(C) = M I 2 − R2
PM/(C) = f (x0 ; y0 ) = x20 + y02 − 2ax0 − 2by0 + c
Với I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

II. Một số kĩ thuật, phương pháp
1. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2; −3) và B(1; 4)
Lời giải:
−→
→
A(2; −3); B(1; 4) ⇒ AB = (−1; 7) là một vectơ chỉ phương của AB ⇒ Vectơ pháp tuyến −
n−
AB = (7; 1)
⇒ AB : 7(x − 1) + 1(y − 4) = 0 ⇔ 7x + y − 11 = 0
2. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng khác
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1; −2) và vuông góc với d : 2x + 3y − 4 = 0
Lời giải:
−
d có vectơ pháp tuyến →
nd = (2; 3) ∆⊥d ⇒ Vectơ pháp tuyến −
n→
∆ = (3; −2)
⇒ ∆ : 3(x − 1) − 2(y + 2) = 0 ⇔ 3x − 2y − 7 = 0
3. Viết phương trình đường thẳng đi một điểm và song song với đường thẳng khác
Viết phương trình đường thẳng ∆đi qua M (3; 4) và song song với đường thẳng d : x − 2y − 3 = 0
Lời giải:
−
d có vectơ pháp tuyến →
nd = (1; −2) ∆//d ⇒ Vectơ pháp tuyến −
n→
∆ = (1; −2)
⇒ ∆ : 1.(x − 3) − 2.(y − 4) = 0 ⇔ x − 2y + 5 = 0
4. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
Tìm tọa độ giao điểm của d : x − y + 2 = 0 và ∆ : 2x − y + 1 = 0
Lời giải:
Tọa độ giao điểm I của d và ∆ là nghiệm của hệ:
(
(
x−y+2−0
x=1
⇔
⇒ I(1; 3)
2x − y + 1 = 0
y=3
5. Tìm tọa độ hình chiếu của một điểm trên một đường thẳng
Tìm tọa độ hình chiếu của A(2; 4) trên ∆ : 2x − 3y − 5 = 0
Lời giải:
→
−
Vectơ pháp tuyến −
n→
∆ = (2; −3) Giả sử d là đường thẳng đi qua A có d⊥∆ ⇒ Vectơ pháp tuyến nd = (3; 2)
⇒ d : 3(x − 2) + 2(y − 4) = 0 ⇔ 3x + 2y − 14 = 0
Hình chiếu H của A trên ∆ là giao điểm của d; ∆ hay tọa độ của H là nghiệm hệ
(
(
2x − 3y − 5 = 0
x=4
⇔
⇔ H(4; 1)
3x + 2y − 14 = 0
y=1

5

6. Tọa độ điểm đối xứng với một điểm qua một đường thẳng
Ta sử dụng tiếp ví dụ 5.
Gọi điểm đối xứng đó là A' . Ta có A' là điểm đối xứng A qua ∆ nên H là trung điểm của AA'

(
'

4 = 2 + x A
xA ' = 6
2
⇒
⇔
⇔ A' (6; −2)
'
4
+
y
A

yA' = −2
1 =
2

II(*) Một số phương pháp đúc rút từ quá trình làm bài của mình
- Thông thường trong một bài toán tọa độ sẽ có những dấu hiệu ẩn trong hình ví dụ như vuông góc,
song song, trung điểm... Nếu ta tìm ra được dấu hiệu đó thì việc giải quyết bài toán trở nên rất đơn giản
-Khi đề cho đường phân giác thì ta nên nghĩ đến ngay đến tính chất đối xứng của một điểm qua nó

III. Bài tập
Bài 1: Cho ∆ABC có C(3; 4). Đường thẳng đi qua trung điểm AC; BC có phương trình 2x − 4y + 5 = 0.
Đường cao kẻ từ A có phương trình 3x − y = 0. Tìm tọa độ điểm A; B
Bài 2: Cho ∆ABC có đường cao AH, đường trung tuyến BM . Điềm A ∈ d : 2x + 3y − 5 = 0; BM đi
qua D(23; −2), biết H(0; −3). I(2; 1) là trung điểm AB và tọa độ điểm B là số nguyên. Tính SDAC
Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho ∆ABC có góc ABC tù. Điểm A
nằm trên đường thẳng
; −1
. Gọi M là trung điểm
∆ : x + 2y − 1 = 0. Chân đường cao kẻ từ A : C lần lượt là D(1; −1); E 13
5
5
AC. Biết M D = 2; M ; D nằm khác phía so với ∆. Tìm tọa độ các đỉnh ∆ABC
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật
ABCD có hình chiếu của B lên AC
.Viết phương trình đường thẳng CD.
là E(5; 0), trung điểm của đoạn AE và CD lần lượt là F (0; 2); I 32 ; −3
2
Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, đỉnh C(−4; 1), phân giác trong góc A
có phương trình x + y − 5 = 0. Viết phương trình BC biết diện tích tam giác ABC bằng 36 và đỉnh A có
hoành độ dương.

6