PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi
học sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1.

Cho hình chóp

có

và

. Góc giữa hai mặt phẳng

và

là góc nào sau đây?

Câu 2.

A. Góc

với

C. Góc

.

là trung điểm của

Cho hình lăng trụ
,
Khẳng định nào sau đây đúng?

.

Câu 3.

Câu 4.

.

B.

D. Góc

.
. Đặt

.

B.

Cho hai đồ thị
lượt cắt đồ thị

Từ

và
và

.

D.

.

, và

,

.

là

.

C.

.

D.

.

. Hàm số đã cho có bao

.

C.

.

D. .

cắt nhau tại điểm
tại các điểm

kẻ đường thẳng song song với trục

tích tam giác

,

B.

Cho hàm số
có đạo hàm
nhiêu điểm cực trị?
A.

Câu 5.

.

Tích các nghiệm của phương trình
A.

.

là trung điểm của

A.
C.

B. Góc

và

. Cho

lần

.

, cắt đồ thị

là diện tích tam giác

. Đường thẳng

. Tính

tại điểm

. Gọi
.

là diện

A.
Câu 6.

.

.

Số tập con của tập hợp gồm
A.

Câu 7.

B.
.

.

Câu 8.

.

B.

Trong không gian

D.

C.

.

D.

, cho hai điểm

nhỏ nhất. Giá trị của
A.

.

.

phần tử là

B.

Trong không gian

C.

;

.

và điểm

sao cho

là'

.

C. .

, cho hai điểm

,

D.

.

. Tìm tọa độ điểm

thỏa mãn

.
A.
Câu 9.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Diện tích rừng tự nhiên của nước ta năm 2021 xấp xỉ
ha. Giả sử tỉ lệ tăng diện tích
rừng tự nhiên hằng năm, kể từ năm 2021, là 0,7%/năm. Hỏi diện tích rừng tự nhiên của nước ta
vào năm 2025 xấp xỉ bằng bao nhiêu?
A.

.

Câu 10. Cho hàm số

B.

.

C.

.

D.

.

có đồ thị như hình dưới đây

Hãy chọn đáp án đúng
A. Hàm số nghịch biến trên

.

B. Hàm số đồng biến trên

và

C. Hàm số đồng biến trên

và

D. Hàm số nghịch biến trên
Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ

.
và

.
(đơn vị độ dài tính bằng kilômét), ra-đa phát hiện

một máy bay chuyển động với vận tốc và hướng không đổi từ điểm

đến điểm

trong thời gian 10 phút.Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay
trong 10 phút tiếp theo và đến điểm
A.

.

B.

thì

.

bằng

C.

.

D.

.

Câu 12. Thời gian (phút) truy cập internet mỗi buổi tối của một học sinh được cho trong bảng sau
Thời gian ( phút)
Số học sinh

3

12

15

24

.

D.

2

Khoảng tứ phân của mẫu số liệu ghép nhóm là
A.

.

B.

.

C.

.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi
câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S).
Câu 1.

Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau:

Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)

.

b) Đồ thị hàm số
cắt trục
c) Cực tiểu của hàm số bằng
Câu 2.

tại 3 điểm phân biệt.

d) Hàm số
đồng biến trên
.
Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 hai trường X và Y được
ghi lại ở bảng sau:
Thời gian (phút)

Câu 3.

Số học sinh trường X

8

10

13

10

9

Số học sinh trường Y

4

12

17

14

3

a) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.
b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường X có tốc độ viết đồng đều hơn.
c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là 1,08 và phương sai của mẫu số liệu
ghép nhóm của trường Y là 1,7584.
d) Nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường Y viết nhanh hơn.
Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào
thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong bày kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp
có dạng hình chóp
với đáy là hình vuông
tâm
và cạnh đáy dài
, các

cạnh bên bằng nhau và dài

(kích thước hiện nay). (Theo britannica.com). Biết căn

phòng chứa đựng thông tin khảo cổ có dạng hình lập phương với thể tích
ngay tại trung
tâm, có cạnh đáy song song với cạnh đáy của kim tự tháp và
cũng là tâm của mặt sàn căn
phòng. Các nhà khảo cổ muốn tạo một lỗ khoan từ bên ngoài vào căn phòng này.

Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau:
a) Chiều dài nhỏ nhất của lỗ khoan mà các nhà khảo cổ muốn tạo bằng 90 mét (làm tròn đến
hàng đơn vị).
b) Kim tự tháp có hình dạng là một hình chóp đều.
c) Chiều cao của kim tự tháp là

.

d) Phần không gian mà kim tự tháp chiếm chỗ là
Câu 4. Trong hệ tọa độ

(làm tròn đến hàng đơn vị).

đơn vị mỗi trục là mét, mặt sàn là mặt

, trục

hướng lên trên, hai

bức tường (1) và (2) nằm lần lượt trên các mặt phẳng

và

được chiếu từ điểm

trên bức tường (1), tia sáng này phản xạ tại

xuyên qua một lỗ nhỏ tại

điểm
trên mặt sàn rồi đến bức tường (2) tại điểm
cùng tạo với mặt sàn các góc bằng nhau. Khi đó

a) Tung độ điểm
b) Nếu

là
thì

cách lỗ

. Theo tính chất phản xạ, ta có

và

.
.

c) Hình chiếu vuông góc của điểm
d) Biết điểm

(tham khảo hình vẽ). Một tia Laze

trên mặt sàn

một khoảng là

là điểm

(mét) và

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

.
thì

.

Câu 1.

Cho tứ diện

có

. Một mặt phẳng

của tứ diện và cắt các cạnh

,

,

lần lượt tại

thay đổi luôn đi qua trọng tâm
,

,

. Tính giá trị của biểu thức

.
Câu 2.

Một cây cầu có dạng cung
của đồ thị hàm số
độ với đơn vị trục là mét như ở hình dưới đây:

và được mô tả trong hệ trục tọa

Một xà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với chiều rộng của khối hàng
hóa đó là

sao cho xà lan có thể đi qua được gầm cầu (trục

nằm trên mặt sàn của xà

lan), để đảm bảo an toàn thì vị trí cao nhất của thùng hàng cách mép dưới cầu
(Thẳng vị
trí cao nhất hướng lên). Tính chiều cao tối đa của khối hàng hóa đó để xà lan có thể đi qua được
gầm cầu (làm tròn đến hàng phần trăm).

Câu 3.

Trong không gian

, một bức tường hình chữ nhật

vuông góc với mặt phẳng
là mặt đất, trục

với hai điểm

có chiều cao
và

được dựng

. Giải sử rằng mặt phẳng

hướng lên trên và mỗi đơn vị trên hệ thống ứng với

. Một trạm

phát sóng được đặt tại điểm
. Trạm phát sóng phát ra các sóng thẳng và truyền mọi
hướng nhưng khi gặp bức tường thì bị chắn lại vì có một vùng sau bức tường không có sóng.
Một chất điểm bắt đầu chuyển động thẳng đều trong mặt phẳng

Câu 4.

từ điểm

qua gốc tọa độ đến chân tường với vận tốc
. Tính thời gian theo giây từ lúc chất điểm
bắt đầu đi vào vùng mất sóng đến lúc chất điểm chạm vào chân tường và quay về vị trí ban đầu,
giả thiết độ dày của bức tường không đáng kể (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Hình bên mô tả một mặt cắt ngang của một tòa nhà cao tầng.

Một chiếc thang xe cứu hỏa lên đến mặt đường phía trước của tòa nhà phải vượt qua phần
mái che cao

so với mặt đất và vùng mái nhô ra

so với tường. Giả sử, độ cao từ mặt

sàn đặt thang của xe cứu hỏa là
, hãy tính độ dài ngắn nhất của chiếc thang để lính cứu
hỏa có thể thực hiện nhiệm vụ này (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Câu 5.

Câu 6.

Hai thí sinh
và
cùng tham gia một cuộc thi vấn đáp. Cán bộ coi thi đưa cho mỗi thí sinh
một bộ câu hỏi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức
giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì để xác định câu hỏi của
mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi của các thí sinh là như nhau. Hai phòng bì được gọi là giống
nhau nếu chứa cùng một câu hỏi. Xác suất để 3 phong bì
chọn và 3 phong bì
chọn có ít
nhất hai phong bì giống nhau là
(trong đó
là phân số tối giản và
). Tính
.
Bác Bình có một chậu cảnh trồng hoa hình chóp cụt tứ giác đều với chiều cao 30 cm, cạnh đáy
lần lượt là 20 cm và 40 cm.

