SẢN PHẨM NHÓM I
PHẦN I. Từ câu 1 đến câu 12, mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Nguyên hàm của hàm số
A.

.

B.

Câu 2: Cho hàm số
thị hàm số
A.

là
.

C.

liên tục trên đoạn

.

B.

.

.

. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ

, trục hoành và hai đường thẳng
.

D.

được tính theo công thức

C.

.

D.

.

Câu 3: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một cửa hàng
được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới
đây?
A.

.

B.

Câu 4: Trong không gian
phương trình là

.

C.

, cho hai điểm

.

D.

và

. Đường thẳng

A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

Câu 5: Cho hàm số

.
có

có bảng biến thiên như sau:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình:
A.
Câu 6: Với
A.

.

B.

.

C.

là số thực dương tùy ý,
.

B.

.

D.

.

bằng
.

C.

.

D.

.

Câu 7: Trong không gian

, cho mặt cầu

. Tâm của

có tọa độ là
A.

.

B.

.

C.

.

D.

Câu 8: Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
góc với đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

.

B.

.

Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình
A.

C.

, cạnh bên
.

D.

C.

với

vuông
.

là:

B.

Câu 10: Cho cấp số nhân

.

và công bội

D.
. Tìm số hạng thứ

của cấp

số nhân?
A. .
B.
Câu 11: Cho hình lập phương
đây sai?

A.

.

C.
.
D. .
(minh họa như hình bên). Mệnh đề nào sau

.

C.

B.

.

Câu 12: Cho hàm số

.

D.

.

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí
sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số
a)

.
.

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là

.

c) Nghiệm của phương trình
d) Giá trị nhỏ nhất của

trên đoạn
trên đoạn

là
là

hoặc

.

.

Câu 2: Một ô tô bắt đầu chuyển động thẳng nhanh dần đều với tốc độ
trong đó là thời gian tính bằng giây kể từ khi ô tô bắt đầu chuyển động. Đi được 6 (s)
người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần
đều với gia tốc

.

a) Tốc độ của ô tô tại thời điểm 10 (s) tính từ lúc xuất phát là 10
.
b) Quãng đường ô tô chuyển động được trong 6 giây đầu tiên là
.
c) Quãng đường (đơn vị: mét) mà ô tô chuyển động được kể từ lúc bắt đầu đạp
phanh đến khi dừng lại được tính theo công thức
.
d) Quãng đường ô tô chuyển động được kể từ lúc bắt đầu chuyển động cho đến khi
dừng lại là
Câu 3: Một công ty đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là
thắng thầu của dự án 2 là
. Khả năng thắng thầu cả 2 dự án là
.
Gọi

là biến cố: “Thắng thầu dự án 1”

Gọi

là biến cố: “Thắng thầu dự án 2”.

và khả năng

Khi đó:
a)

và

là hai biến cố độc lập.

b) Xác suất để công ty thắng thầu đúng 1 dự án bằng

.

c) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1 là
.
d) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1 là

Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm
A ( 10 ; 3 ; 0 ) và chuyển động đều theo đường cáp có véc tơ chỉ phương u⃗ =( 2;−2 ; 1 ) (hướng
chuyển động cùng chiều với hướng véc tơ u⃗ với tốc độ là
mét).

(đơn vị trên mỗi trục là

a) Phương trình tham số của đường cáp là:
b) Giả sử sau thời gian t (s) kể từ khi xuất phát (t ≥ 0), cabin đến điểm M. Khi đó tọa độ
điểm M là M ¿ ).
c) Cabin dừng ở điểm B có hoành độ x B =550, khi đó quãng đường AB dài 800m.
d) Đường cáp AB tạo với mặt phẳng ( Oxy ) một góc 300

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1: Cho tứ diện đều
có cạnh . Khoảng cách giữa hai đường thẳng
bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

và

Câu 2:
Một người đưa thư xuất phát từ bưu điện ở vị trí A, các
điểm cần phát thư nằm dọc các con dường cần đi qua.
Biết rằng người này phải đi trên mỗi con đường ít nhất
một lần (để phát được thư cho tất cả các điểm cần phát
nằm dọc theo con đường đó) và cuối cùng quay lại điểm
xuất phát. Độ dài các con đường như hình vẽ (đơn vị độ
dài). Hỏi tổng quãng đường người đưa thư có thể đi ngắn
nhất có thể là bao nhiêu ?
Câu 3: Khi gắn hệ tọa độ
mặt phẳng

(đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay,

trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí

đến vị trí
và hạ cánh tại vị trí
nhiêu (viết kết quả dưới dạng số thập phân)?

