TRỌN BỘ TÀI LIỆU TOÁN 11 – SGK MỚI CÓ GIẢI CHI TIẾT LIÊN HỆ ZALO O937-351-107

TRỌN BỘ TÀI LIỆU TOÁN 11 – SGK MỚI CÓ GIẢI CHI TIẾT LIÊN HỆ ZALO O937-351-107
•

BÀI 3. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
1. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Với mỗi số thực x , ta xác định được duy nhất một điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho số
đo của góc lượng giác (OA, OM ) bằng x . Do đó, ta luôn xác định được các giá trị lượng giác sin x
và cos x của x lần lượt là tung độ và hoành độ của điểm M . Nếu cos x  0 , ta định nghĩa
cos x
sin x
và nếu sin x  0 , ta định nghĩa cot x =
.
tan x =
cos x
sin x

Từ đây, ta có định nghĩa sau về các hàm số lượng giác.
- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sin x được gọi là hàm số sin , kí hiệu là y = sin x
.
Tập xác định của hàm số sin là .
- Quy tắc đặt tương ứng mối số thực x với số thực cos x được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là
y = cos x .
Tập xác định của hàm số côsin là .
sin x
- Hàm số cho bằng công thức y =
được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y = tan x . Tập xác định
cos x


của hàm số tang là \  + k k   .
2

cos x
- Hàm số cho bằng công thức y =
được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y = cot x . Tập xác
sin x
định của hàm số côtang là \{k k  } .
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số y =
Giải

1
.
cos x

1

có nghĩa khi cos x  0 , tức là x  + k (k  ) .
cos x
2


Vậy tập xác định của hàm số đã cho là \  + k k   .
2


Biểu thức

2. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN
a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Cho hàm số y = f ( x) có tập xác định là D .
- Hàm số f ( x) được gọi là hàm số chẵn nếu x  D thì − x  D và f (− x) = f ( x) .
Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.
- Hàm số f ( x) được gọi là hàm số lẻ nếu x  D thì − x  D và f (− x) = − f ( x) .
Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.
Nhận xét. Để vẽ đồ thị của một hàm số chẵn (tương ứng, lẻ), ta chỉ cần vẽ phần đồ thị của hàm số
với những x dương, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị đã vẽ qua trục tung (tương ứng, qua gốc toạ
độ), ta sẽ được đồ thị của hàm số đã cho.
Ví dụ 2. Xét tính chẵn, lẻ của hàm số f ( x) = x sin x .
Giải
Tập xác định của hàm số là D = .
Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì − x cũng thuộc tập xác định D .
Ta có: f (− x) = (− x)sin(− x) = x sin x = f ( x), x  D .
Vậy f ( x) = x sin x là hàm số chẵn.
b) Hàm số tuần hoàn
Hàm số y = f ( x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T  0 sao cho với
mọi x  D ta có:
i) x + T  D và x − T  D ;
ii) f ( x + T ) = f ( x) .
Số T dương nhỏ nhất thoả mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn
đó.
Hàm số hằng f ( x) = c (c là hằng số) có tập xác định D = .
Với T là số dương bất kì và với mọi x  D , ta luôn có:
- x + T  D và x − T  D ;
- f ( x + T ) = c = f ( x) vì f ( x) là hàm số hằng nên với mọi x thì giá trị của hàm số đều có giá trị
bằng c).
Vậy hàm số hằng f ( x) = c (c là hằng số) là hàm số tuần hoàn với chu kì là một số dương bất kì.
Nhận xét
a) Các hàm số y = sin x và y = cos x tuần hoàn với chu kì 2 . Các hàm số y = tan x và y = cot x
tuần hoàn với chu kì  .
b) Để vẽ đồ thị của một hàm số tuần hoàn với chu kì T , ta chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên
đoạn [a; a + T ] , sau đó dịch chuyển song song với trục hoành phần đồ thị đã vẽ sang phải và sang
trái các đoạn có độ dài lần lượt là T , 2T ,3T , ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.
Ví dụ 3. Xét tính tuần hoàn của hàm số y = sin 2 x .
Giải
Hàm số có tập xác định là
và với mọi số thực x , ta có:
x−π , x+π
sin 2( x + π ) = sin(2 x + 2π ) = sin 2 x
Vậy y = sin 2 x là hàm số tuần hoàn.
Chú ý. Tổng quát, người ta chứng minh được các hàm số y = A sin  x và y = A cos  x (  0) là
2
những hàm số tuần hoàn với chu kì T =
.

3. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ y = sin x
Hàm số y = sin x :
- Có tập xác định là
và tập giá trị là [−1;1] ;
- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì 2 ;


 

- Đồng biến trên mỗi khoảng  − + k 2 ; + k 2  và nghịch biến trên mỗi khoảng
2
 2

3


+ k 2  , k 
 + k 2 ;
2
2

- Có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ và gọi là một đường hình sin.

  3 
Ví dụ 4. Sử dụng đồ thị ở Hình HĐ3, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn  − ;  để hàm
 2 2 
số y = sin x :
a) Nhận giá trị bằng 0 ;
b) Nhận giá trị dương.
Giải
  3 
a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn  − ;  , y = 0 khi x = 0; x =  .
 2 2 
b) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn
  3 
 − 2 ; 2  , thì y  0 khi x  (0;  ) .
4. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ y = cos x
Hàm số y = cos x :
- Có tập xác định là
và tập giá trị là [−1;1] ;
- Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2 ;
- Đồng biến trên mỗi khoảng (− + k 2 ; k 2 ) và nghịch biến trên mỗi khoảng
(k 2 ;  + k 2 ), k  ;
- Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

 3  
Ví dụ 5. Sử dụng đồ thị ở Hình HĐ5, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn  − ;  để hàm
 2 2
số y = cos x : hàm số y = cos x :
a) Nhận giá trị bằng 0 ;
b) Nhận giá trị âm.
Giải
3


 3  
a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn  − ;  , y = 0 khi x = − , x = − , x = .
2
2
2
 2 2
b) Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn
 3  
 3  
 − 2 ; 2  , thì y  0 khi x   − 2 ; − 2  .
5.ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ y = tan x

Hàm số y = tan x :



\  + k k   và tập giá trị là ;
2

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì  ;

 

- Đồng biến trên mỗi khoảng  − + k ; + k  , k  ;
2
 2

- Có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ.
- Có tập xác định là

3 

Ví dụ 6. Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình HĐ6, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn  − ;  để
2 

hàm số y = tan x : để hàm số y = tan x :
a) Nhận giá trị bằng 0 ;
b) Nhận giá trị dương.
Giải
3 

a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn  − ;  , y = 0 khi x = − ; x = 0; x =  .
2 

b) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn
      3 
3 


 − ; 2  thì y  0 khi x   − ; − 2    0; 2     ; 2  .
6. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ y = cot x

Hàm số y = cot x :

- Có tập xác định là

\{k k  } và tập giá trị là

;

- Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì  ;
- Nghịch biến trên mỗi khoảng (k ;  + k ), k  ;
- Có đồ thị đối xứng qua gốc toạ độ.

 

Ví dụ 7. Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình HĐ7, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn  − ; 2  để
 2

hàm số y = cot x :
a) Nhận giá trị bằng 0 ;
b) Nhận giá trị âm.
Giải



3
 

a) Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn  − ; 2  y = 0 khi x = − ; x = ; x =
.
2
2
2
 2

b) Hàm số nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Từ đồ thị ta suy ra trên đoạn
 
       3


 − 2 ; 2  thì y  0 khi x   − 2 ;0    2 ;     2 ; 2  .
PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG)
DẠNG 1. TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. Với hàm số f ( x ) cho bởi biểu thức đại số thì ta có:
1. f ( x ) =

f1 ( x )

f2 ( x )

, điều kiện: * f1 ( x ) có nghĩa

* f 2 ( x ) có nghĩa và f 2 ( x )  0 .
2. f ( x ) = 2 m f1 ( x ) , ( m 
3. f ( x ) =

f1 ( x )
2m

f2 ( x )

) , điều kiện: f1 ( x ) có nghĩa và f1 ( x )  0 .

,(m 

) , điều kiện:

f1 ( x ) , f 2 ( x ) có nghĩa và f 2 ( x )  0 .

B. Hàm số y = sin x; y = cos x xác định trên

, như vậy

y = sin u ( x )  ; y = cos u ( x )  xác định khi và chỉ khi u ( x ) xác định.

* y = tan u ( x )  có nghĩa khi và chỉ khi u ( x ) xác định và u ( x ) 


2

+ k ; k  .

* y = cot u ( x )  có nghĩa khi và chỉ khi u ( x ) xác định và u ( x )  + k ; k  .
Chú ý
Ở phần này chúng ta chỉ cần nhớ kĩ điều kiện xác định của các hàm số cơ bản như sau:
1. Hàm số y = sin x và y = cos x xác định trên

.

2. Hàm số y = tan x xác định trên



\  + k k   .
2


3. Hàm số y = cot x xác định trên

\ k  k 

.

C. Dạng chứa tham số trong bài toán liên quan đến tập xác định của hàm sô lượng giác.
Với S  D f (là tập xác định của hàm số f ( x ) ) thì
 f ( x )  m, x  S  max f ( x )  m .  f ( x )  m, x  S  min f ( x )  m .
S

S

 x0  S , f ( x0 )  m  min f ( x )  m  x0  S , f ( x0 )  m  max f ( x )  m .
S

Câu 1.
Câu 2.