Bác Bình đổ đất vào chậu để tiến hành trồng, chiều cao của đất bằng
Tính thể tích lượng đất bác Bình đã đổ vào chậu theo
mười).

chiều cao của chậu.

(làm tròn kết quả đến hàng phần

HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1.

Cho hình chóp

có

và

. Góc giữa hai mặt phẳng

và

là góc nào sau đây?
A. Góc

với

C. Góc

.

là trung điểm của

.

B. Góc

.

D. Góc

.

Lời giải

Theo giả thiết

.

Do

.

Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng
và là góc
Câu 2.

A.

Ta có:

là góc giữa hai đường thẳng

và

.

Cho hình lăng trụ
,
Khẳng định nào sau đây đúng?

C.

và

là trung điểm của

B.
.

D.
Lời giải

. Đặt

,

,

.
.

.

.

Câu 3.

Tích các nghiệm của phương trình
A.

.

B.

là

.

C. .
Lời giải

D.

Ta có

.

Theo Viet, ta có
Câu 4.

.

Cho hàm số
có đạo hàm
nhiêu điểm cực trị?
A.

.

B.

. Hàm số đã cho có bao

.

C. .
Lời giải

D. .

Ta có

.

Do
Câu 5.

có

nghiệm, trong đó

Cho hai đồ thị

và

lượt cắt đồ thị

Từ

và

tại các điểm

, và

.

là nghiệm kép nên hàm số

cắt nhau tại điểm

kẻ đường thẳng song song với trục

tích tam giác
A.

.

và

.

C.
Lời giải

là giao điểm

Điểm

là giao điểm

. Tính
.

.
.

. Gọi
.

D.

và
và

. Đường thẳng

tại điểm

Với
Điểm

cực trị.
lần

.

, cắt đồ thị

là diện tích tam giác
B.

. Cho

có

.

là diện

Điểm

là giao điểm của

Ta có

,

và

.
,

và

.

.

D.

.
.

Xét

.

Do đó,
Câu 6.

.

Số tập con của tập hợp gồm
A.

.

phần tử là

B.

.

Số tập con của tập hợp gồm
Câu 7.

Trong không gian

C.
Lời giải
phần tử là

A.

.

.

, cho hai điểm

nhỏ nhất. Giá trị của
B.

.

;

và điểm

sao cho

là'

.

C. .
Lời giải

D.

Ta có

.

.
.

Ta có

nên

Dấu bằng xảy ra
Câu 8.

.

.

Trong không gian

, cho hai điểm

,

. Tìm tọa độ điểm

thỏa mãn

.
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Do
Câu 9.

nên

là trung điểm đoạn thẳng

.

Diện tích rừng tự nhiên của nước ta năm 2021 xấp xỉ
ha. Giả sử tỉ lệ tăng diện tích
rừng tự nhiên hằng năm, kể từ năm 2021, là 0,7%/năm. Hỏi diện tích rừng tự nhiên của nước ta
vào năm 2025 xấp xỉ bằng bao nhiêu?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Ta có diện tích rừng tự nhiên của nước ta vào năm 2025
.
Câu 10. Cho hàm số

có đồ thị như hình dưới đây

Hãy chọn đáp án đúng
A. Hàm số nghịch biến trên

.

B. Hàm số đồng biến trên

và

C. Hàm số đồng biến trên

và

D. Hàm số nghịch biến trên

.
và

.
Lời giải

Từ đồ thị hàm số suy ra hàm số nghịch biến trên
Câu 11. Trong không gian với hệ trục tọa độ

và

.

(đơn vị độ dài tính bằng kilômét), ra-đa phát hiện

một máy bay chuyển động với vận tốc và hướng không đổi từ điểm

đến điểm

trong thời gian 10 phút.Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay
trong 10 phút tiếp theo và đến điểm

thì

bằng

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Trong 10 phút đầu, máy bay đi từ

đến

, nên vectơ chuyển động là:

.
Do máy bay giữ nguyên vận tốc và hướng bay, nên trong 10 phút tiếp theo, máy bay tiếp tục
dịch chuyển thêm một vectơ:

.
Câu 12. Thời gian (phút) truy cập internet mỗi buổi tối của một học sinh được cho trong bảng sau

Thời gian ( phút)
Số học sinh

3

12

15

24

.

D.

2

Khoảng tứ phân của mẫu số liệu ghép nhóm là
A.