Giá trị của

bằng bao

Câu 4: Một bể chứa nhiên liệu hình trụ đặt nằm ngang, có chiều dài 5 m, có bán kính đáy
1m. Chiều cao của mực nhiên liệu là 1,5m. Tính thể tích phần nhiên liệu trong bể (theo đơn
vị

, làm tròn đến chữ số thâph phân hàng phần trục).

Câu 5: Có hai xã
lượt là

m,

cùng ở một bên bờ sông. Khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần
m. Người ta đo được

m như hình vẽ dưới đây. Các

kỹ sư muốn xây dựng một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân của hai
xã sử dụng. Để tiết kiệm chi phí, các kỹ sư phải chọn một vị trí
sạch đó trên đoạn

của trạm cung cấp nước

sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí

là nhỏ nhất. Giá trị

nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó bằng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Câu 6: Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều

cạnh bên

bằng
, góc
bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự
tháp
. Trong đó điểm cố định và
. Hỏi khi đó cần dùng
ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí? (làm tròn đến hàng đơn vị)
HƯỚNG DẪN GIẢI
PHẦN I. Từ câu 1 đến câu 12, mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Câu 1: Nguyên hàm của hàm số
A.

.

là

B.

.

C.

.

D.

.

Lời giải

Do theo bảng nguyên hàm:
Câu 2: Cho hàm số

.
xác định và liên tục trên đoạn

hạn bởi đồ thị hàm số
công thức

. Diện tích hình phẳng giới

, trục hoành và hai đường thẳng

A.

.

B.

.

C.

được tính theo

.

D.

.
Lời giải
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
đường thẳng

được tính bởi công thức:

, trục hoành và hai
.

Câu 3: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một của hàng
được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới
đây?
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Bảng tần số ghép nhóm theo giá trị đại diện là

Số trung bình:
Câu 4: Trong không gian
phương trình là

, cho hai điểm

và

. Đường thẳng

A.

.

B.

.

C.

.

D.
Lời giải

.

có

Chọn B
Ta có

.

Đường thẳng

đi qua điểm

và nhận véc-tơ

tơ chỉ phương có phương trình là
Câu 5: Cho hàm số

làm véc-

.

có bảng biến thiên như sau:

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình:
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn D
Ta thấy:

và

.

.

D.

.

Vậy tiệm cận đứng của hàm số đã cho là
Câu 6: Với

là số thực dương tùy ý,

A.

.

bằng

B.

Câu 7: Trong không gian

.

.

C.

.

D.

, cho mặt cầu

.
. Tâm của

có tọa độ là
A.

.

B.

.

C.
Lời giải

.

D.

.

Chọn D
Mặt cầu

có tâm

.

Câu 8: Cho hình chóp
có đáy
là tam giác vuông tại
góc với đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?
A.

.

B.

.

Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình
A.

B.

Câu 10: Cho cấp số nhân
nhân?
A.

B.

C.

.

.

là:

và công bội
.

vuông

D.

C.

với

.

, cạnh bên

C.
Lời giải

D.
. Tìm số hạng thứ

của cấp số

.

.

D.

Có
Câu 11: Cho hình lập phương
đây sai?

A.
C.

. (minh họa như hình bên). Mệnh đề nào sau

.

B.

.

D.

.
.

Lời giải
Chọn D
Mệnh đề sai là:
Câu 12: Cho hàm số

,

và

là hai Vectơ đối nhau.

có bảng xét dấu của đạo hàm như sau

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A.

.

B.

.

C.

.

D.

.

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí
sinh chọn đúng hoặc sai.
Câu 1: Cho hàm số

.

a)

.

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là
c) Nghiệm của phương trình
d) Giá trị nhỏ nhất của

.
trên đoạn

trên đoạn

là
là

hoặc

.

.

Lời giải
a)

và

b) Đạo hàm của

là

c)

. Đúng.
. Sai.

khi đó

và

là nghiệm của phương trình
d)

, suy ra

trên đoạn

. Đúng.

,
có nghiệm

,

.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của

trên đoạn

là

. Đúng.