1
.
sin x
(SGK- KNTT 11-Tập 1) Tìm tập xác định của các hàm số sau:

(SGK- KNTT 11-Tập 1) Tìm tập xác định của hàm số y =

S

1 − cos x
sin x
1 + cos x
b) y =
.
2 − cos x
Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y =

Câu 3.





 b) y = cot  −2 x − 
6
3


2
c) y =
d) y = 2cos x 2 − 3 x + 2
sin 2 x
a) y = tan  2 x +

Câu 4.

Tìm tập xác định các hàm số sau:
3x
1 − 2x2
a) y =
b) y = cos
c) y = 2 − 2sin x d) y = sin x − 1
1 − cos 2 x
x2 −1


2
1 − cosx



. f) y = tan  x +  g) y = cot  − 2 x  −
.
1 + cosx
4
4

 1 − cosx
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
1


a) y =
b) y = tan  3x −  ;
1 − sin 4 x
4

sin x
tanx + cotx
c) y =
d) y =
.
cot 2 x − 1
3 sin x + cos x
Tìm m để hàm số sau xác định trên ℝ.
2
a) y = 2m − 3cos x . b) y =
sin 2 x − 2 sin x + m − 1
e) y =

Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = 5 − m sin x − (m + 1) cos x xác định trên
.
DẠNG 2. TÍNH TUẦN HOÀN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Định nghĩa: Hàm số y = f ( x) xác định trên tập D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu có số T  0
sao cho với mọi x  D ta có
x  T  D và f ( x + T ) = f ( x) .
Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm số đó được gọi là hàm số tuần
hoàn với chu kì T .
2
*y = sin(ax + b) có chu kỳ T0 =
a
*y = cos(ax + b) có chu kỳ T0 =

2
a


a

*y = cot(ax + b) có chu kỳ T0 =
a
• y = f1(x) có chu kỳ T1 ; y = f2(x) có chu kỳ T2
Thì hàm số y = f1 ( x)  f 2 ( x) có chu kỳ T0 là bội chung nhỏ nhất của T1 và T2.
(SGK- KNTT 11-Tập 1) Xét tính tuần hoàn của hàm số y = tan 2 x .
(SGK- KNTT 11-Tập 1) Giả sử khi một cơn sóng biển đị qua một cái cọc ở ngoài khơi, chiều cao
 
của nước được mô hình hoá bởi hàm số h(t ) = 90 cos  t  , trong đó h(t ) là độ cao tính bằng
*y = tan(ax + b) có chu kỳ T0 =

Câu 8.
Câu 9.

 10 
centimét trên mực nước biển trung bình tại thời điểm t giây.
a) Tìm chu kì của sóng.

b) Tìm chiều cao của sóng, tức là khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đáy và đỉnh của sóng.
Câu 10. Tìm chu kì tuần hoàn các hàm số sau
a) y = 1 − sin 5 x b) y = 2cos2 2 x
c) y = tan ( −3x + 1) d) y = 2 − 3cot(2 x − 1)

Câu 11. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kì (nếu có) của các hàm số sau:
a) y = 1 − sin 5 x. b) y = cos 2 x − 1 .
2 
2 
c) y = sin  x  .cos  x  . d) y = cos x + cos 3.x
5 
5 
Câu 12. Tìm chu kỳ của hàm số y = sin 3x + 3cos 2 x .
Câu 13. Chứng minh rằng hàm số T thỏa mãn sin(x + T ) = sinx với mọi x  phải có dạng T = k 2 , k
là một số nguyên nào đó. Từ đó suy ra, số T nhỏ nhất thỏa mãn sin(x + T ) = sinx với mọi x 
là 2 .
Câu 14. Chứng minh các hàm số sau đây là hàm số tuàn hoàn, tìm chu kì và xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm
số.
a) y = sin 2 2 x + 1

(

)

b) y = cos2 x − sin 2 x
c) y = cos2 x + sin 2 x
Câu 15. Chứng minh rằng hàm số sau là hàm số tuần hoàn và tìm chu kì của nó: y =

1
.
sin x

DẠNG 3. TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Bước 1: Tìm tập xác định D của hàm số, khi đó
 Nếu D là tập đối xứng (tức x  D  − x  D ), thì ta thực hiện tiếp bước 2.
 Nếu D không phải tập đối xứng(tức là x  D mà − x  D ) thì ta kết luận hàm số không chẵn
không lẻ.
Bước 2: Xác định f ( − x ) :
 Nếu f ( − x ) = f ( x ) , x  D thì kết luận hàm số là hàm số chẵn.
 Nếu f ( − x ) = − f ( x ) , x  D thì kết luận hàm số là hàm số lẻ.
 Nếu không thỏa mãn một trong hai điều kiện trên thì kết luận hàm số không chẵn không lẻ.
Các kiến thức đã học về hàm lượng giác cơ bản:
1, Hàm số y = sin x là hàm số lẻ trên D = .
2, Hàm số y = cos x là hàm số chẵn trên D = .


