BÀI 3. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC
PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA
1. Công thức cộng
Từ đây, khi không nói gì thêm, chi xét các góc lượng giác mà tại đó các giá trị lượng giác được đề
cập có nghĩa.
Công thức cộng

Vi dụ 1. Tính giá trị của
Giải

.

2. Công thức góc nhân đôi
Công thức tính các giá trị lượng giác của góc
là công thức góc nhân đôi.

qua các giá trị lượng giác của góc

được gọi

Ví dụ 2. Tính
Giải

.

Ta có

. Suy ra

.

Vì
nên
. Suy ra
.
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
Từ công thức cộng, ta suy ra được công thức biến đổi tích thành tổng sau đây:
Ví dụ 3. Tính giá trị của biểu thức
Giải

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

.

Trang 1

4. Công thức biến đổi tổng thành tích
Các công thức dưới đây được gọi là công thức biến đổi tổng thành tích.

Ví dụ 4. Tính
Giải

.

PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG)
Dạng 1. Công thức cộng
Câu 1.
Câu 2.

(SGK-CTST-11-Tập 1) Tinh
và
.
(SGK-CTST-11-Tập 1) Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:
a)
b)

.

Câu 3.

(SGK-CTST-11-Tập 1) Tính

Câu 4.

(SGK-CTST-11-Tập 1) Trong Hình 5, ba điểm
gió. Biết các cánh quạt dài
, độ cao của điểm
quạt là

a) Tính

Câu 5.

và số đo góc

và

biết

là

và

.

nằm ở đầu các cánh quạt của tua-bin
so với mặt đất là
, góc giữa các cánh

.

.

b) Tính
của các góc lượng giác
và
, từ đó tính chiều cao của các điểm
và
so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.
Tính các giá trị lượng giác sau:
a)

khi

b)

khi

c)

.
.
khi

d)
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

.
khi

và

là các góc nhọn.
Trang 2

Câu 6.

Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a)

,

,

khi

b)

,

,

khi

c)

Câu 7.

,

khi

,

.

.
,

.

d)
,
,
khi
Tính giá trị của biểu thức

.

a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Câu 8.

.

Chứng minh rằng:
a)

;

b)

;

c)

Câu 9.

d)
Chứng minh các đẳng thức sau
a)
b)

;
.
;
;

c)
d)
e)

;
;
;

f)
.
Câu 10. Chứng minh các hệ thức sau với điều kiện cho trước
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 3

a.)

khi

b.)

khi

c.)

khi

d.)
khi
Dạng 2. Công thức nhân đôi
Câu 11. Tính
và
Câu 12. Tính các giá trị lượng giác của góc
a)

và

, biết:

;

b)
và
.
Câu 13. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
b)
.
Câu 14. Tính các giá trị lượng giác của góc
a)

và

, biết:

;

b)
và
.
Câu 15. Trong bài toán khởi động, cho biết vòm cổng rộng
và khoảng cách từ
đến đường kính
là
. Tính
và
, từ đó tính khoảng cách từ điểm
đến đường kính
.
Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Hình 2
Câu 16. Trong Hình 4, pít-tông
trục khuỷu
pít-tông khi
thanh truyền

. Ban đầu

của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi-lanh làm quay
thẳng hàng. Cho

và
là hình chiếu của
nên có thể xem như độ dài

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

là góc quay của trục khuỷu,

là vị trí của

lên
. Trục khuỷu
rất ngắn so với độ dài
không đổi và gần bằng
.

Trang 4

a) Biết

, viết công thức tính tọa độ

của điểm

b) Ban đầu
. Sau 1 phút chuyển động,
Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Câu 17. Tính giá trị biểu thức:

trên trục

. Xác định

theo

.

sau 2 phút chuyển động.

a.

b.
c.
d.
e.
Câu 18. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a

. Cho

. Tính

. Cho

và

. Cho

. Tính

b
c

. Tính

và

d. Cho
. Tính
Câu 19. Tính giá trị của biểu thức sau:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Câu 20. Chứng minh các hệ thức sau:
.
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 5

.
.

