BÀI 1. GÓC LƯỢNG GIÁC
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG)
Dạng 1. Đơn vị đo góc
Câu 1.

Cho

. Xác định số đo của các góc lượng giác được biểu diễn trong Hình 6 và viết

công thức tổng quát của số đo góc lượng giác

.

Hình 6
Lời giải

Câu 2.

Câu 3.

Số đo của góc lượng giác

trong Hình 6a là

Số đo của góc lượng giác

trong Hình 6b là

Số đo của góc lượng giác

trong Hình 6c là

Công thức tổng quát của số đo góc lượng giác
là:
Trong các khoảng thời gian từ 0 giờ đến 2 giờ 15 phút, kim phút quét một góc lượng giác là
bao nhiêu độ?
Lời giải
Kim phút quét một góc là:
Trong Hình 8, chiếc quạt có ba cánh được phân bố đều nhau. Viết công thức tổng quát số đo
của góc lượng giác

và

.

Hình 8
Lời giải

Câu 4.

Hoàn thành bảng chuyển đổi đơn vị đo của các góc sau đây:

Lời giải

Số đo
theo độ
Số đo
theo rad

Câu 5.

Hoàn thành bảng sau:

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 1

Số đo độ
Số đo rađian

Lời giải

Số đo độ
Số đo rađian

Câu 6.

Câu 7.

a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau:

;

b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau:

.
Lời giải

Đổi số đo cung tròn sang số đo độ:
a)

b)

d)

e)

a)

Câu 8.

Câu 9.

.

c)
f)
Lời giải
b)

.

d)
.
e)
Đổi số đo cung tròn sang số đo radian:
a)
b)

;

b)

;

c)
Lời giải

c)

;

b)

;

Dạng 2. Độ dài cung tròn
Câu 11. Một đường tròn có bán kính
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

c)

d)

c)

d)

.
Lời giải

a)
b)
Câu 10. Đổi số đo của các góc sau đây sang độ:
a)

.
f)

a)
b)
Đổi số đo của các góc sau đây sang radian:
a)

c)

c)

.
Lời giải

. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:
Trang 2

a)

;

b) 1,5 ;

c)
Lời giải

a) Độ dài cung đường tròn: 

;

d)

.

(cm)

b) Độ dài cung đường tròn: 

(cm)

c) Đổi 

Độ dài cung đường tròn: 

(cm)

d) Đổi 

Độ dài cung đường tròn: 
Câu 12. Một đường tròn có bán kính
a)

(cm)
. Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là

b)

c)
Lời giải

Theo công thức tính độ dài cung tròn ta có

nên

a) Ta có
b) Ta có
c) Ta có
Câu 13. Bánh xe máy có đường kính kể cả lốp xe
cm. Nếu xe chạy với vận tốc
một giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng?
Lời giải
Ta có

km/h

km/h thì trong

cm/s.

1 vòng bánh xe có chiều dài là

cm.

Số vòng bánh xe quay được trong 1 giây là

.

Câu 14. Một máy kéo nông nghiệp với bánh xe sau có đường kính là
, bánh xe trước có đường
kính là
, xe chuyển động với vận tốc không đổi trên một đoạn đường thẳng. Biết rằng vận
tốc của bánh xe sau trong chuyển động này là 80 vòng/phút.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 3

a) Tính quãng đường đi được của máy kéo trong 10 phút.
b) Tính vận tốc của máy kéo (theo đơn vị km/giờ).
c) Tính vận tốc của bánh xe trước (theo đơn vị vòng/phút).
Lời giải
a) Bán kính của bánh xe sau: 
Góc
mà
bánh
xe

cm
quay

sau

được

trong

10

phút

là: 
Quãng đường đi được của máy kéo sau 10 phút là: 
b) Đổi 10 phút =   giờ
Vận tốc của máy kéo là: 

(km/h)

c)Góc mà bánh trước quay được trong 10 phút là: 
Số vòng lăn được của bánh xe trước là:
(vòng)
Vận tốc bánh trước là:
(vòng/phút)
Câu 15. Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây.
a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây.
b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của
bánh xe đạp là
.
Lời giải
a) 1 giây bánh xe quay được số vòng là:

(vòng)

Góc mà bánh xe quay được trong 1 giây:
b) Ta có: 1 phút = 60 giây.
Trong 1 phút bánh xe quay được

vòng.

Chu vi của bánh xe đạp là:
.
Quãng đường mà người đi xe đạp đã đi được trong một phút là
Câu 16. Hải lí là một đơn vị chiều dài hàng hải, được tính bằng độ dài một cung chắn một góc
của đường kinh tuyến (Hình 17). Đổi số đo
sang radian và cho biết 1 hải lí bằng
khoảng bao nhiêu kilômét, biết bán kính trung bình của Trái
Đất là
. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 4

Hình 17

Lời giải

1 hải lí
Dạng 3. Mối liên hệ giữa góc hình học và góc lượng giác
Câu 17. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các góc lượng giác có số đo là:
a)
b)

Lời giải

a) Ta có
điểm

. Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo

là

trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ IV sao cho

b) Ta có

. Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo

là điểm

trên

phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ II sao cho

Câu 18. Xác định các điểm
có số đo bằng

và
và

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác
.

Lời giải

Trang 5

Câu 19. Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm
a)

;

b)

;

biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau:
c)
Lời giải

;

d)

.

a) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng 
định trong hình sau:

được xác

b) Ta có: 

Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng 
định trong hình sau:

được xác

c) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng
được xác định trong hình sau:

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 6

d) Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng
định trong hình sau:

được xác

Câu 20. Cho góc lượng giác
có số đo . Hỏi trong các góc
,
,
,
,
những góc nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho.
Lời giải

,

Nhận thấy số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho khi ta quay
góc đó chẵn 1 vòng mà 1 vòng có số đo là

những số đo thỏa ycbt là

Câu 21. Hãy tìm số đo
của góc lượng giác
cùng tia đầu và tia cuối với góc đó có số đo là:
a)

b)

với

c)
Lời giải

,

,

.

, biết một góc lượng giác có

d)

a)
b)
c)
d)
Dựa vào phân tích trên, góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc đó có số đo thỏa mãn
ycbt là
a)

b)

c)

d)

Câu 22. Hãy tìm số đo
của góc lượng giác
cùng tia đầu và tia cuối với nó có số đo:
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

biết một góc lượng giác có

Trang 7

a)

b)

c)
Lời giải

d)

a)
b)
c)
d)
Dựa vào phân tích trên, góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc đó có số đo thỏa mãn
ycbt là
a)

b)

c)

d)

Câu 23. Cho góc lượng giác có số đo bằng
.
a) Xác định điểm
trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho.
b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho.
Lời giải

a)
b) Ta có: 

Câu 24. Biểu diễn các góc lượng giác sau trên đường tròn lượng giác:
a)
b)
c)

;
;
.

a) Ta có

Lời giải
. Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo

là điểm

trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ I sao cho

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 8

b) Ta có

. Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo

là điểm N trên

phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ III sao cho

c) Ta có

. Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác có số đo

là điểm

trên phần đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ IV sao cho

Câu 25. Góc lượng giác
sau đây?

có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác với góc lượng giác nào

Lời giải

Ta có:

Vậy góc lượng giác

có cùng điểm biểu diễn với góc lượng giác

Câu 26. Viết công thức số đo tổng quát của các góc lượng giác
Hình 14
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

và

và
trong
Trang 9

Hình 14

Lời giải

Câu 27. Trong Hình 15, mâm bánh xe ô tô được chia thành năm phần bằng nhau. Viết công thức số đo
tổng quát của góc lượng giác

Hình 15

.

Lời giải

Câu 28. Trên đường tròn lượng giác, hãy biểu diễn các góc lượng giác có số đo có dạng là:
a)
b)

;
.

a) Góc lượng giác có số đo có dạng
lượng giác.
b) Góc lượng giác có số đo có dạng
lượng giác.
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Lời giải

được biểu diễn bằng điểm A trên đường tròn

được biểu diễn bằng điểm

trên đường tròn
Trang 10

Câu 29. Vị trí các điểm
trên cánh quạt động cơ máy bay trong Hình 16 có thể được biểu diễn
cho các góc lượng giác nào sau đây?

Hình 16

Lời giải

Điểm B, C, D biểu diễn cho góc lượng giác

Câu 1.

PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (PHÂN MỨC ĐỘ)
1. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh trung bình – khá
Số đo theo đơn vị rađian của góc
là
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn B

Ta có
Câu 2.

(rađian).

Cung tròn có số đo là
A. .

. Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn D

Câu 3.

Ta có:
Cung tròn có số đo là
A.
.

.
. Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải

Chọn D
Ta có:
Câu 4.

Góc
A.

.
bằng (với
.

)
B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn D
Ta có

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 11

Câu 5.

Góc có số đo

đổi sang độ là:

A.

B.

C.
Lời giải

D.

Chọn B
Ta có:
Câu 6.

Góc có số đo
A.

đổi ra rađian là:

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn A
Ta có:
Câu 7.

Góc có số đo

đổi sang độ là:

A.

B.

C.
Lời giải

D.

Chọn D
Ta có:
Câu 8.

Cho
A.

. Tìm
.

để
B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn B
+ Để
Câu 9.

thì

Một bánh xe có
A.

răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển

.

B.

.

C.
Lời giải

.

răng là:

D.

.

.

D.

.

.

D.

Chọn D
+ 1 bánh răng tương ứng với

bánh răng là

Câu 10. Đổi số đo góc

sang rađian.

A.

B.

.

.

C.
Lời giải

.

Chọn A
.
Câu 11. Số đo góc
A.

.

đổi sang rađian là:
B.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

.

C.