3, Hàm số y = tan x là hàm số lẻ trên D = \  + k | k   .
2

4, Hàm số y = cot x là hàm số lẻ trên D = \ k | k   .

Câu 16. (SGK- KNTT 11-Tập 1) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số g ( x ) =
Câu 17. (SGK- KNTT 11-Tập 1) Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) y = sin 2 x + tan 2 x ;
b) y = cos x + sin 2 x ;
c) y = sin x cos 2 x ;
d) y = sin x + cos x .
Câu 18. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a) y = 2cos3x b) y = x + sinx
c) y = x.cot x + cos x d) y = x2 + tan | x |
Câu 19. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau
a) y = 2 x sin x. b) y = cos x + sin 2 x.

1
.
x

cos 2 x
. d) y = tan 7 2 x.sin 5 x.
x
Câu 20. Các hàm số sau chẵn hay lẻ, vì sao?
tan x − sin x
a) y = x sin x b) y =
2 + cos x + cot 2 x
cos x + x 2 − 1
sin 4 x + 1
y
=
c) y =
d)
sin 4 x
2 + cos 6 x
Câu 21. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau

c) y =

9 

a) y = f ( x ) = tan x + cot x b) y = f ( x ) = sin  2 x +

2 

sin 2020 n x + 2020
,n
c) f ( x ) =
cos x
Câu 22. Xác định tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = f ( x ) = 3m sin 4 x + cos 2 x là hàm chẵn.

DẠNG 4. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1.Hàm số y = sin x :
 


* Đồng biến trên các khoảng  − + k 2; + k 2  , k  .
2
 2




* Nghịch biến trên các khoảng  + k 2;
+ k 2  , k  .
2
2


2.Hàm số y = cos x :
* Đồng biến trên các khoảng ( − + k 2; k 2 ) , k  .
* Nghịch biến trên các khoảng ( k 2;  + k 2 ) , k  .
 


3.Hàm số y = tan x đồng biến trên các khoảng  − + k ; + k   , k  .
2
 2

4.Hàm số y = cot x nghịch biến trên các khoảng ( k ;  + k  ) , k  .

Câu 23. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Hàm số y = sin x đồng biến hay nghịch biến trên biến trên khoảng
 7 5 
;−
−
.
2 
 2
Câu 24. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Hàm số y = cos x đồng biến hay nghịch biến trên khoảng (−2 ; − )
?
Câu 25. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Xét sự biến thiên của mỗi hàm số sau trên các khoảng tương ứng:
 9 7   21 23 
a) y = sin x trên khoảng  −
;−
;
,
;
2   2
2 
 2
b) y = cos x trên khoảng (−20 ; −19 ),(−9 ; −8 ) .
Câu 26. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số sau

  
  3 
;  b) y = cos x trên  ;

 4 3
3 2 




 3

  
c) y = cot  x −  trên  −
; −  d) y = tan  x +  trên  − ; 
6
2
3

 4

 4 2
a) y = sinx trên  −

DẠNG 5. TẬP GIÁ TRỊ, MIN_MAX CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
*Các kiến thức về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên miền D  R .
f ( x )  M, x  D
1.Số thực M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên D nếu 
x 0  D, f ( x 0 ) = M
f ( x )  m, x  D
2.Số thực N được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên D nếu 
x 0  D, f ( x 0 ) = m

Một số kiến thức ta sử dụng trong các bài toán này:
1.Tính bị chặn của hàm số lượng giác.
2.Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất giữa sin và cos .
Lưu ý
1.Bất đẳng thức AM – GM.
a. Với hai số:
Cho hai số thực a, b là hai số dương, ta có

a+b
 ab dấu bằng xảy ra khi a = b .
2

b. Với n số:
Cho hai số thực x1 ; x2 ; x3 ;...; xn là các số dương n  N * , ta có

x1 + x2 + x3 + ... + xn n
 x1. x2 .x3 ... xn
n

dấu bằng xảy ra khi x1 = x2 = x3 = ... = xn .
2. Bất đẳng thức Bunyakovsky
a. Bất đẳng thuwcsBunyakovsky dạng thông thường.

