BẤT ĐẲNG THỨC
BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC
Mở đầu
Trước khi nghiên cứu về bất đẳng thức, ta cần nhắc lại định nghĩa, cũng như những tính
chất cơ bản của nó.

 Định nghĩa:
+ a nhỏ hơn b, kí hiệu là a < b nếu a − b < 0
+ a lớn hơn b, kí hiệu là a > b nếu a − b > 0
+ a nhỏ hơn hoặc bằng b (a không lớn hơn b), kí hiệu là a  b nếu a − b  0
+ a lớn hơn hoặc bằng b (a không nhỏ hơn b), kí hiệu là a  b nếu a − b  0
Ta gọi mỗi hệ thức dạng a < b, a > b, a  b, a  b là một bất đẳng thức. Trong đó, a
gọi là vế trái (VT), b gọi là vế phải (VP) của bất đẳng thức.

 Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức:
+ a>b  b+ a > b, b > c  a > c
+ a>ba+c>b+c
+ a > b, c > d  a + c > b + d
a > b, c < d  a − c > b − d
+ a > b, c > 0  ac > bc
a > b, c < 0  ac < bc
+ a > b  0, c > d  0  ac > bd
+ a>b>0a>b
a > b  a > b (n lẻ)
|a| > |b|  a > b (n chẵn)
+ a > b, ab > 0  <
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
 A  0 với A. Dấu “=” xảy ra  A = 0
 |A|  A với A. Dấu “=” xảy ra  A  0
 a + b + c  ab + bc + ca  a + b  2ab  (a + b)  4ab


3(a + b + c)  (a + b + c) (a, b, c)
+  (a, b > 0)
 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng
thức AM-GM)
 Bất đẳng thức Cauchy (Bất đẳng thức Bunyakovsky hay bất đẳng thức
Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz (viết tắt là BCS), bất đẳng thức Schwarz hoặc bất
đẳng thức Cauchy - Schwarz)

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

A. KIÊN THỨC CẦN NHỚ
I. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA
Để chứng minh a < b (hoặc a > b hoặc a  b hoặc a  b), ta cần chứng minh
a − b < 0. Ta xét một số ví dụ sau đây.
 VÍ DỤ 1. Chứng minh a + b + c  ab + bc + ca với mọi a, b, c.
Giải: Xét hiệu:
A = (a + b + c) − (ab + bc + ca)
=
(a − 2ab + b) + (b − 2bc + c) + (c − 2ca + a)
=
(a − b) + (b − c) + (c − a)  0
a, b, c.
Vì A  0 nên a + b + c  ab + bc + ca
Dấu “=” xảy ra  a = b = c.
 VÍ DỤ 2. Cho các biểu thức sau:
A = (a + b)(a + b)
và B = (a + b)(a + b)
So sánh A và B.

với a, b  0

Giải: Xét hiệu
A − B = (a + b)(a + b) − (a + b)(a + b)
= (a + b + ab + ab) − (a + b + ab + ab)
= ab − ab − ab + ab
= ab(a − b) − ab(a − b)
= ab(a − b)(a − b)
= ab(a + b)(a − b)  0
vì a, b  0
Do đó A  B.
Dấu “=” xảy ra  a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = b.
 VÍ DỤ 3. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số dương a, b:
+ 
Giải: Xét hiệu + − = − = =  0
 VT  VP. Bất đẳng thức được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra  a = b.
II. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Ta cần biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh là A < B về bất đẳng thức
C < D nào đó mà ta đã biết là đúng.
 VÍ DỤ 4. Chứng minh rằng: |a| + |b|  |a + b|

a, b.

