UBND XÃ
(Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ THI KỲ THI HSG CẤP XÃ LỚP 7
Năm học: 2025 - 2026
Môn: Toán
Thời gian làm bài 120 phút

Câu 1. (4,0 điểm).

a )Tính :

;

b) Cho

. Tính 2026B

Câu 2. (4 điểm)
a) Tìm

biết :

b) Cho
đôi một khác nhau và khác 0, biết
là số nguyên tố và
Tìm số
Câu 3. (4,0 điểm)
a) Trong đợt quyên góp tết vì người nghèo năm 2026, học sinh ba khối 6; 7; 8
của một trường THCS trên địa bàn xã Phúc Lộc đã quyên góp được tổng cộng 15
800 000 đồng. Biết rằng số tiền quyên góp của khối 6 và khối 7 tỉ lệ nghịch với
và ; số tiền quyên góp của khối 7 và khối 8 tỉ lệ thuận với 7 và 6. Tính số tiền
quyên góp được của mỗi khối.
b) Trong một hộp thưởng chứa 5 quả bóng xanh , 20 quả bóng trắng, n quả bóng
màu đỏ, các quả bóng có cùng kích thước. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng. Biết xác
suất lấy được quả bóng màu đỏ là

. Tính số quả bóng màu đỏ.

Câu 4. ( 6 điểm )
1. Cho tam giác ABC có ABthẳng vuông góc với tia phân giác của góc BAC tại N và cắt AB tại C, cắt AC tại
F.
a. Chứng minh :
b. Chứng minh rằng:
2. Cho tam giác ABC có góc ABC bằng
, góc
. Trên tia đối của tia
CB lấy điểm D sao cho CD=2CB. Tính góc ADB.
Câu 5. (2,0 điểm).
a) Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn: a2 + b2 = c2 – 2025d2.
Chứng minh rằng: a + b + c + d là hợp số.
b) Cho hai số nguyên tố khác nhau p,q chứng minh rằng:

.
……………..Hết…………………
KỲ THI HSG CẤP XÃ LỚP 7
Bài
1.a
(2điểm)

HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7, NĂM HỌC 2025-2026
Đáp án

Điểm
1đ

Ta có

1đ

1.b
(2điểm)

Ta có

0,5đ

+) Đặt
+) Tính tổng

ta được

, thay vào B ta được:

1,0đ
0,5đ

2.a
(2điểm)

+) 2026B = 20261 = 2026
Ta có:
Vì

0,5đ

suy ra
suy ra

suy ra (x – 2026)2 = 1 hoặc (x – 1,0đ

2026)2=0
0,5đ

Suy ra y2 = 17 hoặc y2 = 25 suy ra y = 5
Vậy
2.b
(2 điểm)
Ta có:

. Theo giải thiết:

suy ra

0,5đ

0,5đ

Dễ thấy
Vì

0,25đ

suy ra

0,25 đ

là số nguyên tố nên ta có:

+) Nếu

0,25 đ

suy ra ac =1 suy ra a = c = 1 ( loại)

+) Nếu

(loại)

Vì
là số nguyên tố nên
mãn
+) Nếu

suy ra

+) Nếu

suy ra

suy ra
suy ra
suy ra

Thử lại thấy thỏa

0,25 đ

(loại)
(loại)

Vậy
3.a
( 2điểm)

Gọi số tiền quyên góp được của khối 6; 7; 8 lần lượt là

0,5đ

Theo đề bài ta có:

0,5đ

suy ra
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

0,5đ
0,5đ

Suy ra
Vậy số tiền quyên góp được của khối 6; 7; 8 lần lượt là 2 800 000 đồng
7 000 000 đồng; 6 000 000 đồng.
3.b
(2 điểm)

Tổng số quả bóng trong hộp là n + 25
Xác suất lấy được quả bóng màu đỏ là
Suy ra n = 75
Vậy số quả bóng màu đỏ là 75 quả

0,5đ
nên ta có:

1,0đ
0,5đ

4.a
(2,0điểm)

A

F
B
N

K

C

M

E

a. Xét

và

có:

(GT)
Cạnh: AN chung

2,0đ

Suy ra:
4.b
(2,0điểm)

b. Kẻ BK // AC (
)
Xét hai tam giác:
và
Có:
(đối đỉnh)
Cạnh: MB = MC
( so le trong)
Suy ra:
=
(g.c.g) suy ra: BK = FC ( 1)
Mặt khác: theo câu a:
suy ra

0,5đ

( 2 góc tương ứng)

Mà
( đồng vị) suy ra
Cân tại B suy ra BK = BE ( 2)
Từ (1)và (2) suy ra BE = CF(*)

suy ra

0,5đ
0,5đ

Mà:

0,5đ
Vì AE = AF nên từ (*) và (**)
Suy ra:

suy ra

(đpcm)

4.2( 2điểm)

A

H

B

D

C

Kẻ DH vuông góc với AC tại H. Ta có góc ACB = 120 0 suy ra góc
ACD = 60 . do đó góc CDH = 30 ; suy ra:
, Mà CD =
2BC suy ra CH = BC suy ra tam giác CBH cân tại C. suy ra:
0

0

1,0đ

suy ra
= 15 .
0

Ta lại có:
= 180 suy ra
= 15 suy ra góc HBA
0
= góc HAB = 15 suy ra tam giác HAB cân tại H suy ra HB=HA(1)
Xét tam giác HBD có góc HAD = góc HDB = 30 0 suy ra:
HBD
cân tại H nên HB=HD (2)
Từ (1) và (2) suy ra: HA=HD nên tam giác BAD vuông cân tại H
suy ra góc ADH = 450 suy ra góc ADC = 450+300 = 750.
0

5.a( 1điểm)

5.b( 1điểm)

2

2

2

0

1,0đ

2

a ¿ Ta có :a +b =c −2025 d
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
⇒ a +b +c +d =c −2025 d + c +d =2c −2024 d ⋮ 2
⇒a 2+ b2+ c 2+ d 2⋮ 2 (1)
Xét hiệu: ( a 2+ b2 +c 2+ d 2 )−( a+b+c +d )
¿ a ( a−1 ) +b ( b−1 ) +c ( c−1 ) +d ( d−1 ) .
Vìa ( a−1 ) ;b ( b−1 ) ; c ( c−1 ) ; d ( d−1 )
đều là tích của haisố tự nhiênliên tiếp nên chia hết cho 2.
2
2
2
2
Suy ra hiệu ( a +b + c + d ) −( a+ b+c +d ) chiahết cho 2(2)
Từ (1) và (2) suy ra ( a+ b+c +d ) ⋮ 2 , mà a + b +c + d > 2 nên a + b +c

+ d là hợp số.
Vì P là số nguyên tố nên theo định lí Fecma nhỏ ta có:
mà

suy ra:

Chứng minh tương tự:

0,5
0,5

(1)

0,5đ

suy ra

0,5đ

(2)

Vì (p;q)=1 nên từ (1) và (2) suy ra:
suy ra

( đpcm)