Câu 2: Một ô tô bắt đầu chuyển động thẳng nhanh dần đều với tốc độ
trong đó là thời gian tính bằng giây kể từ khi ô tô bắt đầu chuyển động. Đi được 6 (s)
người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần
đều với gia tốc

.

a) Tốc độ của ô tô tại thời điểm 10 (s) tính từ lúc xuất phát là 10
.
b) Quãng đường ô tô chuyển động được trong 6 giây đầu tiên là
.
c) Quãng đường (đơn vị: mét) mà ô tô chuyển động được kể từ lúc bắt đầu đạp
phanh đến khi dừng lại được tính theo công thức
.
d) Quãng đường ô tô chuyển động được kể từ lúc bắt đầu chuyển động cho đến khi
dừng lại là
Lời giải
a)

b)

c)

d)

Đúng

Sai

Đúng

Sai

.
Tốc độ của ô tô tại thời điểm 10 (s) tính từ lúc xuất phát là

.

+) Quãng đường ô tô chuyển động được trong 6 giây đầu tiên là

Gọi

là thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô phanh gấp đến lúc dừng lại. Ta có:

+) Quãng đường ô tô chuyển động được kể từ lúc bắt đầu đạp phanh đến khi dừng
lại là
Vậy quãng đường ô tô chuyển động được kể từ lúc bắt đầu chuyển động cho đến khi
dừng lại là
Câu 3: Một công ty đấu thầu 2 dự án. Khả năng thắng thầu của dự án 1 là
thắng thầu của dự án 2 là
. Khả năng thắng thầu cả 2 dự án là
.
Gọi

là biến cố: “Thắng thầu dự án 1”

và khả năng

Gọi

là biến cố: “Thắng thầu dự án 2”.

Khi đó:
a)

và

là hai biến cố độc lập.

b) Xác suất để công ty thắng thầu đúng 1 dự án bằng

.

c) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1 là

.

d) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1 là

.

Lời giải
a)

b)

c)

d)

Sai

Sai

Đúng

Sai

a) Theo giả thiết suy ra:
Có:
b) Gọi

;

và
và

là hai biến cố không độc lập.

là biến cố: “Thắng thầu đúng 1 dự án”

mà

và

là các biến

cố xung khắc
Có:

Vậy:
c) Gọi

là biến cố: “Thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1”

Khi đó:
d) Gọi

là biến cố: “Thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1”

Khi đó:
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm
A ( 10 ; 3 ; 0 ) và chuyển động đều theo đường cáp có véc tơ chỉ phương u⃗ =( 2;−2 ; 1 ) (hướng
chuyển động cùng chiều với hướng véc tơ u⃗ với tốc độ là
mét).

a. Phương trình tham số của đường cáp là:

(đơn vị trên mỗi trục là

b. Giả sử sau thời gian t (s) kể từ khi xuất phát (t ≥ 0), cabin đến điểm M. Khi đó tọa độ
điểm M là ¿ ).
c. Cabin dừng ở điểm B có hoành độ x B =550, khi đó quãng đường AB dài 800m.
d. Đường cáp AB tạo với mặt phẳng ( Oxy ) một góc 300
Trả lời
Câu 4
Đáp án

a
Đúng

b
Đúng

C
Sai

D
Sai

a. Phương trình tham số của đường thẳng d qua A ( 10 ; 3 ; 0 ) và có VTCP
u⃗ =( 2;−2 ; 1 )

là :

b. Ta có độ dài AM =vt . Vì M thuộc đường thẳng d nên M (10+2 m; 3−2 m; m), Vậy ⃗
AM
⃗
u
⃗
m
≥0
AM
=3
m
= (2m; -2m; m) mà AM cùng hướng với véc tơ có
. Suy ra
.
3
m=4,5t
m=1,5
t
Vậy
suy ra
. Vậy ¿ )
c. Từ ý b, thấy khi x B =550 tức tà 3 t+10=550 suy rs t=180 (s)
Vậy AB=vt=4,5. 180=810 (m)
u AB=( 2;−2 ; 1)
d. Ta có ⃗
Mặt phẳng ( Oxy ) : z=0 suy ra VTPT ⃗n (0 ; 0 ; 1)
|u⃗ n⃗| 1
=
Gọi α là góc giữa và(Oxy ) ta có sin α=
|u⃗||n⃗| 3
PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Câu 1: Cho tứ diện đều
có cạnh . Khoảng cách giữa hai đường thẳng
bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Trả lời:
Lời giải
Gọi

theo thứ tự là trung điểm của

.

và

Các tam giác

đều có

là trung điểm

mà

. (1)

Tương tự, các tam giác

Từ (1) và (2) suy ra

nên

đều có

là trung điểm

nên

là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng

. Vậy IJ là

khoảng cách giữa hai đường thẳng
Ta có:

.

