SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
LIÊN CỤM TRƯỜNG THPT
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI OLYMPIC DÀNH CHO HỌC SINH LỚP
10, LỚP 11
NĂM HỌC 2025 – 2026
Môn thi: TOÁN 11
Ngày thi: 14/3/2026
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 02 trang)

PHẦN I. TRẢ LỜI NGẮN (10,0 điểm)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 10. Với mỗi câu hỏi, thí sinh viết kết quả vào giấy thi.
Câu 1. (1,0 điểm) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình
bao nhiêu?

√
2 − 2 sin 2x = 0 trên đoạn [−π; 0] bằng

Câu 2. (1,0 điểm) Mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian (phút) đi từ nhà đến nơi làm việc của 125 công
nhân công ty X được thống kê như bảng sau: Từ phân vị thứ ba Q3 bằng bao nhiêu?
Thời gian
[15; 20) [20; 25) [25; 30) [30; 35) [35; 40) [40; 45) [45; 50)
(phút)
Số công
6
14
25
37
20
13
10
nhân
p

√
2
Câu 3. (1,0 điểm) Giá trị của limn→+∞
n + n 5 − n bằng bao nhiêu?
d = 120◦ và ba cạnh của tam giác lập thành một cấp số
Câu 4. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có BAC
cộng có công sai bằng 2. Diện tích của tam giác ABC bằng bao nhiêu?
 2
 x − ax + b
khi x > 1
liên tục tại điểm x = 1. Giá trị
Câu 5. (1,0 điểm) Biết rằng hàm số f (x) =
x−1

4x + a
khi x ≤ 1
của biểu thức P = a + 2b bằng bao nhiêu?
Câu 6. (1,0 điểm) Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2, C1 là hình gồm hai nửa đường
AB
AB
tròn đường kính
, C2 là hình gồm bốn nửa hình tròn đường kính
, ..., Cn là hình gồm 2n
2
4
AB
nửa hình tròn đường kính n , ..... (Hình minh họa). Gọi Sn là diện tích của hình Cn . Giá trị của
2
S1 + S2 + S3 + ..... + Sn + ..... bằng bao nhiêu?
C

C1

A

C3

C2
O

B

Câu 7. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD = 4, các cạnh
AB = BC = CD = 2. Biết SA = 2 và nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy (ABCD). Diện tích của
1

tam giác SBD bằng bao nhiêu?
Câu 8. (1,0 điểm) Một bánh xe đu quay có đường kính 20(m) và cách mặt đất 1(m) quay đều ngược
chiều kim đồng hồ với tốc độ 0, 5 vòng/phút. Một người ngồi trên bánh xe đu ở vị trí thấp nhất so với
mặt đất. Hỏi mất bao nhiêu phút kể từ khi bánh xe đu bắt đầu hoạt động thì người này đạt độ cao 6(m)
so với mặt đất lần thứ 6?

Câu 9. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi G là trọng tâm tam giác SBC
NC
= x(x > 0, x ̸= 1). Giá trị của x bằng bao nhiêu
và điểm N thay đổi trên đoạn thẳng AC sao cho
NA
thì đường thẳng NG song song với mặt phẳng (SCD)?
d = 60◦ , các cạnh
Câu 10. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC
bên SA = SB = SC = a. Giá trị cos(SD, AB) bằng bao nhiêu?
PHẦN II. TỰ LUẬN (10,0 điểm)
Thí sinh trả lời từ câu 11 đến câu 13. Với mỗi câu hỏi, thí sinh trình bày lời giải vào giấy thi.
√
√
2 sin x + 2 cos x − 1
Câu 11. (4,0 điểm) Giải phương trình 2 tan 2x =
cos 2x
Câu 12. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh 4 và H là trung điểm của cạnh BC. Gọi ∆ là đường
thẳng đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Các điểm M và N thay đổi trên ∆ sao cho ∆MHN
vuông tại H.
a) Chứng minh đường thẳng MH vuông góc với mặt phẳng (NBC).
b) Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN.
c) Gọi K là điểm thay đổi trên đoạn thẳng AH (K ̸= A, K ̸= H). Gọi K1 , K2 , K3 , K4 lần lượt là hình
chiếu vuông góc của điểm K lên các mặt phẳng (NBC), (MBC), (MNC), (MNB). Chứng minh
KK12 + KK22 + KK32 + KK42 ≥ 4.