.

B.

.

C.

.

Lời giải
Bảng tần số tích lũy
Thời gian ( phút)
Số học sinh

3

12

15

24

2

Tần số tích lũy

3

15

30

54

56

Ta có

.

Tứ phân vị thứ nhất thuộc lớp

.

Ta có

.

Tứ phân vị thứ ba thuộc lớp

.
Khoảng tứ phân vị là
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi
câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S).
Câu 1.

Cho hàm số

có bảng biến thiên như sau:

Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a)

.

b) Đồ thị hàm số
cắt trục
c) Cực tiểu của hàm số bằng
d) Hàm số

tại 3 điểm phân biệt.

đồng biến trên

.

Lời giải

a) ĐÚNG
Dựa vào bảng biến thiên ta có:

.

b) ĐÚNG
Dựa vào hàm số ta có: hàm số có cực đại tại
trục hoành tại

điểm phân biệt.

c) SAI
d) ĐÚNG
Ta có:
.
Ta có bảng biến thiên sau đây:

và điểm cực tiểu là

nên hàm số cắt

Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng
Câu 2.

.

Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của một số học sinh lớp 4 hai trường X và Y được
ghi lại ở bảng sau:
Thời gian (phút)
Số học sinh trường X

8

10

13

10

9

Số học sinh trường Y

4

12

17

14

3

a) Nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.
b) Nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì học sinh trường X có tốc độ viết đồng đều hơn.
c) Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm của trường X là 1,08 và phương sai của mẫu số liệu
ghép nhóm của trường Y là 1,7584.
d) Nếu so sánh theo số trung bình thì học sinh trường Y viết nhanh hơn.
Lời giải
Bảng số liệu và các giá trị đặc trưng
Để giải bài toán này, ta xác định giá trị đại diện
(trung điểm các khoảng) và tần số (
hai trường. Tổng số học sinh mỗi trường là
.
Khoảng thời gian

Giá trị đại diện (xi)

Trường X (nXi)

a) ĐÚNG
Trường X:
.

Trường Y (nYi)

) của

Độ lệch chuẩn:
Trường Y:

.

Độ lệch chuẩn:
Vì

.

nên tốc độ viết của học sinh trường Y đồng đều hơn.

b) SAI
Trường X:
thuộc nhóm

:

thuộc nhóm

:

Trường Y:
thuộc nhóm
thuộc nhóm

Vì

:
:

nên theo tiêu chí này, trường Y vẫn đồng đều hơn trường X.

c) SAI
Dựa vào kết quả tính toán:
và
.
Số liệu trong nhận định bị đảo ngược giá trị giữa hai trường.
d) ĐÚNG
Số trung bình ( )
Trường X:
Trường Y:

Vì thời gian trung bình để hoàn thành bài viết của trường Y (

) nhỏ hơn trường X (

), nên tính trung bình học sinh trường Y viết nhanh hơn.
Câu 3.

Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào
thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong bày kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp
có dạng hình chóp
với đáy là hình vuông
tâm
và cạnh đáy dài
, các
cạnh bên bằng nhau và dài
(kích thước hiện nay). (Theo britannica.com). Biết căn
phòng chứa đựng thông tin khảo cổ có dạng hình lập phương với thể tích
ngay tại trung
tâm, có cạnh đáy song song với cạnh đáy của kim tự tháp và
cũng là tâm của mặt sàn căn
phòng. Các nhà khảo cổ muốn tạo một lỗ khoan từ bên ngoài vào căn phòng này.

Xét tính đúng-sai của các mệnh đề sau:
a) Chiều dài nhỏ nhất của lỗ khoan mà các nhà khảo cổ muốn tạo bằng 90 mét (làm tròn đến
hàng đơn vị).
b) Kim tự tháp có hình dạng là một hình chóp đều.
c) Chiều cao của kim tự tháp là

.

d) Phần không gian mà kim tự tháp chiếm chỗ là
Lời giải
Mô hình hoá bài toán ta được hình vẽ minh hoạ sau:

(làm tròn đến hàng đơn vị).

a) ĐÚNG
Để mũi khoan có chiều dài ngắn nhất, các nhà khảo cổ phải khoan từ mặt bên vào vị trí cạnh
của khối lập phương (căn phòng).
Khoảng cách ngắn nhất là khoảng cách từ một điểm thuộc cạnh trên của khối lập phương đến
mặt bên.