Câu 2:
Một người đưa thư xuất phát từ bưu điện ở vị trí A, các
điểm cần phát thư nằm dọc các con dường cần đi qua.
Biết rằng người này phải đi trên mỗi con đường ít nhất
một lần (để phát được thư cho tất cả các điểm cần phát
nằm dọc theo con đường đó) và cuối cùng quay lại điểm
xuất phát. Độ dài các con đường như hình vẽ (đơn vị độ
dài). Hỏi tổng quãng đường người đưa thư có thể đi ngắn
nhất có thể là bao nhiêu ?
Giải

Theo sơ đồ đường đi thấy có 2 đỉnh bậc lẻ là A và D nên có thể tìm được một đường đi
Euler từ A đến D (đường này đi qua mỗi cạnh đúng một lần).
Một đường Euler từ A đến D là: AEABEDBCD và độ dài của nó là
6+7+8+10+9+4+5+2= 51
Đường đi ngắn nhất từ D đến A là DBA và có độ dài là: 4+8 = 12
Vậy tổng quãng đường đưa thư có thể đi ngắn nhất là 51 +12 = 63

Câu 3: Khi gắn hệ tọa độ
mặt phẳng

(đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay,

trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí

đến vị trí
và hạ cánh tại vị trí
nhiêu (viết kết quả dưới dạng số thập phân)?
Giải.

Giá trị của

bằng bao

Phương trình đường thẳng
sao cho
Suy ra

là:
Ngoài ra,

Vì

thuộc

thuộc mặt phẳng

nên tồn tại số thực
nên

Vậy

Câu 4: Một bể chứa nhiên liệu hình trụ đặt nằm ngang, có chiều dài 5 m, có bán kính đáy
1m. Chiều cao của mực nhiên liệu là 1,5m. Tính thể tích phần nhiên liệu trong bể (theo đơn
vị

, làm tròn đến chữ số thâph phân hàng phần trục).

LỜI GIẢI
Thể tích của cả bể nhiên liệu là
Gọi

là thể tích phần trống nhiên liệu trong bể.

Chọn hệ trục

như hình vẽ.

Ta có diện tích phần tô đậm là

.

Vậy thể tích phần trống trong bể là

.

Vậy thể tích phần nhiên liệu trong bồn là
Câu 5: Có hai xã
lượt là

.

cùng ở một bên bờ sông. Khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần

m,

m. Người ta đo được

m như hình vẽ dưới đây. Các

kỹ sư muốn xây dựng một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân của hai
xã sử dụng. Để tiết kiệm chi phí, các kỹ sư phải chọn một vị trí
sạch đó trên đoạn

của trạm cung cấp nước

sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí

là nhỏ nhất. Giá trị

nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó bằng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải
Trả lời: 2460
Đặt

,

Ta có
Khi đó tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí

Xét hàm số

Đạo hàm
Bảng biến thiên:

là:

trên khoảng

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông là khoảng
m, tại vị trí

cách điểm

là

m.

Câu 6: Người ta cần trang trí một kim tự tháp hình chóp tứ giác đều

cạnh bên

bằng
, góc
bằng đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự
tháp
. Trong đó điểm cố định và
. Hỏi khi đó cần dùng
ít nhất bao nhiêu mét dây đèn led để trang trí? (làm tròn đến hàng đơn vị)
Lời giải

S

L
K

J

I
H

F

G
E
B

A

C

D

Ta sử dụng phương pháp trải đa diện
Cắt hình chóp theo cạnh bên

rồi trải ra mặt phẳng hai lần, ta có hình vẽ sau

S

L
K
A

J
E

F

B

H

G

A

I

D
C

C
D

A

B

Từ đó suy ra chiều dài dây đèn led ngắn nhất là bằng
Từ giả thiết về hình chóp đều

ta có

.
.

Ta có
Nên

.
.

Vậy, chiều dài dây đèn led cần ít nhất là

mét.