u1 = 2
un−1
Câu 13. (2,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định bởi
, n = 2, 3, 4...
un =
(n − 1)un−1 + 1
a) Chứng minh dãy số (un ) là dãy số giảm.
u2
u3
u2026
b) Chứng minh
+
+···+
< 1.
2 − u2 2 − u3
2 − u2026
2

—————- HẾT —————Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Họ tên và chữ kí của cán bộ coi thi số 1:
Họ tên và chữ kí của cán bộ coi thi số 2:

3

LỜI GIẢI CHI TIẾT ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN 10 - 11
PHẦN I. TRẢ LỜI NGẮN (10,0 điểm)
Câu 1.
√
Phương trình: 2 − 2 sin 2x = 0 trên đoạn [−π; 0].
Ta có:
√
√
2
2 sin 2x = 2 ⇐⇒ sin 2x =
2
Suy ra:
3π
π
+ k2π (k ∈ Z)
2x = + k2π hoặc 2x =
4
4
π
3π
x = + kπ hoặc x =
+ kπ
8
8
Vì x ∈ [−π; 0], ta xét các giá trị của k:
7π
π
+ kπ: Chọn k = −1 ⇒ x = − .
8
8
3π
5π
• Với x =
+ kπ: Chọn k = −1 ⇒ x = − .
8
8
 


5π
12π
3π
7π
+ −
=−
=− .
Tổng các nghiệm là: −
8
8
8
2
3π
Kết quả: −
2
• Với x =

Câu 2.
Tổng số công nhân N = 125.
Vị trí của tứ phân vị thứ ba Q3 là

3N 3 × 125
=
= 93, 75.
4
4

Tính tần số tích lũy:
• [15; 20) : 6
• [20; 25) : 6 + 14 = 20
• [25; 30) : 20 + 25 = 45
• [30; 35) : 45 + 37 = 82
• [35; 40) : 82 + 20 = 102
Giá trị 93, 75 rơi vào nhóm [35; 40). Áp dụng công thức:
3N
−cf
93, 75 − 82
11, 75
Q3 = L + 4
× h = 35 +
× 5 = 35 +
= 37, 9375
f
20
4
Kết quả: 37, 9375
Câu 3.

p
√
Tính giới hạn: limn→+∞
n2 + n 5 − n

4

Nhân lượng liên hợp:
√
√
n2 + n 5 − n2
n 5
= lim p
= lim p
√
√
n→+∞
n2 + n 5 + n n→+∞ n2 + n 5 + n
Chia cả tử và mẫu cho n:

√
5
Kết quả:
2

√
√
√
5
5
5
= lim r
=
=
√
n→+∞
1+1
2
5
1+
+1
n

Câu 4.
d = 120◦ , do đó cạnh đối diện góc A (đặt là a) là cạnh dài nhất.
Tam giác ABC có BAC
Gọi ba cạnh của tam giác lập thành cấp số cộng với công sai d = 2 là x − 2, x, x + 2 (với x > 2). Vậy
a = x + 2.
Áp dụng định lý côsin cho góc A:
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A
(x + 2)2 = (x − 2)2 + x2 − 2x(x − 2) cos 120◦
 
1
2
2
2
x + 4x + 4 = x − 4x + 4 + x − 2x(x − 2) −
2
4x = −4x + x2 + x2 − 2x ⇐⇒ 2x2 − 10x = 0 ⇒ x = 5 (vì x > 0)
Ba cạnh là 3, 5, 7. Hai cạnh kề góc A là b = 3, c = 5.
√
√
1
1
15
3 15 3
◦
Diện tích S = bc sin A = · 3 · 5 · sin 120 =
·
=
.
2
2 2
4
√2
15 3
Kết quả:
4
Câu 5.
Hàm số liên tục tại x = 1 khi limx→1+ f (x) = limx→1− f (x) = f (1).
Ta có f (1) = limx→1− (4x + a) = 4 + a.
x2 − ax + b
Để limx→1+
tồn tại hữu hạn, tử số phải bằng 0 khi x = 1:
x−1
12 − a(1) + b = 0 ⇒ b = a − 1
Thay b vào giới hạn:
x2 − ax + a − 1
(x − 1)(x + 1) − a(x − 1)
lim
= lim
= lim (x + 1 − a) = 2 − a
+
+
x−1
x−1
x→1
x→1+
x→1
Ép điều kiện liên tục: 2 − a = 4 + a ⇐⇒ 2a = −2 ⇒ a = −1.
Suy ra b = −1 − 1 = −2.
Biểu thức P = a + 2b = −1 + 2(−2) = −5.
Kết quả: −5
Câu 6.
Hình C là nửa đường tròn đường kính AB = 2, bán kính R = 1.
5