Giải: Nhận xét: |x| = x với x và |x|.|y| = |xy| x, y.
Ta có:
|a| + |b|  |a + b|  (|a| + |b|)  (|a + b|)
 |a| + 2|a|.|b| + |b|  (a + b)
 a + 2|ab| + b  a + 2ab + b
 |ab|  ab
(đúng với mọi a, b).
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh là đúng.
Dấu “=” xảy ra  ab  0.
Chú ý: Ngoài ra, ta còn có một bất đẳng thức khác cũng liên quan tới dấu giá trị tuyệt
đối:
|a| − |b|  |a − b| (Dấu “=” xảy ra  ab  0).
 VÍ DỤ 5. Với a, b  0, chứng minh rằng:

+ 

Giải: Ta có: + 
 a + 2 + b  a + b   0 (đúng với mọi a, b  0)
Vậy bất đẳng thức xuất phát cũng đúng.
Dấu “=” xảy ra  a = 0 hoặc b = 0.
 VÍ DỤ 6. Cho a, b, c là ba số thực bất kì. Chứng minh bất đẳng thức:

Giải: Bất đẳng thức đã cho tương đương với:

Bất đẳng thức cuối cùng là đúng, kéo theo bất đẳng thức cần chứng minh cũng đúng.
Dấu “=” xảy ra  a = b = c.
Θ Yêu cầu:

 Hãy giải các ví dụ 1, 2, 3 ở phần I. bằng phương pháp biến đổi tương đương.
 Hãy giải các ví dụ 4, 5, 6 ở phần II. bằng phương pháp sử dụng định nghĩa.
III. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

Bạn đọc hãy xem lại tính chất của bất đẳng thức trong phần Mở đầu trước khi xem xét
các ví dụ bởi vì muốn chứng minh một bất đẳng thức nào đó bằng phương pháp này
đòi hỏi phải sử dụng thành thạo các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.
 VÍ DỤ 7. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:

Giải: Ta cần chứng minh hai bất đẳng thức:



Chứng minh bất đẳng thức

(1)

Vì a, b, c > 0 nên ta có:



Chứng minh bất đẳng thức

Đầu tiên, ta cần chứng minh một bất đẳng thức phụ:
với 0 < x < y và z > 0.
(Bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh bất đẳng thức trên bằng phương pháp biến đổi
tương đương)
Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:

 VÍ DỤ 8. Cho hai số a và b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. Chứng minh:
a+b

Giải: Ta có: a + b = (a + b)(a − ab + b) = a − ab + b
Mà (a + b) = 1  a + 2ab + b = 1
(1)
(a − b)  0  a − 2ab + b  0
(2)
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (1) và (2) ta có:
2(a + b)  1  a + b 
Lại từ (2)  2ab  a + b   ab   − ab  −
Vậy a + b = a − ab + b  − =
(đccm)
Dấu “=” xảy ra  a = b =
 VÍ DỤ 9. Chứng minh rằng, với a, b là hai số khác 0 và cùng dấu thì:
+ 2
Giải: Không mất tính tổng quát, giả sử a  b
Khi đó a = b + c
(c  0)
Vì c  0 nên ta có:

Dấu “=” xảy ra  c = 0  a = b
Chú ý: Bất đẳng thức trên có rất nhiều cách chứng minh và là một trong những bất
đẳng thức rất quan trọng. Ta cần chú ý rằng, vì a, b là hai số khác 0
và cùng dấu
với nhau nên và là hai số dương nghịch đảo của nhau. Chính vì thế bất đẳng thức
này có thể được phát biểu như sau:
“Tổng của một số dương với nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2”
Sau đây xin nêu ra vài cách chứng minh bất đẳng thức trên để bạn đọc cùng tham
khảo:
 Cách 1:
Xét hiệu + − 2 = − 1 + − 1 = + = (a − b) −
= 0
(vì ab > 0 do a, b khác 0 và cùng dấu)

 Cách 2:
+  2  a + b  2ab  (a − b)  0 (vì ab > 0)
 Cách 3:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương và
Ngoài ra vẫn còn nhiều cách chứng minh khác.
IV. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÃ BIẾT
Mời bạn đọc xem lại phần MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN ở phần đầu
chuyên đề
 VÍ DỤ 10. Cho a, b là các số không âm. Chứng minh: (a + b)(ab + 1)  4ab

Giải: Áp dụng bất đẳng thức (x + y)  4xy, ta có:
(a + b)  4ab
(1)
(ab + 1)  4ab
(2)
Từ (1) và (2) suy ra (a + b)(ab + 1)  4ab.4ab
Vì a, b không âm nên (a + b)(ab + 1)  4ab
Dấu “=” xảy ra  a = b và ab = 1  a = b = 1.
Chú ý: Với bài toán này, ta cũng có thể áp dụng bất đẳng thức AM-GM.
 VÍ DỤ 11. Cho các số dương x, y có tổng không quá 1. Chứng minh:

Giải: Áp dụng bất đẳng thức +  (a, b > 0)
với a = x + xy > 0 và b = y + xy > 0:
(vì x + y  1)

 VÍ DỤ 12. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
ab + bc + ca + a + b + c  6.
Giải: Ta có: ab + bc + ca  a + b + c = 3
Mà (a + b + c)  3(a + b + c) = 3.3 = 9  a + b + c  3
Từ đó có đccm.
 VÍ DỤ 13. Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng:

Giải: Áp dụng bất đẳng thức +  2

(xem VÍ DỤ 9.)

Ta có:
Tương tự

,

Cộng vế ba bất đẳng thức trên, ta được đccm.
Chú ý: Một cách khác để chứng minh là dùng phương pháp biến đổi tương đương:
nhân vào hai vế của bất đẳng thức với abc > 0. Ta có bất đẳng thức đã cho tương
đương với:
(ab) + (bc) + (ca)  (ab).(ca) + (ab).(bc) + (bc).(ca)
Bất đẳng thức này là một bất đẳng thức đúng (xem phần MỘT SỐ BẤT ĐẲNG
THỨC CƠ BẢN)

V. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG
Đầu tiên, xin được nhắc lại đôi chút về phương pháp chứng minh phản chứng bằng ví
dụ dưới đây.
Ví dụ. Có tồn tại các số thực a, b, c khác 0 và thỏa mãn a + b + c = 0 và
+ + = 0 hay không?
Giải: Ta sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng:
Giả sử tồn tại các số a, b, c thỏa mãn đề bài. Khi đó:
Từ + + = 0  ab + bc + ca = 0  ab = − c(a + b) = (−c).(−c) = c
Tương tự bc = a, ca = b.
Suy ra a + b + c = ab + bc + ca  a = b = c. Mà a + b + c = 0
Nên a = b = c = 0, trái với giả thiết a, b, c khác 0.
Do đó giả sử sai. Vậy không tồn tại các số thực a, b, c thỏa mãn đề bài.
Trở lại với bài học, chúng ta hãy cùng xét các ví dụ về chứng minh bất đẳng thức
bằng phương pháp chứng minh phản chứng sau đây.
 VÍ DỤ 14. Với mọi số thực a, b, c chứng tỏ:

Giải: Giả sử
Khi đó, ta có:

Điều này là vô lí vì x  0 với mọi x  R.
Do đó giả sử sai. Vậy

 VÍ DỤ 15. Cho a + b = 2. Chứng minh a + b  2.
Giải: Giả sử a + b > 2. Khi đó:
a + b > 2  (a + b) > 8  a + b + 3ab(a + b) > 8
 2 + 3ab(a + b) > 8  ab(a + b) > 2  ab(a + b) > a + b
 0 > (a + b)(a − b) (vô lí vì a + b > 2 và (a − b)  0 với mọi a, b)
Do đó giả sử sai. Vậy a + b  2.

Chú ý: Ta cũng có thể chứng minh bất đẳng thức trên một cách trực tiếp như sau:
Vì a + b > 0 nên a > − b  a > − b  a + b > 0
Suy ra (a + b)(a − b)  0  a + b  ab(a + b)
 3(a + b)  3ab(a + b)  4(a + b)  (a + b)  a + b  2.
VI. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Phương pháp quy nạp toán học dành cho các bất đẳng thức mà ít nhất biểu thức ở
một vế chứa biến lấy giá trị thuộc tập hợp số tự nhiên n.
 VÍ DỤ 16. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n  3 thì ta có bất
thức
2 > 2n + 1.
Giải:
1. Với n = 3 thì 2 = 2 = 8, 2n + 1 = 2.3 + 1 = 7  2 > 2n + 1.
Mệnh đề đúng với n = 3.
2. Giả sử mệnh đề cũng đúng với n = k (k  N, k  3). Khi đó 2 > 2k + 1
Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là
2 > 2(k + 1) + 1. Thật vậy, 2 = 2.2 > 2.(2k + 1) (theo giả thiết quy nạp)
 2 > 4k + 2 > 2k + 3 = 2(k + 1) + 1 (vì k  3)
Vậy mệnh đề đúng với mọi k  3.
3. Kết luận: 2 > 2n + 1 với mọi n  N, n  3.
 VÍ DỤ 17. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 2 thì n > n + 5
Giải: Vì n > 2 nên n  3.
1. Với n = 3 ta có n = 3 = 9, n + 5 = 3 + 5 = 8  n > n + 5.
Mệnh đề đúng với n = 3.
2. Giả sử mệnh đề cũng đúng với n = k (k  N, k  3). Khi đó k > k + 5.
Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là
(k + 1) > (k + 1) + 5. Thật vậy, ta có:
(k + 1) − [(k + 1) + 5] = k + 2k + 1 − k − 6
= k − (k + 5) + 2k > 0, theo giả thiết quy nạp
Do vậy mệnh đề đúng với mọi k  3.
3. Kết luận: n > n + 5 với mọi số nguyên dương n > 2
Chú ý: Ta cũng có thể làm như sau:
n > 2  n  3  n − 1  2  n(n − 1)  6  n  n + 6 > n + 5
VII. PHƯƠNG PHÁP XÉT PHẦN TỬ ĐẠI DIỆN

đẳng

Phương pháp này thường dùng cho việc chứng minh một bất đẳng thức có vế trái là
một tổng gồm nhiều hạng tử mà mỗi hạng tử đều có một dạng chung. Ta có ví dụ:

 VÍ DỤ 18. Chứng minh rằng:

với n  N, n  2

Giải:
Hiển nhiên S > 0 vì tổng của (n − 1) số dương là một số dương
Ta thấy các hạng tử của S đều có dạng với k là số tự nhiên từ từ 2  n
Xét

Cho k nhận các giá trị từ 2 đến n ta có:

Do đó

 VÍ DỤ 19. Cho n  N*, chứng minh:
Giải: Dễ dàng chứng tỏ S > 1.
Ta thấy các hạng tử của

đều có dạng với k là số tự nhiên chạy từ 2 đến

n.
Xét

Cho k nhận các giá trị từ 2 đến n ta có:

Cộng vế các bất đẳng thức trên với nhau và với = 1 ta có đccm.
Chú ý: Ta không thể cho k nhận giá trị bằng 1 vì k − 1 phải khác 0. Do đó chỉ có thể
xét

mà thôi!

B. BÀI TẬP THỰC HÀNH
Bài tập 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1.

(a > b, ab > 0)

2.
3.
4.
5.
6.

(a  0)

(|a|, |b| < 1)

7.

(a, b  0)

8.

(a, b, c > 0)

9.
10.

(0 < a < b)

11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.

(a + b + c = 1)
(a, b, c > 0)
(a + b + c  8)

(a, b  0)

22.

(a, b ≠ 0)

23.

(a, b ≠ 0)

24.
25.
26.
27.
28.

(a, b  0)

29.

(a, b > 0)

30.
31.
32.
33.
34.

(a, b, c > 0)
(a, b, c > 0)
(a, b, c > 0)
(a, b, c > 0)
(a, b, c, d > 0)

35.

(a, b, c > 0)

36.

(a, b > 0)

37.

(0 < a, b, c < 1)

38.
39.
40.
41.
42.

(a, b > 2)
(a + b = 2)
(a + b + c = 3)
(a, b  0, a + b = 1)
(a, b  0, a + b = 1)

43.

(ab  1)

44.

45.
46.

(a, b, c > 0, a + b + c = 1)
(a, b, c > 0, + +  a + b + c)
(a, b > 0, a + b = a + b)

47.

(a, b, c > 0)

48.

(a, b, c  0, abc = 1)

49.

(a, b, c > 0, a + b + c = 1)

50.

(n  N, n  2)

51.

(n  N*)

52.
53.

54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.

(m, n  N*)
(n  N, n  2)
(n  N*)

Bài tập 2. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác ; p là nửa chu vi và S là
diện tích tam giác đó. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.

9.
(A, B, C là ba góc tương ứng với ba cạnh a, b, c của tam giác)
10.
____________________________________________________________________

HẾT