(a

2

)(

)

+ b2 c 2 + d 2  ( ac + bd ) . Dấu bằng xảy ra khi
2

a b
=
c d

b. Bất đẳng thức Bunyakovsky cho bộ hai số
Với hai bộ số ( a1 ; a2 ;...; an ) và ( b1 ; b2 ;...; bn ) ta có

(a

2
1

)(

)

+ a22 + ... + an2 b12 + b22 + ... + bn2  ( a1b1 + a2b2 + ... + anbn )

2

c. Hệ quả của bất đẳng thức Bunyakopvsky ta có ( a 2 + b 2 )( c 2 + d 2 )  4abcd
Câu 27. (SGK- KNTT 11-Tập 1) Tìm tập giá trị của hàm số y = 2sin x .
Câu 28. (SGK- KNTT 11-Tập 1) Tìm tập giá trị của hàm số y = −3cos x .
Câu 29. (SGK- KNTT 11-Tập 1) Tìm tập giá trị của các hàm số sau:


a) y = 2sin  x −  − 1 ;
4

b) y = 1 + cos x − 2
Câu 30. (SGK- KNTT 11-Tập 1) Giả sử vận tốc v (tính bằng lítgiây) của luồng khí trong một chu kì hô hấp
(tức là thời gian từ lúc bắt đầu của một nhịp thở đến khi bắt đầu của nhịp thở tiếp theo) của một
người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi được cho bởi công thức
πt
v = 0,85sin ,
3
trong đó t là thời gian (tính bằng giây).
a) Hãy tìm thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ và số chu kì hô hấp trong một phút của người
đó.
b) Biết rằng quá trình hít vào xảy ra khi v  0 và quá trình thở ra xảy ra khi v  0 .
Trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm nào thì người đó hít vào? người đó thở
ra?

Câu 31. (SGK- KNTT 11-Tập 1) Trong Vật lí, ta biết rằng phương trình tổng quát của một vật dao động
điều hoà cho bởi công thức x(t ) = A cos(t +  ) , trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t ) là
li độ của vật tại thời điểm t , A là biên độ dao động ( A  0), t +  là pha của dao động tại thời điểm
2
(tức là
t và  [− ;  ] là pha ban đầu của dao động. Dao động điều hoà này có chu kì T =

khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần).
Giả sử một vật dao động điều hoà theo phương trình x(t ) = −5cos 4 t ( cm) .
a) Hãy xác định biên độ và pha ban đầu của dao động.
b) Tính pha của dao động tại thời điểm t = 2 (giây). Hỏi trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực
hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?
Câu 32. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất




2
 − 3 b) y = −5 + 2cos  2 x − 
2
3

2
sin (3 x)
− 3cos 2 ( 3 x )
c) y = 2 cos3x − 1 d) y =
2



a) y = 2sin  3x −

Câu 33. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau
a) y = 4 − 2cos 2 x .
b) y = 3 + sin 2018 x .
c) y = sin x − cos x + 3 .
d) y = sin 2 x + 2sin x cos x − cos2 x + 5

  5 
e) y = 4cos2 x − 4cos x + 3 với x   ; 
3 6 
  5 
f) y = cos 2 x + 5sin x + 2 với x   ; 
3 6 
Câu 34. Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau:
a) y = 1 + sin x + 2 b) y = 3sin x + 4cos x
sin x + cos x − 1
.
sin x − cos x + 3
Câu 35. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
a) y = 3sin x − 4cos x

c) y = ( sin x − 2cos x )( 2sin x + cos x ) − 1 d) y =

b) y = 2 ( sin x − cos x ) + 2 cos 2 x + 5sin x.cos x − 3
2

2sin x + cos x + 2
sin x + cos x − 2
2 cos x + 1
d) y =
sin x − cos x + 3
Câu 36. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
sin 3 x + 2 cos 3 x + 1
2x
4x
+ cos
+1.
a) y =
.b) y = sin
2
sin 3 x + cos 3 x + 2
1+ x
1 + x2


c) y = 3 sin 2 x + 2sin 2 x −1.d) y = 3sin  3x +  + 4 cos  3x +  .
6
6


108
Câu 37. Chứng minh rằng với mọi số thực x ta đều có sin 6 x  cos 4 x 
.
3125
DẠNG 6. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Các kiến thức cơ bản về dạng của hàm số lượng giác được đưa ra ở phần I:
Lý thuyết cơ bản:Sau đây ta bổ sung một số kiến thức lý thuyết để giải quyết bài toán nhận dạng
đồ thị hàm số lượng giác một cách hiệu quả.
Sơ đồ biến đổi đồ thị hàm số cơ bản:
c) y =

Các kiến thức liên quan đến suy diễn đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Cho hàm số y = f ( x ) . Từ đồ thị hàm số y = f ( x ) ta suy diễn:
- Đồ thị hàm số y = f ( x ) gồm:
*Đối xứng phần đồ thị của hàm số y = f ( x ) phía dưới trục hoành qua trục hoành.
*Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f ( x ) .
- Đồ thị hàm số y = f ( x ) gồm:
*Đối xứng phần đồ thị trên qua trục Oy .
*Phần đồ thị của hàm số y = f ( x ) nằm bên phải trục Oy
- Đồ thị hàm số y = u ( x ) .v ( x ) với f ( x ) = u ( x ) .v ( x ) gồm:
*Đối xứng phần đồ thị y = f ( x ) trên trên miền u ( x )  0 qua trục hoành.
*Phần đồ thị của hàm số y = f ( x ) trên miền thỏa mãn u ( x )  0
Câu 38. (SGK- KNTT 11-Tập 1) Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn
3 

 − ; 2  để hàm số y = tan x nhận giá trị âm.