.
.

,với
Dạng 3. Biến đổi tích thành tổng
Câu 21. Tính giá trị của biếu thức
Câu 22. Biến đổi thành tổng
a)
c)
e)
g)

và

.

b)
d)
f)
h)

i)
k)
Dạng 4. Biến đổi tổng thành tích
Câu 23. Tính
Câu 24. Biến đổi thành tích

.

a,
b,
c,
d,
e,
f,
g,
h,
Câu 25. Tính giá trị các biểu thức sau:
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 6

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Câu 26. Tính các tổng sau
a.
b.
c.
d.

, với

.

e.
Câu 27. Tính
, biết:
Câu 28. Rút gọn các biểu thức sau:

a/

Câu 29. Chứng minh các đẳng thức lượng giác:
a.
b.
c.
d.
e.
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 7

Câu 30. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

.b)

c)

.

.d)

.

e)

.

f)

.

g)

.

Câu 31. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

. b)

c)

.

.d)

.

e)

.

f)

.

g)

.

h) Cho

. Chứng minh:

.

i) Cho
. Chứng minh:
Dạng 5. Bài toán tam giác
Qui ước: Cho tam giác
đường cao;

gọi

.
là ba cạnh đối diện của ba góc

là ba đường trung tuyến;

đường trong nội tiếp ;
Điều kiện

;

là ba

là ba đường phân giác;

là bán kính

là bán kính đường trong ngoại tiếp và

là ba góc của một tam giác là
,

Định lý hàm số sin:
Công thưc tính diện tích

nên suy ra

…

Định lý hàm số côsin
Suy ra

là nữa chu vi.

,
,

,
,
suy ra
.

Công thức phân giác
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 8

Công thức trung tuyến
Câu 32. Chứng minh rằng trong tam giác
Câu 33. Trong Hình 3, tam giác
nằm trên tía đối của tia

Câu 34. Cho tam giác
a)

, ta có

vuông tại

.

và có hai cạnh góc vuông là

thoả mãn

. Tính

, từ đó tính độ dài cạnh

.

. Chứng minh rằng:
.

b)

.

c)

.

d)

.

e)

.

f)

.

g)

.

h)

.

i)
Câu 35. Cho tam giác

. Vẽ điểm

.
chứng minh:

a)

.

b)

.

c)

.

d)

.

e)
f)
Câu 36. Tìm các góc của tam giác

.
.
, biết:

a)
b)
Câu 37. Chứng minh trong mọi tam giác
a)
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

ta đều có
;
Trang 9

b)
Câu 38. Chứng minh trong mọi tam giác
a)
b)
Câu 39. Chứng minh trong mọi tam giác

.
không vuông ta đều có
;
.
ta đều có

a)

.

b)
Câu 40. Chứng minh trong mọi tam giác
a)

.
ta đều có

;

b)
.
Câu 41. Chứng minh trong mọi tam giác

nhọn ta đều có

a)
;
b)
.
Câu 42. Chứng minh trong mọi tam giác

ta đều có

a)
b)
Câu 43. Tam giác
a)
b)
Câu 44. Tam giác

với

là tam giác nhọn;

.
là tam giác gì nếu
.
.
là tam giác gì nếu

a)
Câu 45. Tam giác

.b)
là tam giác gì nếu

a)
Câu 46. Tam giác

.b)
là tam giác gì nếu

a)
.b)
Câu 47. Chứng minh với mọi tam giác

.

.

.
, ta có

a)
;b)
Câu 48. Chứng minh với mọi tam giác
, ta có

a)

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

.