Gọi

là trung điểm của cạnh

đến mặt bên
Trong tam giác

. Kẻ

vuông góc với

,

là đường cao, ta có:

, suy ra

là khoảng cách từ

.
vuông tại

.

Gọi
.

là hình chiếu của

trên

Khối lập phương có độ dài cạnh
Ta có:

, qua

kẻ đường thẳng song song với

, cắt

tại

.

, suy ra:

Suy ra:

.
.

Vậy khoảng cách ngắn nhất:
b) ĐÚNG

.

Hình chóp
có đáy là đa giác đều (hình vuông), có các cạnh bên bằng nhau, suy ra kim
tự tháp có hình dạng là một hình chóp đều.
c) SAI
Xét

vuông tại

, ta có:

Xét

vuông tại

, ta có:

.

Vậy chiều cao của kim tự tháp là khoảng
mét.
d) ĐÚNG
Phần kim tự tháp chiếm chỗ trong không gian là phần thể tích của kim tự tháp bằng thể tích của
khối chóp
Ta có:

.

Câu 4.
Trong hệ tọa độ

đơn vị mỗi trục là mét, mặt sàn là mặt

bức tường (1) và (2) nằm lần lượt trên các mặt phẳng
tia Laze được chiếu từ điểm
này phản xạ tại điểm
phản xạ, ta có
và

xuyên qua một lỗ nhỏ tại

, trục
và

hướng lên trên, hai

(tham khảo hình vẽ). Một
trên bức tường (1), tia sáng

trên mặt sàn rồi đến bức tường (2) tại điểm
cùng tạo với mặt sàn các góc bằng nhau. Khi đó

. Theo tính chất

a) Tung độ điểm

là

b) Nếu

.

thì

.

c) Hình chiếu vuông góc của điểm
d) Biết điểm
Vì

cách lỗ

một khoảng là

nằm trên mặt sàn

Gọi

mặt phẳng

.
thì

.

.

qua mặt sàn

. Vì

thẳng hàng nên điểm

nên

.

chính là giao điểm của đường thẳng

với

.

Ta có véc tơ

.

Phương trình tham số của đường thẳng
là giao điểm của
Thay
a) SAI

là điểm

(mét) và
Lời giải

nên

là điểm đối xứng của

Ta thấy 3 điểm

trên mặt sàn

là

với mặt phẳng

nên

vào phương trình đường thẳng, ta được tọa độ điểm

là

Tọa độ điểm
b) ĐÚNG
.
c) Hình chiếu của
d) ĐÚNG

trên mặt sàn

Tia laze truyền từ

, do đó

Ta có véc tơ
nằm trên đường thẳng

(m).
và

) phải là điểm

thẳng hàng theo thứ tự đó.

.

Độ dài đoạn
Vì

(mặt phẳng

nằm giữa

.

.

Ta có véc tơ

ngược hướng với

Suy ra

:

nên

.

Tổng

.

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Học sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Câu 1.

Cho tứ diện

có

. Một mặt phẳng

của tứ diện và cắt các cạnh

,

.

,

lần lượt tại

thay đổi luôn đi qua trọng tâm
,

,

. Tính giá trị của biểu thức

Lời giải

Đáp án: 0,8
Vì G là trọng tâm tứ diện SABC nên ta có tính chất:
điểm tùy ý.
Áp dụng tính chất trên cho điểm

, với M là

ta có:

.

.
Đặt

,

,

.
.

Vì bốn điểm

đồng phẳng nên ta có:

.
.

Câu 2.

Một cây cầu có dạng cung
của đồ thị hàm số
độ với đơn vị trục là mét như ở hình dưới đây:

và được mô tả trong hệ trục tọa

Một xà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với chiều rộng của khối hàng
hóa đó là

sao cho xà lan có thể đi qua được gầm cầu (trục

nằm trên mặt sàn của xà

lan), để đảm bảo an toàn thì vị trí cao nhất của thùng hàng cách mép dưới cầu
(Thẳng vị
trí cao nhất hướng lên). Tính chiều cao tối đa của khối hàng hóa đó để xà lan có thể đi qua được
gầm cầu (làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải
Đáp án: 3,51
Hai vị trí

và

là hai vị trí chân cầu, tại hai vị trí này ta có:

Quan sát đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số
nhau với

cắt trục hoành tại điểm

và

liên tiếp

.

Xét

, ta có

Xét

, ta có

;
.

Mà
là hoành độ của , do đó
là hoành độ của điểm .
Vì khối hàng hoá trên xà lan được xếp thành hình hộp chữ nhật nên mặt cắt đứng của khối hàng
hoá đó là một hình chữ nhật.
Xét một hình chữ nhật

với

thuộc trục

và

như hình vẽ.

Gọi

,

suy ra

Khi đó
Ta có:

Vì
Mặt khác

,

.

.

nên suy ra

.

nên ta có nên ta có hệ phương trình:

(m);

thuộc cung

(m).
Vì để xà lan có thể đi qua được gầm cầu một các an toàn thì vị trí cao nhất của thùng hàng
cách mép dưới cầu
Câu 3.

Trong không gian

nên chiều cao tối đa của khối hàng hoá là
, một bức tường hình chữ nhật

vuông góc với mặt phẳng
là mặt đất, trục

với hai điểm

mét.

có chiều cao
và

được dựng

. Giải sử rằng mặt phẳng

hướng lên trên và mỗi đơn vị trên hệ thống ứng với

. Một trạm

phát sóng được đặt tại điểm
. Trạm phát sóng phát ra các sóng thẳng và truyền mọi
hướng nhưng khi gặp bức tường thì bị chắn lại vì có một vùng sau bức tường không có sóng.
Một chất điểm bắt đầu chuyển động thẳng đều trong mặt phẳng

từ điểm

qua gốc tọa độ đến chân tường với vận tốc
. Tính thời gian theo giây từ lúc chất điểm
bắt đầu đi vào vùng mất sóng đến lúc chất điểm chạm vào chân tường và quay về vị trí ban đầu,
giả thiết độ dày của bức tường không đáng kể (kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Lời giải
Đáp án: 21,1

Có

phương trình đường thẳng

Theo giả thiết, ta có

.

.

Có

phương trình đường thẳng

Gọi

.

Có

là

.

phương trình đường thẳng

Gọi

là

.

.

Do đó, vùng mất sóng là tứ giác

Có

là

nằm trên mặt phẳng

phương trình đường thẳng

là

.

.

Gọi

Ta có

, có hệ phương trình

phương trình đường thẳng

Gọi
, có hệ phương trình
Do đó, chất điểm bắt đầu đi vào vùng mất sóng tại điểm

.

là

.

.
, chạm tường tại điểm

và trở về

.
Quãng đường chất điểm di chuyển là

Câu 4.

.

Vậy thời gian chất điểm di chuyển là
.
Hình bên mô tả một mặt cắt ngang của một tòa nhà cao tầng.

Một chiếc thang xe cứu hỏa lên đến mặt đường phía trước của tòa nhà phải vượt qua phần
mái che cao

so với mặt đất và vùng mái nhô ra

so với tường. Giả sử, độ cao từ mặt

sàn đặt thang của xe cứu hỏa là
, hãy tính độ dài ngắn nhất của chiếc thang để lính cứu
hỏa có thể thực hiện nhiệm vụ này (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).
Lời giải
Đáp án: 29,3
Gọi
là điểm đặt thang trên xe cứu hỏa,
lần lượt là điểm tiếp xúc của thang với tòa nhà
và mái che. Và được mô hình hóa bằng hình vẽ bên dưới.

Đặt

. Ta có

Có

.

Do đó, có độ dài thang là

Xét hàm số

Có

trên

.

.
.

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên, ta có

.

Vậy độ dài ngắn nhất của chiếc thang để có thể thực hiện nhiệm vụ là

m.

Câu 5.

Hai thí sinh
và
cùng tham gia một cuộc thi vấn đáp. Cán bộ coi thi đưa cho mỗi thí sinh
một bộ câu hỏi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức
giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì để xác định câu hỏi của
mình. Biết rằng bộ 10 câu hỏi của các thí sinh là như nhau. Hai phòng bì được gọi là giống
nhau nếu chứa cùng một câu hỏi. Xác suất để 3 phong bì
chọn và 3 phong bì
chọn có ít
nhất hai phong bì giống nhau là

(trong đó
là phân số tối giản và
Lời giải

). Tính

.

