PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TIỀN HẢI

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2024 -2025
Môn: TOÁN 7
(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (4,5 điểm).
1) Thực hiện phép tính:
2) Rút gọn biểu thức:
3) Cho

. So sánh C với 1.

Bài 2 (4,0 điểm).
1) Cho
và
Tính giá trị biểu thức
2) Tìm các số nguyên x, y sao cho
3) Tìm số nguyên tố

.

(a > b > 0) sao cho

là số chính phương.

Bài 3 (3,5 điểm).
1) Nhà trường dự định chia một số quyển vở cho ba lớp 7A; 7B; 7C theo tỉ lệ 7; 6; 5.
Nhưng sau đó vì có học sinh chuyển giữa 3 lớp nên phải chia lại theo tỉ lệ 6; 5; 4. Như vậy
đã có lớp nhận được ít hơn dự định là 8 quyển vở. Tính số quyển vở mỗi lớp nhận được.
2) Tìm x biết:
Bài 4 (6,0 điểm).
Cho tam giác ABC vuông tại A có (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho
BN = BA. Kẻ BH vuông góc với AN tại H.
1) Chứng minh

và BH là tia phân giác của

2) Lấy điểm M thuộc tia CB sao cho CM = CA, tia phân giác của
Chứng minh tam giác AME cân và ME song song với BH.

.
cắt AN tại E.

3) Gọi I là giao điểm của CE và AM. Chứng minh
Bài 5 (2,0 điểm).
Cho 4 số tự nhiên a; b; c; d thỏa mãn a > b > c > d.
Chứng minh:

chia hết cho 12.
…………Hết…………

Họ và tên thí sinh:…………………………….

Phòng thi:…………

Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Chữ kí cán bộ coi thi số 1:………………
Chữ kí cán bộ coi thi số 2:………………
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM
TIỀN HẢI
KỲ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2024 -2025
Môn: TOÁN 7
(Gồm 05 trang)
I. Hướng dẫn chung
1. Hướng dẫn chấm chỉ trình bày các bước cơ bản của 1 cách giải. Nếu thí sinh làm
theo cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.
2. Bài làm của thí sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó theo đúng biểu điểm.
3. Bài hình học, thí sinh vẽ hình đúng ý nào thì chấm điểm ý đó, thí sinh vẽ sai hình
hoặc không vẽ hình thì cho 0 điểm bài hình đó.
4. Bài có nhiều ý liên quan tới nhau, nếu thí sinh mà công nhận ý trên (hoặc làm ý trên không
đúng) để làm ý dưới mà thí sinh làm đúng thì cho 0 điểm điểm ý đó.
5. Điểm của bài thi là tổng điểm các Bài làm đúng và tuyệt đối không làm tròn.
II. Đáp án và thang điểm
Ý

NỘI DUNG

BIỂU
ĐIỂM

Bài 1 (4,5 điểm).
1) Thực hiện phép tính:
2) Rút gọn biểu thức:
3) Cho

. So sánh C với 1.
0,75

1)
1,5đ
0,75
2)
1,5đ

0,5

0,5

0,5
3)
1,5đ

1,0
Ta có

0,5
Vì

suy ra C < 1.

Bài 2 (4,0 điểm).
1) Cho
và
Tính giá trị biểu thức
2) Tìm các số nguyên x, y sao cho
3) Tìm số nguyên tố
Vì
1)
1,5đ

.

(a > b > 0) sao cho

là số chính phương.

suy ra x = 2

0,25
Suy ra
Chỉ ra được y = 31; z = 7
Thay x = 2; y = 31; z = 7 tính đúng được M = 2025
Ta có

2)
1,5đ

3)
1,0đ

0,25

Suy ra
Do x; y là số nguyên x + 1 và y – 1 là các số nguyên nên x + 1 và
y – 1 là các ước của 3.
x+1
1
3
-1
-3
y-1
3
1
-3
-1
x
0
2
-2
-4
y
4
2
-2
0
tm
tm
tm
tm
Vậy các cặp số (x;y) thỏa mãn là (0;4); (2;2); (-2;-2); (-4;0).
Ta có
Do
là số chính phương và 9 là số chính phương nên
a – b là số chính phương.
Vì a > b > 0 suy ra

nên a – b = 1 hoặc a – b = 4.