;

Trang 10

b)
.
Dạng 6. Bài toán min-max
- Sử dụng phương pháp chứng minh đại số quen biết.
- Sử dụng các tính chất về dấu của giá trị lượng giác một góc.
- Sử dụng kết quả

với mọi số thực

Câu 49. Chứng minh rằng với
a)

thì
b)

Câu 50. Cho

. Chứng minh rằng

Câu 51. Chứng minh rằng với
thì
Câu 52. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức sau:
a)

.

b)

Câu 53. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Câu 54. Cho

. Chứng minh rằng

Câu 55. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức
Câu 56. Chứng minh rằng
Câu 57. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.

PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (PHÂN MỨC ĐỘ)

1. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh trung bình – khá
Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
A.

B.

C.

D.

Biểu thức
A.

Câu 4.

bằng
.

B.

.

C.

.

D.

.

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 11

Câu 5.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A.

.

B.

C.

Câu 6.

Câu 7.

.

Biểu thức
A.

B.

C.

D.
, ta được:
B.

Giá trị của biểu thức
B.

D.

C. –

D.

Đẳng thức nào sau đây là đúng.
.

C.

.

Câu 10. Cho
A.

. Tính

B.

.

D.

.

.

.

B. .

C.

.

D.

.

Kết quả nào sau đây sai?
A.

.

C.
Câu 12.

C.
bằng

A.

Câu 11.

.

Rút gọn biểu thức:

A.
Câu 9.

D.

bằng biểu thức nào sau đây? (Giả sử biểu thức có nghĩa)

A.
Câu 8.

.

B.
.

Đẳng thức nào không đúng với mọi

D.

.
.

?

A.

. B.

.

C.

. D.

.

Câu 13. Trong các công thức sau, công thức nào sai?
A.

.

B.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

.
Trang 12

C.

.

D.

Câu 14. Trong các công thức sau, công thức nào sai?
A.

B.

C.
D.
Câu 15. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 16.

A.

.

C.

. D.

Cho góc lượng giác

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định sai?

A.

. B.

C.

. D.

B.

.

.
.
.

Câu 17. Khẳng định nào dưới đây SAI?
A.

.

B.

.

C.

.

D.
Câu 18.

.

Chọn đáo án đúng.
A.

Câu 19.

. B.

Cho

. Giá trị của

A.
Câu 20.

Câu 21.

B.

.

B.

.
, với

.

B.

.

C.

.

D.

C.

.

D.

.

.

là các số thực. Tính

.

C.

.

.
D.

.

Mệnh đề nào sau đây sai?
.

C.

Câu 24.

D.

thì sin2x bằng

A.

Câu 23.

.

là

.

Biết rằng
A.

Câu 22.

.

Nếu
A.

. C.

.

B.

.

D.

.

.

Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?
A.

.

B.

C.

.

D.

.

Công thức nào sau đây là sai?
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 13

A.

.

C.
Câu 25.

Câu 26.

Câu 27.

Câu 28.

B.

.

.

D.

.

Rút gọn biểu thức

ta được:

A.

.

B.

C.

.

D.

.
.

Rút gọn biểu thức

.

A.

.

B.

C.

.

D.

Biến đổi biểu thức

.
.
thành tích.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Rút gọn biểu thức
A.

.

.

B.

.

C.

Câu 29. Tính giá trị biểu thức
A.

.

D.

.

.

.

B.

.

C.

.

D.

.

2. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh khá-giỏi

Câu 30.

Cho
A.
C.

Câu 31.

với
.

B.
.

D.

Cho
A.

Câu 32.

khi đó

với

đúng của

.
.
. Giá trị của

.

Cho hai góc

bằng.

B.
thỏa mãn

.

bằng
C.

,

.
và

D.
,

.
. Tính giá trị

.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 14

A.

.

B.

Câu 33. Cho
A.

.

C.

.

. Tính giá trị
.

B.

.

C.

.

B.

C.

Câu 35. Rút gọn biểu thức:

.

B.

Câu 36. Cho hai góc nhọn

D.

, ta được:

A.
và

A.

C.

với

và

B.

D.
. Tính

.

C.

là các góc nhọn,

A.

,

D.