Câu 39. (SGK- KNTT 11-Tập 1) Từ đồ thị của hàm số y = tan x , hãy tìm các giá trị x sao cho tan x = 0 .
Câu 40. Vẽ đồ thị của các hàm số sau
a) y = sin 2 x b) y =| sinx |

c) y = tan

x
d) y = − cot x
2

Câu 41. (SGK- KNTT 11-Tập 1) Sử dụng đồ thị đã vẽ ở hình, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn
 

 − 2 ; 2  để hàm số y = cot x nhận giá trị dương.

PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (PHÂN MỨC ĐỘ)

1. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh trung bình – khá

Câu 1.

Câu 2.

Tập xác định của hàm số y = tan x là:


A. R \ 0
B. R \  + k , k  Z  C. R
2

Tập xác định của hàm số y = 2sin x là
A.  0; 2 .

B.  −1;1 .

C.

D. R \ k , k  Z 
D.  −2; 2 .

.

Câu 3.

Tìm tập xác định D của hàm số y cot x sin 5x cos x




A. D = R \  + k , k  Z 
B. D = R \  + k 2 , k  Z 
2
2


C. D = R \ k , k  Z  D. D = R \ k 2 , k  Z 

Câu 4.

Chọn khẳng định sai?
A. Tập xác định của hàm số y = cot x là



\  + k , k   .
2


B. Tập xác định của hàm số y = sin x là .
C. Tập xác định của hàm số y = cos x là .
D. Tập xác định của hàm số y = tan x là
Câu 5.

Câu 6.

Câu 7.



\  + k , k   .
2


Tập xác định của hàm số y = cot x là:


A. \ k 2 , k   .
B. \  + k , k   .
2



C. \ k , k   .
D. \  + k 2 , k   .
2

Tập xác định của hàm số y = tan 2 x là


A. D = \  + k , k   .
B. D =
4



C. D = \  + k , k   .
D. D =
2

Tập xác định của hàm số y = cot 2 x − tan x là:




\  + k ,k  .
2
4




\ k , k   .
 2




\  + k , k   B. \ k , k 
2

Tập xác định của hàm số y = − tan x là:
A.

Câu 8.

A. D =

.



\  + k , k   .
2


C.




\  + k , k   D.
2
4

\ k , k 

B. D =

 

\ k , k  
 2


.



\  + k 2 , k   .
2

Câu 9. Tập xác định của hàm số y = tan x + cot x là
k
k
k
A. D = \   .
B. D = \ k  .
C. D = \  +   . D. D = \   .
 4

 4 
 2 
 k

k   là tập xác định của hàm số nào sau đây?
Câu 10. Tập D = \ 
 2

A. y = cot x .
B. y = cot 2 x .
C. y = tan x .
D. y = tan 2 x
C. D =

\ k 2 , k 

 . D.

D=



Câu 11. Tập xác định của hàm số y = tan  cos x  là:
2

A.

\ 0 .

B.

\ 0;   .

C.

 
\ k  .
 2



Câu 12. Tìm tập xác định của hàm số y = tan  2 x +  .
3




A. D = \  + k k   .
B. D =
2
12

C. D =



\  + k k   .
12


D. D =



Câu 13. Tìm tập xác định D của hàm số y = tan  2 x −  .
4

 3 k

,k  .
A. D = \  +
B. D =
2
8

 3 k

\ +
,k  .
2
4

2sin x + 1
Câu 14. Hàm số y =
xác định khi
1 − cos x

A. x  + k 2
B. x  k
2
C. D =

Câu 15. Tìm điều kiện xác định của hàm số y =

D. D =

k
.
2
s inx + 1
Câu 16. Tập xác định của hàm số y =
là
s inx − 2
A. ( −2; +  )
B. ( 2; +  )
A. x  k 2 .

B. x 



\  + k k   .
6



 

\ − + k k   .
2
 6


 3

\  + k , k   .
4



\  + k , k   .
2


D. x 

C. x  k 2

1 − 3cos x
sin x
C. x 

C.

cot x
là
cos x − 1
 



A. \ k , k   .
B. \  + k , k   .C.
 2

2

Câu 18. Hàm số nào có tập xác định là :

\ k   .

D.


+ k .
2


+ k
2

D. x  k .

\ 2 .

D.

.

D.

\ k 2 , k 

Câu 17. Tập xác định của hàm số y =

\ k , k 

.

.

cos 2 x + 2
cot 2 x + 1

A. y =

Câu 19. Điều kiện xác định của hàm số y =
A. x  k 2 ( k 

C. y = cot 3x − tan x

B. y = 2 + 2cos x

).

