CHUYÊN ĐỀ: 11

CÁC BÀI TOÁN VỀ CHỨNG MINH HÌNH HỌC
VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Muốn vận dụng được các tiên đề, định lý … cần phải nghiên cứu các phương pháp chứng minh. Ta có thể phân bài tập thành những loại như sau:
1- Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
2- Chứng minh hai góc bằng nhau
3- Chứng minh hai đường thẳng song song, vuông góc với nhau
4- Chứng minh tổng (hoặc hiệu) hai đoạn thẳng bằng đoạn thẳng thứ ba
5- Chứng minh tổng (hoặc hiệu) hai góc bằng một góc thứ ba hay hai góc bằng nhau.
6- Chứng minh hai đoạn thẳng không bằng nhau hoặc hai góc không bằng nhau.
7- Chứng minh các điểm thẳng hàng.
8- Chứng minh các đường thẳng đồng quy.
9- Chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn.
10- Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ
11- Dùng tỉ lệ thức chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau hay hai đoạn thẳng song song nhau.
12- Chứng minh các quan hệ về tổng hay hiệu các bình phương của các đoạn thẳng.
13- Chứng minh hai diện tích bằng nhau.
14- Chứng minh về các đại lượng không đổi, các đại lượng cực đại hay cực tiểu.
15- Các phương pháp chứng minh khác.
Dưới đây là phương pháp chứng minh cho từng loại và những định lý cần dùng đến. Sau nầy khi làm bài tập gặp phải những bài cùng loại ta có thể từ những phương pháp và định lý đã nghiên cứu, chọn lấy những phương pháp và định lý thích hợp để ứng dụng. Vì thế việc nghiên cứu các phương pháp là cơ hội tốt để chúng ta luyện tập vận dụng các định lý đã học nó giúp ích nhiều cho việc học môn hình học.
LOẠI 1: CHỨNG MINH HAI ĐOẠN THẲNG BẰNG NHAU.
CÓ THỂ DÙNG: + Trường hợp bằng nhau của tam giác
+ Dùng đoạn thẳng thứ ba làm trung gian
+ Ứng dụng tính chất của tam giác cân
+ Hình bình hành
+ Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác.
Bài toán 1:
GT
Lấy hai cạnh AB, AC của (ABC làm cạnh dựng các hình vuông ABEF và ACGH ra phía ngoài của tam giác, dựng AD( BC, M là giao điểm AD và FH.

KL
FM = MH



Hướng giải: Trong bài có nhiều góc vuông, cạnh hình vuông bằng nhau. Vì
(cùng phụ
)


Nếu dựng FK ( DM thì sẽ có (AFK = (BAD; Fk = AD


Tương tự dựng HL ( DM được HL = AD


Như vậy ta chỉ cần chứng minh ( FMK = ( HML là được

Bài giải:
Dựng FK ( DM; HL ( DM
Ta có:
=
(cùng phụ
) => FA = AB
Và ta có:
=
= 900 => ( AFK = ( BAD (ch - góc nhọn)
=> FK = AD
Tương tự ta có: HL = AD Suy ra FK = HL
Do
=
= 900
Và
=
(đđỉnh)
Suy ra (FMK = (HML => FM = MH
Bài toán 2: Nếu một tứ giác nội tiếp trong đường tròn có hai đường chéo vuông góc với nhau, thì đường thẳng đi qua giao điểm hai đường chéo và vuông góc với một cạnh của tứ giác thì chia đôi cạnh đối diện với cạnh ấy (Bài nầy là định lý Brahma - giúp ta).
GT
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn AC ( BD. Qua giao điểm E dựng GE ( CD

KL
AG = GB



Hướng giải


( ABE là tam giác vuông. Ta phải c/m: GA = GB


Nghĩa là G là trung điểm cạnh huyền


Ta đã biết rằng trung điểm cạnh huyền cách đều ba đỉnh của tam giác vuông.


Nên lấy GE làm trung gian.

Muốn chứng minh GA = GE cần phải có
từ
=
;
=

Và
,
đều phụ với
=>
=

Nên
=
có thể chứng minh được
Cách giải: Ta có
+
= 900

+
= 900
Nhưng
=
và
=
(Hai góc đối đỉnh, 2 góc cùng chắn một cung)
Suy ra
=

Mặt khác AG = GE
Tương tự ta có GB = GE
Bài toán 3: Cho đường tròn (0) và đt xy ngoài đường tròn đó. Từ O hạ OA ( xy; từ A kẻ một cát tuyến bất kỳ cắt đường tròn tại B và C tiếp tuyến tại B và C cắt xy tại D và E.
Chứng minh: AD = AE




GT
Cho đường tròn (0)