Bất đẳng thức
1.Bất đẳng thức
VD1.1: CMR với moi số thực dương a,b,c. CMR:

Giải:
Xét bổ đề sau: a b c dương.





Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên

VD1.2 Chứng minh rằng a, b, c dương. CMR





VD1.3: Cho các số a, b, c dương. CMR

Xét bổ đề sau:
Áp dung ta có:

VD1.4: Cho a ,b, c là các cạnh của một tam giác.CMR:










VD1.5: Cho a, c, b dương. CMR:
























VD1.6: Cho a ,b, c, d dương. CMR:



Nhưng dấu bằng xảy ra khi
hệ này vô nghiệm.


VD1.7: Cho các số a, b dương a + b = 2.CMR :



VD1.9: Cho a ,b dương. CMR



VD1.10: Cho a ,b, c dương CMR:



VD1.11. Cho a, b, c dương. CMR :



VD1.12: Cho các số a ,b, c dương và a + b + c = 2. CMR



VD1.13: Cho a, b, c dương. CMR :



VD1.14 Cho a b c dương. CMR


VD1.15: Cho các số dương a ,b sao cho
.CMR :



VD1.16: Cho c > 0 và a,b > c. CMR:



Vậy bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn.
VD1.17: Cho a,b,c,x,y,z là các số dương.CMR:

VD1.18 : Cho a,b,c dương. CMR



VD1.19: Cho a,b,c là các số dương và a + b + c = 3.CMR



VD1.20: Cho a,b,c dương.CMR:



Dấu bằng xảy ra khi :
do hệ này vô nghiệm nên dấu bằng không xảy ra.

VD1.21: Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng :



VD1.22: Cho a,b,c > 0. Chứng minh rằng:

Do vai trò của a,b,c như nhau nên giả sử
. Ta có

VD1.23.Cho a,b,c > 0. CMR


VD1.24: Cho n số dương
CMR:



VD1.25: Chứng minh bất đẳng thức cô-si:
( n sổ dương)

Với n = 1 thì bất đẳng thức tương đương với:
( đúng)
Với n = 2 thì bất đẳng thức tương đương với:
( đúng )
Với n = 4 thì bất đẳng thức tương đương với:
Áp dụng trường hợp n = 2 Ta được :


Trường hợp n = 3. Áp dụng trường hợp n = 4 được :

Giả sử bất đẳng thức đúng đến n
k. Có hai trường hợp: k là hợp số thì k = pq ( p,q
k )


TH2: k là số nguyên tố thì k + 1 là hợp số. áp dụng trường hợp 1 ta được:

Dấu bằng xảy ra khi

VD1.25: Cho
. Chứng minh rằng:

Giải:

Do vai trò của a,b,c như nhau nên giả sử

VD1.26: a + b + c = 1. CMR :



Dấu bằng xảy ra khi:

VD1.27: Cho abc = 1 ( a và b và c dương ) CMR:


Ta có :





Mà abc = 1

1
VD1.28: Với mọi số nguyên dương bất kì .Ta có:





VD1.29: Cho
.CMR:



VD1.30: Cho
.CMR:



VD1.31: Cho
.CMR:
( a ,b , c dương ).


Đặt

Điều này đúng nên bất đẳng thức được chứng minh hoàn toàn.
VD1.32.Cho