. Tổng

B.

bằng:

C.

Câu 38. Biểu thức

D.
không phụ thuộc

A.

B.

Câu 39. Biết
,
không phụ thuộc vào

C.

và
và bằng

A.
thì

A.

D.

C.

D.

C.

D.

bằng:
B.

;

và bằng:

. Giá trị của biểu thức:

B.

Câu 40. Nếu

A.

D.

có giá trị bằng:

A.

Câu 41. Cho

.

?

Câu 34. Biểu thức

Câu 37. Cho

D.

;
B.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

;

. Giá trị của
C.

bằng:
D.

Trang 15

Câu 42. Biết
bằng:

và

;

A.

B.

và

C.

D.

Câu 43. Rút gọn biểu thức:

ta được kết quả là

A.

B.

Câu 44. Cho

;

C.

;

A.

;

B.

Câu 45. Biết

. Giá trị

D.

. Giá trị

bằng:

C.

và

D.

theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Tích số

bằng:
A.
Câu 46.

B.

Cho
.

Cho
bằng

B.

.

Câu 48. Cho số thực

Câu 49. Cho

.

B.

.

D.

.

C.

.

D.

.

. Tính
B.

, giá trị

.

C.

.

D.

.

có thể nhận giá trị nào dưới đây:
B.

C.

Câu 50. Giá trị đúng của
A.

.

. Giá trị của biểu thức

.

thỏa mãn

A.

D.

bằng:
B.

Câu 51. Giá trị đúng của
A.

C.

là hai góc nhọn. Biết

A.

A.

D.

Tính giá trị biểu thức

A.
Câu 47.

C.

C.

D.

C.

D.

bằng:
B.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 16

Câu 52. Biểu thức

có giá trị đúng bằng:

A.

B.

Câu 53. Tích số

C.

D.

C.

D.

C.

D.

bằng:

A.

B.

Câu 54. Tích số

bằng:

A.

B.

Câu 55. Giá trị đúng của biểu thức
A.

bằng:

B.

Câu 56. Cho hai góc nhọn

và

A.

C.

. Biết

,

B.

D.
. Giá trị

C.

bằng:
D.

Câu 57. Rút gọn biểu thức
A.

B.

C.

D.

Câu 58. Biến đổi biểu thức

Câu 59.

A.

B.

C.

D.

Cho góc
A.

Câu 60.

thỏa mãn
.

và
B.

Cho
.

Cho
A.

.
. Giá trị của

A.
Câu 61.

thành tích.

B.

.

. Tính
.

.Tính giá trị của biểu thức
C.

.

.

D.

.

.

D.

.

là
C.
.

B. 2.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

C. 1.

D.

.
Trang 17

Câu 62. Cho biết

. Giá trị của biểu thức

A.
Câu 63.

Câu 64.

B.

bằng bao nhiêu?
C.

Cho

với

D.
,

A.

. B.

.

C.

.

D.

,

. Ta có

.

Biết rằng

. Tính giá trị của biểu thức

.
A.
Câu 65.

.

Cho
A.

Câu 66.

B.

C.

.

B.

.

C.

. Giá trị của
.

B.

Câu 68. Cho hai góc nhọn

.

.

D.

.

là

.

C.

.

D.

.

bằng:

A.

B.
và

C.

với
B.

,

D.

. Giá trị của
C.

Câu 69. Biểu thức
A.

D.
.

Câu 67. Tổng

A.

.

. Tính giá trị của biểu thức

Cho
A.

.

là:
D.

có kết quả rút gọn là:
B.

C.

D.

Câu 70. Kết quả nào sau đây SAI?
A.

B.

C.

D.

Câu 71. Nếu
A.

thì:
B.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 18

C.

D.

Câu 72. Cho biểu thức

Hãy chọn kết quả đúng:

A.

B.

C.

D.

Câu 73. Xác định hệ thức SAI trong các hệ thức sau:
A.
B.
C.
D.
Câu 74.