B. x 

Câu 20. Tập xác định của hàm số y
A.



D. y = sin x + 2

1
là
sin x − cos x

+ k ( k 

2
1 cos x
là:
sin x 1

) . C.

x  k ( k 

C.

.

B.

).

D. x 


4

+ k ( k 

).

D.

1
.
sin x − cos x


\  + k | k   .
2


Câu 21. Tìm tập xác định D của hàm số y =
A. D =

\ k | k 

C. D =



\  + k | k   .
4



.

B. D =

D. D =

\ k 2 | k 

.

tan 2 x
là tập nào sau đây?
cos x


B. D = \  + k  , k  .
2


Câu 22. Tập xác định của hàm số y =
A. D =

.

C. D =

 

\  + k  , k  .
2 
4

Câu 23. Điều kiện xác định của hàm số y =
A. x 

D. D =

 


\  + k ; + k  , k  .
2 2
4


1 − sin x
là
cos x

5
5

+k , k .
+ k , k  . B. x 
12
12
2




+ k , k  . D. x  + k , k  .
6
2
2
5
Câu 24. Tìm tập xác định của hàm số y =
.
cos x + 1


A. D = \ k 2 , k   . B. D = \  + k 2 , k   .
2

C. D = \  + k 2 , k   .
D. D =
C. x 

\  + k , k 

.

1− 2x
.
sin 2 x


A. D = \ k , k   . B. D = \  + k , k   .
2



 

C. D = \  + k 2 , k 2 , k   .
D. D = \ k , k   .
2

 2

Câu 26. Cho các hàm số: y = sin 2 x , y = cos x , y = tan x , y = cot x . Có bao nhiêu hàm số tuần hoàn với
chu kỳ T =  .
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
x
Câu 27. Chu kỳ của hàm số y = 3sin là số nào sau đây?
2
A. 0 .
B. 2 .
C. 4 .
D.  .
Câu 28. Chu kỳ của hàm số y = sinx là
Câu 25. Tìm tập xác định của hàm số y =

A. k 2 .

B.  .

C. 2 .

D.



.
2
Câu 29. Trong các hàm số y = tan x ; y = sin 2 x ; y = sin x ; y = cot x , có bao nhiêu hàm số thỏa mãn tính
chất f ( x + k ) = f ( x ) , x  , k  .
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 4 .
Câu 30. Trong bốn hàm số: (1) y = cos 2 x , (2) y = sin x ; (3) y = tan 2 x ; (4) y = cot 4 x có mấy hàm số
tuần hoàn với chu kỳ  ?
A. 1 .
B. 0 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 31. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào không tuần hoàn?
1
A. y = cos x .
B. y = cos 2 x .
C. y = x 2 cos x .
D. y =
sin 2 x


Câu 32. Tìm chu kì T của hàm số y = sin  5 x −  .
4

2
5


A. T =
.
B. T =
.
C. T = .
D. T =
5
2
2
8
x

Câu 33. Tìm chu kì T của hàm số y = cos  + 2021
2

A. T = 4 .
B. T = 2 .
C. T = −2 .
D. T = 
1
Câu 34. Tìm chu kì T của hàm số y = − sin (100 x + 50 ) .
2

1
1
A. T =
.
B. T =
.
C. T =
.
D. T = 200 2
100
50
50
Câu 35. Tìm chu kì T của hàm số y = tan 3 x.
2

4
1
A. T = .
B. T = .
C. T =
.
D. T =
3
3
3
3
2
Câu 36. Tìm chu kì T của hàm số y = 2cos x + 2020.
A. T = 3 .
B. T = 2 .
C. T =  .
D. T = 4
Câu 37. Hàm số nào sau đây có chu kì khác  ?




A. y = sin  − 2 x  .
B. y = cos 2  x +  .
4
3


C. y = tan ( −2 x + 1) .
D. y = cos x sin x
Câu 38. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.
B. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ.
C. Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.
D. Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.
Câu 39. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm chẵn?


A. y = cos  x + 
B. y = sin x
C. y = 1 − sin x
D. y = sin x + cos x
3

Câu 40. Chọn phát biểu đúng:
A. Các hàm số y = sin x , y = cos x , y = cot x đều là hàm số chẵn.
B. Các hàm số y = sin x , y = cos x , y = cot x đều là hàm số lẻ.
C. Các hàm số y = sin x , y = cot x , y = tan x đều là hàm số chẵn
D. Các hàm số y = sin x , y = cot x , y = tan x đều là hàm số lẻ.
Câu 41. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ.
B. Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.
C. Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.
D. Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.
Câu 42. Hàm số nào sau đây là hàm số chẵn?
A. y = cot 4 x .
B. y = tan 6 x .
C. y = sin 2 x .
D. y = cos x .
Câu 43. Hàm số y = sin x đồng biến trên mỗi khoảng nào dưới đây.