AB
1
• Hình C1 gồm 2 nửa đường tròn đường kính
= 1, bán kính r1 = . Diện tích S1 = 2 ×
2
2
 2
1
1
π
π
= .
2
2
4
AB
1
1
• Hình C2 gồm 22 = 4 nửa đường tròn đường kính
= , bán kính r2 = . Diện tích S2 =
4
2
4
 2
1
1
π
4× π
= .
2
4
8
π
1
Tổng quát, Sn tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1 = và công bội q = .
4
2
π
u1
π
Tổng S =
= 4 = .
1
1−q
2
1−
2
π
Kết quả:
2
Câu 7.
S

H

A

D

B

C

Đáy ABCD là hình thang cân có AD = 4, AB = BC = CD = 2.
AD − BC 4 − 2
Kẻ đường cao BH ⊥ AD. Do tính đối xứng, AH =
=
= 1.
2
2
√
√
√
BH = AB2 − AH 2 = 22 − 12 = 3.
HD = AD − AH = 4 − 1 = 3.
√
√
Xét ∆ABD, ta có BD2 = BH 2 + HD2 = ( 3)2 + 32 = 12 ⇒ BD = 2 3.
Nhận thấy AB2 + BD2 = 22 + 12 = 16 = 42 = AD2 , nên ∆ABD vuông tại B, tức là AB ⊥ BD.
Vì SA√
⊥ (ABCD) nên√
theo định lý 3√đường vuông góc, SB ⊥ BD ⇒ ∆SBD vuông tại B.
SB = SA2 + AB2 = 22 + 22 = 2 2.
√
√
1
1 √
Diện tích ∆SBD = SB · BD = · 2 2 · 2 3 = 2 6.
2
2
√
Kết quả: 2 6
Câu 8.
Đường kính vòng quay 20m ⇒ bán kính R = 10m. Tâm vòng quay cách mặt đất 10 + 1 = 11m.
2π
Tốc độ 0, 5 vòng/phút ⇒ Chu kỳ T = 2 phút. Tần số góc ω =
= π (rad/phút).
2
Phương trình độ cao của người: h(t) = 11 − 10 cos(πt).

6

Người đạt độ cao 6m:
11 − 10 cos(πt) = 6 ⇐⇒ cos(πt) =
π
1
⇒ πt = ± + k2π ⇐⇒ t = ± + 2k
3
3
Các thời điểm đạt độ cao 6m lần lượt là:
1
k = 0 : (lần 1)
3
5
7
k = 1 : (lần 2), (lần 3)
3
3
11
13
k=2:
(lần 4),
(lần 5)
3
3
17
(lần 6)
k=3:
3
17
Kết quả:
3

1
2

(k ∈ N)

Câu 9.
S

P
A

G

D

N
B

M

C

⃗ SB,
⃗ SC,
⃗ SD
⃗ là các vector từ S. Do ABCD là hình bình hành nên SB
⃗ = SA
⃗ + SC
⃗ − SD.
⃗
Giả sử SA,
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗ = SB + SC = SA + 2SC − SD .
G là trọng tâm ∆SBC ⇒ SG
3
3
⃗ + SC
⃗
NC
x
SA
⃗ =
Điểm N ∈ AC sao cho
= x ⇒ SN
.
NA
x+1
⃗ = SG
⃗ − SN:
⃗
Vector chỉ phương NG




1
x
2
1
⃗ =
⃗ +
⃗ − 1 SD
⃗
NG
−
SA
−
SC
3 x+1
3 x+1
3
⃗ phải được biểu diễn qua SC
⃗ và SD,
⃗ nghĩa là hệ số của SA
⃗ phải bằng 0:
Để NG ∥ (SCD), vector NG
1
x
1
−
= 0 ⇐⇒ x + 1 = 3x ⇐⇒ 2x = 1 ⇒ x =
3 x+1
2
Kết quả:

1
2

Câu 10.

7

S

A

D
H

B

C

d = 60◦ ⇒ ∆ABC là tam giác đều cạnh a.
Đáy là hình thoi cạnh a, ABC
Vì SA = SB = SC = a nên hình chiếu vuông góc H của S xuống đáy trùng với tâm đường tròn ngoại
tiếp ∆ABC (cũng là trọng tâm ∆ABC).
√
√
√
2 a 3 a 3
H nằm trên đường chéo BD. BD = a 3 ⇒ BH = ·
=
.
3 2
3
r
r
√
a2
2
Đường cao SH = SB2 − BH 2 = a2 − = a
.
3√
3
√
√
a 3 2a 3
Ta có HD = BD − BH = a 3 −
=
.
3
3 r
√
√
2a2 12a2
Xét ∆SHD vuông tại H: SD = SH 2 + HD2 =
+
= a 2.
3
9
d (nếu ≤ 90◦ ).
Vì AB ∥ CD, nên góc giữa SD và AB chính
là
góc
giữa
SD
và
CD, tức là SDC
√
Xét ∆SCD có SC = a,CD = a, SD = a 2. Nhận thấy SC2 +CD2 = a2 + a2 = 2a2 = SD2 , nên ∆SCD
vuông tại C.
√
CD
a
2
d =
Vậy cos(SD, AB) = cos SDC
= √ =
.
SD a 2
2
√
2
Kết quả:
2

PHẦN II. TỰ LUẬN (10,0 điểm)
Câu 11.

√
√
2 sin x + 2 cos x − 1
Giải phương trình: 2 tan 2x =
cos 2x
Điều kiện: cos 2x ̸= 0.
Phương trình tương đương:

√
√ sin 2x
2 sin x + 2 cos x − 1
2
=
cos 2x
cos 2x
√
√
⇒ 2 sin 2x = 2 sin x + 2 cos x − 1
√
√
⇐⇒ 2 2 sin x cos x − 2 cos x − 2 sin x + 1 = 0

Nhóm các hạng tử:

√
2 cos x(2 sin x − 1) − (2 sin x − 1) = 0
√
(2 sin x − 1)( 2 cos x − 1) = 0
8

1
• Trường hợp 1: 2 sin x − 1 = 0 ⇐⇒ sin x =
2
π
5π
⇒ x = + k2π hoặc x =
+ k2π.
6
6

 
1
1
Kiểm tra điều kiện: cos 2x = 1 − 2 sin x = 1 − 2
̸ 0 (Thỏa mãn).
= =
4
2
√
1
• Trường hợp 2: 2 cos x − 1 = 0 ⇐⇒ cos x = √
2
π
⇒ x = ± + k2π.
4
π
π
Kiểm tra điều kiện: Khi x = ± + k2π thì 2x = ± + k4π, suy ra cos 2x = 0 (Loại vì vi phạm
4
2
điều kiện).
2

Kết luận: Phương trình có nghiệm x =

5π
π
+ k2π và x =
+ k2π
6
6

(k ∈ Z).

Câu 12.
M

A
C
H
B
N
a) Chứng minh MH ⊥ (NBC):
Vì ∆ ⊥ (ABC) tại A, và M, N ∈ ∆ nên MA ⊥ (ABC) và NA ⊥ (ABC).
Tam giác ABC đều, H là trung điểm BC ⇒ AH ⊥ BC.
Ta có BC ⊥ AH và BC ⊥ MA ⇒ BC ⊥ (MAH). Mà MH ⊂ (MAH) ⇒ BC ⊥ MH.
\
Mặt khác, giả thiết cho M
HN = 90◦ ⇒ MH ⊥ HN.
Vì MH vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau là BC và HN trong (NBC), suy ra MH ⊥ (NBC).
(ĐPCM)
b) Tìm độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng MN:
Trong tam giác vuông ∆MAH và ∆NAH có chung đường cao tương ứng là AH đối với cạnh huyền
MN (do ∆MHN vuông tại H và A là hình chiếu của H lên MN).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác√vuông: AH 2 = AM · AN.
√
4 3
= 2 3 ⇒ AH 2 = 12. Vậy AM · AN = 12.
Tam giác ABC đều cạnh 4 ⇒ AH =
2
\
Vì M, N nằm trên đường thẳng ∆ và M
HN = 90◦ , A nằm giữa M và N. Độ dài MN = AM + AN.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:
√
√
√
MN = AM + AN ≥ 2 AM · AN = 2 12 = 4 3
9