0,5
0,5
0,5

0,75

0,25
0,5

Với

suy ra

Với

suy ra

Vậy các số nguyên tố

0,5

thỏa mãn yêu cầu đề bài là 43 và 73.

Bài 3 (3,5 điểm).
1) Nhà trường dự định chia một số quyển vở cho ba lớp 7A; 7B; 7C theo tỉ lệ 7; 6; 5.
Nhưng sau đó vì có học sinh chuyển giữa 3 lớp nên phải chia lại theo tỉ lệ 6; 5; 4. Như vậy đã
có lớp nhận được ít hơn dự định là 8 quyển vở. Tính số quyển vở mỗi lớp nhận được.
2) Tìm x biết:

1)
2,0đ

Gọi tổng số quyển vở 3 lớp nhận được là m
Gọi số quyển vở dự định chia cho lớp 7A; 7B; 7C lần lượt là a; b; c

Theo bài ra ta có

0,25

và

Suy ra

0,25

Suy ra
(1)
Gọi số quyển vở thực tế chia lại cho lớp 7A; 7B; 7C lần lượt là
x; y; z
Theo bài ra ta có

và

0,5

Suy ra
Suy ra
(2)
So sánh (1) và (2) ta có a < x; b = y; c > z
Nên lớp 7C đã nhận ít hơn dự định là 8 quyển vở
Suy ra

0,5
do đó

Suy ra m = 720 (tm)
Tính đúng được số quyển vở nhận được của lớp 7A là 288, lớp 7B

0,5

là 240 và lớp 7C là 192.
Ta có

0,5

Nên

suy ra
0,5

2)
1,5đ

Ta có:

0,5

Suy ra
Hoặc
Tính đúng và kết luận x = 2 hoặc x = -1
Bài 4 (6,0 điểm).

Cho tam giác ABC vuông tại A có (AB < AC). Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho
BN = BA. Kẻ BH vuông góc với AN tại H.
1) Chứng minh

và BH là tia phân giác của

.

2) Lấy điểm M thuộc tia CB sao cho CM = CA, tia phân giác của
Chứng minh tam giác AME cân và ME song song với BH.

cắt AN tại E.

3) Gọi I là giao điểm của CE và AM. Chứng minh
B

M

N
E
H
A

a)
2,5đ

C

Chỉ ra được
Từ

(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
suy ra

1,5
1,0

Vậy BH là tia phân giác của
b)
2,5đ

Chỉ ra được
Từ đó suy ra AE = ME suy ra tam giác AEM cân tại E.

1,25

Từ

suy ra

0,25

(1)

0,5

Ta có
Vì tam giác BHN vuông tại H suy ra
Vì

suy ra

nên

Từ (1) và (2) suy ra

(2)
0,5

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

nên BH song song với ME.
B

A

M

N

I

I

H

K

E
H

A

C

Chỉ ra

M

suy ra được I là trung điểm của AM

N

0,25

Vì
suy ra được H là trung điểm của AN
Trên tia đối của HI lấy điểm K sao cho HI = HK.
c)
1,0đ

Chỉ được tam giác
suy ra được AI = NK = MI và AI song song NK.
0,5

Chứng minh được tam giác
Suy ra MN = IK mà

nên

Bài 5 (2,0 điểm).
Cho 4 số tự nhiên a; b; c; d thỏa mãn a > b > c > d.
Chứng minh:
chia hết cho 12.
2,0
* Với 4 số tự nhiên a; b; c; d thỏa mãn a > b > c > d tồn tại hai số chia
cho 3 có cùng số dư. Suy ra hiệu của hai số đó chia hết cho 3. Do đó
(1)
* Với 4 số tự nhiên a; b; c; d thỏa mãn a > b > c > d
+ Nếu có hai trong 4 số a; b; c; d có cùng số dư thì hiệu hai số chia hết
cho 4.
Do đó
+ Nếu 4 số a; b; c; d khi chia cho 4 có số dư là 0; 1; 2; 3 suy ra trong 4
số a; b; c; d có hai số chẵn và hai số lẻ. Giả sử a; b chẵn thì

0,75
0,75

và c; d lẻ thì

. Do đó

(2)

Vì (3; 4) = 1 nên từ (1) và ( 2) suy ra

0,5