.
Trang 12

Lời giải
Chọn B
B

.
Câu 12. Một cung tròn có số đo là
đây.
A.

. Hãy chọn số đo radian của cung tròn đó trong các cung tròn sau

B.

C.
Lời giải

D.

C.
Lời giải

D.

C. .
Lời giải

D.

Chọn C
Ta có:

.

Câu 13. Góc có số đo

đổi sang độ là:

A.

B.

Chọn B
Ta có:
Câu 14. Góc có số đo
A.

đổi sang rađian là:

.

B.

.

.

Chọn A
Ta có:
.
Câu 15. Trên đường tròn với điểm gốc là
có số đo

. Gọi

A.
C.

. Điểm

thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác

là điểm đối xứng với điểm

hoặc

.

.

B.
D.

qua trục

, số đo cung

là

.
.
Lời giải

Chọn C

Ta có:

,

nên

. Khi đó số đo cung

Câu 16. Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng):
cung nào có điểm cuối trùng nhau:
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

bằng

.
, Các

Trang 13

A.

và

;

và

.

B.

.

C.

.

D.

và

;

và

.

Lời giải
Chọn A
C1: Ta có:

cung
hai cung

và

và

có điểm cuối trùng nhau.

có điểm cuối trùng nhau.

C2: Gọi là điểm cuối của các cung
Biểu diễn các cung trên đường tròn lượng giác ta có
Câu 17. Cho

,

,

,

.

lần lượt là điểm chính giữa các cung

đầu trùng với
và số đo
A. hoặc .
B.

hoặc

,

. Mút cuối của
ở đâu?
.
C.
hoặc .
Lời giải

,

,

D.

. Cung

hoặc

có mút

.

Chọn A
Nhìn vào đường tròn lượng giác để đánh giá.
Câu 18. Biết một số đo của góc

. Giá trị tổng quát của góc

A.

.

C.

.D.

B.

là:

.

.
Lời giải

Chọn D

Câu 19. Cung nào sau đây có mút trung với B hoặc B'?
A.

.

C.

.

B.

.

D.

.
Lời giải

Chọn B
Nhìn vào đường tròn lượng giác để đánh giá.
Câu 20. Cung
có mút đầu là
và mút cuối là
thì số đo của
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

là:
.

D.

.

Chọn B
Ta có

là phân giác góc

góc lượng giác
hoặc
Câu 21. Trên hình vẽ hai điểm
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

(theo chiều âm).
(theo chiều dương).
biểu diễn các cung có số đo là:
Trang 14

A.
Lời giải
Chọn C

.

B.

.

C.

.

Câu 22. Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M xác định bởi sđ
xứng của M qua trục

D.

.

. Gọi

là điểm đối

. Tìm số đo của cung lượng giác

A. sđ

B. sđ

C. sđ

D. sđ
Lời giải

Chọn C
y
M

K
π
3

O
-

-K

Vì

π

A

H

x

3

M1

là điểm đối xứng của M qua trục
sđ

nên có 1 góc lượng giác

.

Câu 23. Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

?
.

D.

.

Chọn A
Ta có

.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 15

Góc lượng giác có cùng điểm cuối với góc
Câu 24. Có bao nhiêu điểm
A. .

là

.

trên đường tròn định hướng gốc
B. .
C. .
Lời giải

thỏa mãn

,
D.

.

.

Chọn C
Có 3 điểm

trên đường tròn định hướng gốc

các giá trị là số dư của phép chia
Câu 25. Cung tròn bán kính bằng
A.
.
B.

thỏa mãn

,

, ứng với

cho 3.
có số đo
.

có độ dài là
C.
.
Lời giải

D.

.

Chọn A
Độ dài cung tròn là
Câu 26. Trên đường tròn bán kính
A.

.

, độ dài của cung có số đo

B.

là:

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn C
.
Câu 27. Trên đường tròn bán kính
A.

.

, độ dài của cung đo

B.

.
Lời giải

C.

Độ dài cung AB có số đo cung AB bằng n độ:
Câu 28. Một đường tròn có bán kính
A.
.
B.

.

. Độ dài cung
C.
Lời giải

là:
.
Chọn C

D. kết quả khác.

.
trên đường tròn gần bằng
.
D.
.

Chọn C
Đổi đơn vị
 độ dài cung
.
2. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh khá-giỏi
Câu 29. Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài
và kim phút dài
.Trong 30 phút mũi
kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn B
6 giờ thì kim giờ vạch lên 1 cung có số đo nên 30 phút kim giờ vạch lên 1 cung có số đo là
, suy ra độ dài cung tròn mà nó vạch lên là

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 16

Câu 30. Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài quãng đường xe gắn
máy đã đi được trong vòng 3 phút,biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng
(lấy
)
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Lời giải
Chọn D
3 phút xe đi được

vòng. Độ dài 1 vòng bằng chu vi bánh xe là
.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Vậy

quãng

đường

xe

đi

được

là

Trang 17