√
Dấu "=" xảy ra khi AM = AN = 2√ 3.
Vậy độ dài ngắn nhất của MN là 4 3.
c) Chứng minh KK12 + KK22 + KK32 + KK42 ≥ 4:
M

z

B
O≡H

A

K

y

C
x
N
√
Thiết lập hệ trục tọa độ với H(0, 0, 0), B(−2, 0, 0), C(2, 0, 0), A(0, 2 3, 0). Đường thẳng ∆ song song
trục Oz.
√
√
khác phía nên mn = −12.
M(0, 2 3, m) và N(0, 2 3, n). Do AM · AN = 12 và √
Điểm K thay đổi trên AH ⇒ K(0, y, 0) với 0 < y < 2 3.
√
|ny|
.
• Phương trình mặt phẳng (NBC): ny − 2 3z = 0. Khoảng cách KK1 = √
n2 + 12
√
|my|
• Phương trình mặt phẳng (MBC): my − 2 3z = 0. Khoảng cách KK2 = √
.
m2 + 12
√
√
• Mặt phẳng (MNC)√chính là√mặt phẳng (NAC), có phương trình 3x + y − 2 3 = 0. Khoảng
|y − 2 3| 2 3 − y
=
.
cách KK3 =
2
2
√
√
• Mặt phẳng (MNB)√chính là√
mặt phẳng (NAB), có phương trình − 3x + y − 2 3 = 0. Khoảng
|y − 2 3| 2 3 − y
cách KK4 =
=
.
2
2
Tổng bình phương các khoảng cách:




m2
n
m
n2
2
2
2
2
KK1 + KK2 = y
+
=y
−
= y2
n2 − mn m2 − mn
n−m n−m
!2
√
2
3
−
y
1 √
= (2 3 − y)2
KK32 + KK42 = 2
2
2
Gọi tổng là S(y):

√
√
1
3
S(y) = y2 + (12 − 4 3y + y2 ) = y2 − 2 3y + 6
2
2
√
2 3
Đây là một parabol quay bề lõm lên trên, đạt giá trị nhỏ nhất tại y =
.
3
√ !
 
√
3 12
2 3
Thay vào hàm số: Smin =
−2 3
+ 6 = 2 − 4 + 6 = 4.
2 9
3
Vậy KK12 + KK22 + KK32 + KK42 ≥ 4. (ĐPCM)
10

Câu 13.
a) Chứng minh dãy số (un ) là dãy số giảm:
un−1
Dễ thấy với u1 = 2 > 0, theo quy luật un =
, ta có un > 0
(n − 1)un−1 + 1
Xét hiệu:
un − un−1 =

∀n ≥ 1.

un−1 − (n − 1)u2n−1 − un−1
−(n − 1)u2n−1
un−1
− un−1 =
=
(n − 1)un−1 + 1
(n − 1)un−1 + 1
(n − 1)un−1 + 1

Vì n ≥ 2 và un−1 > 0 nên tử số âm, mẫu số dương ⇒ un − un−1 < 0.
Vậy dãy số (un ) là dãy số giảm.
b) Chứng minh tổng < 1:
Từ hệ thức truy hồi, nghịch đảo 2 vế ta có:
(n − 1)un−1 + 1
1
1
1
1
=
= (n − 1) +
⇐⇒
−
= n−1
un
un−1
un−1
un un−1
Cộng vế theo vế từ k = 2 đến n:
1
1
n(n − 1)
− = 1 + 2 + · · · + (n − 1) =
un u1
2
1
1 n2 − n n2 − n + 1
2
⇒
= +
=
⇒ un = 2
un 2
2
2
n −n+1
Xét số hạng trong tổng cần tính:
2 − uk = 2 −

2k2 − 2k
2k(k − 1)
2
=
= 2
2
2
k −k+1 k −k+1 k −k+1

Suy ra:
2
2
uk
1
1
1
= k −k+1 =
=
−
2k(k − 1)
2 − uk
k(k − 1) k − 1 k
2
k −k+1
Tính tổng:
2026


2026 
uk
1
1
S= ∑
= ∑
−
2
−
u
k
−
1
k
k
k=2
k=2

 



1 1
1 1
1
1
1
2025
S=
−
+
−
+···+
−
= 1−
=
1 2
2 3
2025 2026
2026 2026
Vì

2025
< 1, nên ta có điều phải chứng minh. (ĐPCM)
2026

11