Giá trị nhỏ nhất của
A. 0.

là
B.

.

Câu 75. Giá trị lớn nhất của
A.

.
.

B.

.

C.

.

D. .

C.

Câu 77. Giá trị lớn nhất của
.

B.

A.

.

C.

.

B.

.

.

.

D. .

C.

.

. Khi đó giá trị lớn nhất của
.

D.

, mệnh đề nào trong các mệnh

B. .

C. .

Câu 80. Giá trị lớn nhất của biểu thức
Câu 81. Cho

.

,

Câu 79. Cho

A.

.

bằng:

Câu 78. Cho biểu thức
đề sau đúng?

A.

D.

. Chọn khẳng định đúng.

A.
A.

.

bằng:
B. .

Câu 76. Cho

C.

B.

D.

.

là
D.

.

là
.

là các góc của tam giác

C.

.

D.

.

thì.

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 82. Một tam giác
có các góc
thỏa mãn
có gì đặc biệt?
A. Tam giác đó vuông. B. Tam giác đó đều.
Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

thì tam giác đó

Trang 19

C. Tam giác đó cân.
Câu 83. Cho

,

,

D. Không có gì đặc biệt.
là các góc của tam giác

(không là tam giác vuông) thì

bằng :
A.
C. .

. B. Một kết quả khác các kết quả đã nêu trên.
D.
.

Câu 84. Cho
A.

,

,

là ba là các góc nhọn và

.

B.

Câu 85. Biết

;

.

C.

là các góc của tam giác

A.

,
.

. Tổng
D.

bằng

.

khi đó.

B.

C.

D.

Câu 86.

là ba góc của một tam giác. Hãy tìm hệ thức sai:
A.

.

C.
Câu 87. Cho

.
,

,

là các góc của tam giác

A.

là các góc của tam giác

A.

B.

C.

D.

Câu 89. Nếu

và

D.

.

B.
.

Câu 88. Biết

.

(không phải tam giác vuông) thì:
.

C.

B.

D.

. Hãy chọn kết quả đúng.
.

B.

C.

.

D.

,

,

.

khi đó.

A.

Câu 90. Cho

.

là các góc của tam giác

.
.

thì:

A.

. B.

C.

.

.
D.

.
Câu 91.

là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ hệ thức sai:

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 20

A.

.

C.

B.

.

Câu 92. Biết

D.

là các góc của tam giác

A.

. B.

C.

. D.

Câu 93. Cho

.
.

là các góc của tam giác
B. .

C.

.

.

D.
,

,

là các góc của tam giác

(không là tam giác vuông) thì

(không phải tam giác vuông) thì:

A.

. B.

C.
Câu 95. Cho

.

khi đó.

bằng
A. Một kết quả khác các kết quả đã nêu trên.

Câu 94. Cho

.

.
,

,

.

D.

.

là ba góc của một tam giác. Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau.

A.
B.
C.
D.
Câu 96. Hãy chỉ ra công thức sai, nếu

là ba góc của một tam giác.

A.

.

B.

C.

.

D.

.

.
Câu 97.

Câu 98.

Cho tam giác

có

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. Tam giác

vuông tại

.

C. Tam giác

đều. D. Tam giác

B. Tam giác

cân tại

là tam giác tù.

Cho bất đẳng thức
giác

với

là ba góc của tam

.Khẳng định đúng là:

A.
Câu 99. Cho

.

.
,

,

B.

là các góc nhọn và

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

.

C.
,

.
,

D.
. Tổng

.
bằng:
Trang 21

A.
Câu 100. Cho

B.
,

,

C.

là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức SAI.

A.

B.

C.

D.

Câu 101. Cho

,

,

là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức SAI.

A.

B.

C.

D.

Câu 102. Cho

,

,

D.

là ba góc của một tam giác không vuông. Hệ thức nào sau đây SAI?

A.
B.
C.
D.

Bùi Huy Tường -THPT Trường Chinh

Trang 22