 

A.  − + k 2 ; + k 2  , k  .
2
 2

C. ( − + k 2 ; k 2 ) , k  .

3


B.  + k 2 ;
+ k 2  , k  .
2
2

D. ( k 2 ;  + k 2 ) , k  .

Câu 44. Khẳng định nào sau đây sai?

  
 
A. y = tan x nghịch biến trong  0;  .
B. y = cos x đồng biến trong  − ; 0  .
 2 
 2
  
 
C. y = sin x đồng biến trong  − ; 0  .
D. y = cot x nghịch biến trong  0;  .
 2 
 2
Câu 45. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
A. Hàm số y = cot x đồng biến trên khoảng ( 0;  ) .
B. Hàm số y = sin x nghịch biến trên khoảng ( ; 2 ) .

  
C. Hàm số y = cos x nghịch biến trên khoảng  − ;  .
 2 2
 3 5 
D. Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng  ;
.
 2 2 
Câu 46. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kỳ T =  .

 
B. Hàm số y = sin x đồng biến trên  0;  .
 2
C. Hàm số y = sin x là hàm số chẵn.
D. Đồ thị hàm số y = sin x có tiệm cận ngang.
Câu 47. Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng nào sau đây?
 9 11 
 5 7 
 7 9 
 7

; .
;3  .
A.  ;
B.  ;
C. 
D. 
.
.
 4 4 
 4 4 
 4 4 
 4

Câu 48. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì 2 .
B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì  .
 
C. Hàm số y = sin x đồng biến trên khoảng  0;  .
 2
D. Hàm số y = cot x nghịch biến trên .
Câu 49. Xét sự biến thiên của hàm số y = tan 2 x trên một chu kì tuần hoàn. Trong các kết luận sau, kết luận
nào đúng?
   
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng    và  ;  .
 4 4 2
 
 
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng    và nghịch biến trên khoảng  ;  .
 4
4 2
 
C. Hàm số đã cho luôn đồng biến trên khoảng  0;  .
 2
 
 
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng    và đồng biến trên khoảng  ;  .
4 2
 4
Câu 50. Xét sự biến thiên của hàm số y = 1 − sin x trên một chu kì tuần hoàn của nó. Trong các kết luận sau,
kết luận nào sai?
  
A. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  − ; 0  .
 2 

 
B. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng  0;  .
 2
 
C. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;   .
2 
   
D. Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng    .
2 2 
 
Câu 51. Với x   0;  , mệnh đề nào sau đây là đúng?
 4
A. Cả hai hàm số y = − sin 2 x và y = −1 + cos 2 x đều nghịch biến.
B. Cả hai hàm số y = − sin 2 x và y = −1 + cos 2 x đều đồng biến.
C. Hàm số y = − sin 2 x nghịch biến, hàm số y = −1 + cos 2 x đồng biến.
D. Hàm số y = − sin 2 x đồng biến, hàm số y = −1 + cos 2 x nghịch biến.
 
Câu 52. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng  0;  ?
 2
A. y = sin x .
B. y = cos x .
C. y = tan x .
D. y = − cot x .
  
Câu 53. Hàm số nào đồng biến trên khoảng  − ;  :
 3 6
A. y = cos x .
B. y = cot 2 x .
C. y = sin x .
D. y = cos2 x .
Câu 54. Xét sự biến thiên của hàm số y = sin x − cos x. Trong các kết luận sau, kết luận nào đúng?

  3 
A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  − ;  .
 4 4 
 3  
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;  .
 4 4 

C. Hàm số đã cho có tập giá trị là  −1; 1 .
   
D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng  − ;  .
 4 4 
Câu 55. Chọn câu đúng?
A. Hàm số y = tan x luôn luôn tăng.

B. Hàm số y = tan x luôn luôn tăng trên từng khoảng xác định.
C. Hàm số y = tan x tăng trong các khoảng (  + k ; 2 + k 2 ) , k  .
D. Hàm số y = tan x tăng trong các khoảng ( k ;  + k 2 ) , k  .
Câu 56. Xét hai mệnh đề sau:

 3 
1
giảm.
 : Hàm số y =
2
s
inx



(I) x   ;

 3 
1
giảm.
 : Hàm số y =
2
cos
x



(II) x   ;

Mệnh đề đúng trong hai mệnh đề trên là:
A. Chỉ (I) đúng.

B. Chỉ (II) đúng.

C. Cả 2 sai.
D. Cả 2 đúng.
  3 
Câu 57. Bảng biến thiên của hàm số y = f ( x) = cos 2 x trên đoạn  − ;  là:
 2 2 

A.

B.

C.

D.

x
Câu 58. Cho hàm số y = cos . Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn  − ;  ...