Bài toán của Malfatti - đúng & sai ?
khoa học nói chung, toán học nói riêng, nhiều nhà khoa học đã có những phát kiến quan trọng được nhân loại ghi nhận và lấy tên người phát hiện đầu tiên đặt tên cho phát kiến ấy. Tuy nhiên, qua thời gian có thể phát kiến kia được bổ sung thiếu sót, thậm chí có những điều phải bác bỏ. Phát kiến của nhà toán học G.Malfatti về loại vòng tròn nội tiếp tam giác (Malfatti’s Circles) cũng là 1 minh chứng để chúng ta tham khảo.
I.- Lịch sử & nhân chứng
* Năm 1802, nhà toán học Ý Gianfrancesco Malfatti (1731 – 1807) đã nêu lên lời giải cho một bài toán mà ông công bố năm sau. Đó là bài toán “ba vòng tròn tiếp xúc phải sắp xếp thế nào trong một tam giác cho sẵn để có tổng số diện tích lớn nhất ?”.
Theo Malfatti: “Để 3 vòng tròn trong tam giác có tổng số diện tích lớn nhất thì 3 vòng tròn nầy phải tiếp xúc nhau từng đôi và mỗi vòng tròn phải tiếp xúc với 2 cạnh của tam giác” (xem Hình 1)
Các vòng tròn này được gọi là vòng tròn Ma lfatti (Malfatti’s Circles).
* Trong lịch sử toán học trước đó, Trường hợp tam giác cân đã được khảo sát bởi nhà toán học Thuỵ sĩ Jacob Bernoulli (1654 – 1705). Nhà toán học Thuỵ sĩ Jacob Stainer (1796 – 1863) khảo sát trường hợp tam giác bất kỳ và công bố kết quả năm 1826. Nhiều nhà toán học cũng đồng ý với kết quả của Malfatti.
Tuy nhiên, năm 1929, H. Lob và Herbert William Richmond (1863 – 1948) đã khám phá ra là bài toán của Malfatti có sự nhầm lẩn. Kết luận của Malfatti không đúng khi áp dụng vào trường hợp tam giác đều. Theo Malfatti, trường hợp tam giác đều (xem Hình 2), tổng số diện tích của 3 vòng tròn bằng khoảng 73% diện tích của tam giác. Lob và Richmond đã tìm được cách sắp xếp 3 vòng tròn trong tam giác đều để tổng số diện tích của 3 vòng tròn đạt đến 74% (xem Hình 3)
* Năm 1965, nhà toán học Howard W. Eves (1911 – 2004) đã chứng minh rằng kết luận của Mafatti cũng không đúng trong trường hợp tam giác mỏng như các hình dưới đây.
Trong cùng một tam giác mỏng (tam giác có 1 cạnh nhỏ hơn nhiều lần 2 cạnh kia), các vòng tròn trong Hình 4 có tổng số diện tích lớn hơn tổng số diện tích các vòng tròn trong Hình 5, sắp xếp theo Mafatti.

* Năm 1967, nhà toán học Michael Goldberg chứng minh rằng bài toán Mafatti sai dù tam giác thế nào.
Nhà toán học Richard Guy sinh năm 1916 thì cho rằng đơn giản là Malfatti đã phát biểu thiếu sót ý kiến của mình.
Bài toán đúng phải là:
“Để 3 vòng tròn trong một tam giác có tổng số diện tích lớn nhất thì:
– Phải có 1 vòng tròn là vòng tròn nội tiếp trong tam giác (tức là vòng tròn tiếp xúc với cả 3 cạnh của tam giác) – Hai vòng tròn kia phải tiếp xúc với vòng tròn nội tiếp và tiếp xúc với 2 cạnh của tam giác”


( TK Nguồn Malfatti’s Problem – thuanhoa)

II.- Vài nét về Gianfrancesco Malfatti 

Gianfrancesco Malfatti hay Giovanni Francesco Malfatti (sinh, 26 tháng Chín 1731 - m ất  9 tháng Mười năm 1807) là một nhà toán học người Ý.
Ông là một trong những nhà toán học Ý nổi tiếng của thế kỷ XVIII – XIX;  nghiên cứu trong hình học, ông cũng quan tâm đến đại số,  tích phân và cơ học
Đặc biệt với công trình xung quanh việc giải quyết các phương trình đại số, tính đến năm 1771, ông đã được trao chiếc ghế G S  toán học và thủy tĩnh tất cả `Đại học Ferrara, nơi ông giảng dạy cho gần ba mươi năm ngành như đại số , tích phân , hình học và cơ học.
Ông đã tích cực tham gia vào hai trong số những sự kiện văn hóa quan trọng nhất của văn hóa Ý trong nửa thứ hai của thế kỷ thứ mười tám:
Các công trình khoa học thời trẻ của ông chủ yếu liên quan giải quyết các phương trình đại số; Về chủ đề này, trong các năm năm 1758 - 59 ở Ferrara trong các hình thức thư để Vincenzo Riccati, mà Malfatti đã từng là một giáo viên có uy tín trong các năm học tại Bologna.
Nghiên cứu của ông trong lĩnh vực này vẫn tiếp tục trong những năm tiếp theo, và trong năm 1771 các công trình của `Học viện Fisiocritici của Siena bộ nhớ trên lý thuyết của phương trình đại số ("De aequationibus vuông cubicis dissertatio analytica"), có chứa một số ý tưởng sáng tạo ; bộ nhớ này gâycho Malfatti một số tai tiếng trên toàn quốc.
Hơn bảy năm xuất bản bốn cuốn hồi ký về những vấn đề: đầu tiên là một bài