Đáp án: 3721
* Số cách bạn
Số cách bạn

chọn ra 3 trong 10 phong bì bất kì là:
chọn ra 3 trong 10 phong bì bất kì là:

Số phần tử của không gian mẫu là:
* Gọi
là biến cố: " 3 phong bì
nhau"

cách.
cách.
.

chọn và 3 phong bì

chọn có ít nhất hai phong bì giống

TH1:

và

chọn được hai phong bì giống nhau, số cách chọn là

TH2:

và

chọn được cả ba phong bì giống nhau, số cách chọn là

Tổng số cách chọn thoả mãn yêu cầu bằng

.
.

.

Xác suất

Câu 6.

.
Bác Bình có một chậu cảnh trồng hoa hình chóp cụt tứ giác đều với chiều cao 30 cm, cạnh
đáy lần lượt là 20 cm và 40 cm.

Bác Bình đổ đất vào chậu để tiến hành trồng, chiều cao của đất bằng
Tính thể tích lượng đất bác Bình đã đổ vào chậu theo
mười).
Lời giải
Đáp án: 14,5

chiều cao của chậu.

(làm tròn kết quả đến hàng phần

+ Gọi

,

lần lượt là trung điểm hai cạnh đối của đáy lớn của chậu.

Gọi

,

lần lượt là trung điểm hai cạnh đối của đáy nhỏ của chậu.

Gọi

,

lần lượt là trung điểm hai cạnh đối của đáy lớn của chóp cụt, phần chứa đất.

(
Gọi

,

,
,

,

, ,

cùng thuộc 1 mặt phẳng).

lần lượt là trung điểm của

,

là chiều cao của chậu.

.
.
+ Từ giả thiết, suy ra

,

.
.

.
+ Đáy nhỏ chậu có cạnh bằng 20cm nên diện tích đáy nhỏ là

.

Mặt trên của phần chứa đất là hình vuông cạnh bằng

nên diện tích là

.
Chiều cao của phần chứa đất là

.

Thể tích lượng đất đã đổ vào chậu:

.

ĐỀ THI THỬ TN THPT 2026
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 90 phút

PHẦN I. Trắc nghiệm nhiều lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ
chọn
một phương án.

Câu 1.

Câu 2.

Câu 3.

Cho hàm số

. Khi đó

A. .

B.

Cho cấp số nhân

có

A.

B.

.

.

C.
. Số hạng

.

.

.

.

D.

.

B.

.

D.

Cho hình hộp

( hình vẽ) phát biểu nào sau đây đúng?

A.

.

B.

C.

.

D.

Cho hình chóp

có đáy

góc với đáy

A.
Câu 6.

D.

Mệnh đề nào sau đây sai?

C.

Câu 5.

.

của cấp số nhân bằng

C.

A.

Câu 4.

bằng.

là hình chữ nhật kích thước

và

.

B.

.

.

B.

vuông

Thể tích khối chóp là

.

C.

.

Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 12.
số nguyên tố . Khi đó tập
bằng
A.

. Biết

. C.

D.
là biến cố
.

D.

số lấy được là
.

Câu 7.

Với

là hằng số thì họ các nguyên hàm của hàm số

A.
Câu 8.

.

B.

.

Trong không với hệ

C.

Câu 9.

.

Cho hàm số

.

D.

cho mặt phẳng

một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
A.

là
.

. Véc tơ nào sau đây là

?

B.

.

C.

.

D.

.

có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A.
Câu 10.

.

B.

Cho hàm số

.

liên tục trên

C.

.

D.

.

và có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đạt cực đại tại
A.
Câu 11.

.

.

C.

.

D.

.

Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của Elip?
A.

Câu 12.

B.

.

B.

.

Nghiệm của phương trình
A.

.

B.

C.

.

D.

.

D.

.

.

là

.

C.

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở
mỗi
câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1.

Cho hàm số

.

a) Đạo hàm của hàm số đã cho là
b) Trên đoạn

, phương trình

.
có nghiệm là

.

c)

Câu 2.

và

.

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số
trên đoạn
là
.
Để xác định vị trí của một máy bay đang bay, người ta gắn một hệ trục tọa độ không gian
trong đó gốc tọa độ
đặt tại một sân bay. Biết rằng cao độ của tọa độ máy bay
chính là độ cao của máy bay so với mặt đất. Đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là
.
Một máy bay đang bay với quỹ đạo là một đường thẳng trong