TÍNH ĐƠN ĐIỆU- CỰC TRỊ- GTLN, GTNN
CỦA HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU
Định lí. Hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b)
Nếu
thì f(x) đồng biến trên (a; b)
Nếu
thì f(x) nghịch biến trên(a; b)
Nếu
thì f(x) không đổi trên (a; b)
Các bước xét tính đơn điệu của hs f(x)
Tìm tập xác định
Tính f’(x)
Tìm các giá trị
mà tại đó
hoặc không xác định
Xét dấu f’(x), lập bảng biến thiên
Kết luận.
VẤN ĐỀ 2. CỰC TRỊ
1. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Định lí 1.
Giả sử hàm số f(x) đạt cực trị tại điểm
. Khi đó nếu f(x) có đạo hàm tại điểm
thì

Chú ý:
Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
Đạo hàm
có thể bằng 0 tại
nhưng
không phải là điểm cực trị
2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị
Định lí 2. Giả sử hàm số f(x) liên tục trên (a; b) chứa điểm
và có đạo hàm trên các khoảng (a;
) và (
; b). Khi đó:
Nếu
đổi dấu từ dương sang âm khi qua
thì
là điểm cực đại
Nếu
đổi dấu từ âm sang dương khi qua
thì
là điểm cực tiểu
3. Định lí 3.
Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm trên (a; b) chứa điểm
và
và f(x) có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại điểm

Nếu
thì
là điểm cực tiểu
Nếu
thì
là điểm cực đại
4. Qui tắc tìm cực trị.

Qui tắc 1.
Tìm tập xác định
Tính f’(x)
Tìm các giá trị
mà tại đó
hoặc hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm.
Xét dấu f’(x), lập bảng biến thiên
Kết luận.

Qui tắc 2.
Tìm tập xác định
Tính f’(x)
Tìm các giá trị
mà tại đó

Với mỗi
tính

Kết luận.
VẤN ĐỀ 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN
Trên khoảng (a; b)
Tính y’
• Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm
• Lập bảng biến thiên trên (a ; b )
• Kết luận :

hoặc




Trên đoạn[a; b]
Tính y’
Tìm các giá trị
mà:
hoặc f ‘(x) không xác định
Tính y ) , y(a) , y (b)
Chọn số lớn nhất M=max{y ), y(a), y (b)}
kết luận :

Chọn số nhỏ nhất m=min{y ( ) , y(a) , y (b)} ,
kết luận :










*CÁC VÍ DỤ.
VÍ DỤ 1.
Xét tính đơn điệu của các hàm số
a)

b)

c)

d)

e)

VÍ DỤ 2. Tìm a để hàm số
đồng biến trên R.
VÍ DỤ 3. Tìm cực trị của các ham số.
a)
b)

c)
d)

VÍ DỤ 4. Tìm cực trị của các hàm số.
a) y=4-sinx
b) y=x-cos2x
c) y= 5-2cosx-cos2x
d) y=x-sin2x+2
e) y=sinx+cosx
g) =
,

VÍ DỤ 5. Với giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau có cực đại và cực tiểu
a)

b)

c)
VÍ DỤ 6. Với giá trị nào của tham số m thì hàm số sau đây không có cực trị

VÍ DỤ 7. Cho hàm số định m để hàm số đạt cực tiểu tại x=2.
VÍ DỤ 8. Cho hàm số
định m để hàm số có cực trị tại x=2.
VÍ DỤ 9. Cho hàm số
. Tìm các giá trị của a, b sao cho hàm số đạt cực trị tại x=0 và x=4
VÍ DỤ 10. Cho hàm số . Tìm m để hàm số có cực trị
VÍ DỤ 11. Tìm GTLN,NN của các h.số trên đoạn chỉ ra: