Chủ đề 5
MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
A. Kiến thức cần nhớ
1. Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy(Côsi)
Bất đẳng thức có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và
trung bình nhân. Ở nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức này theo
kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM
là viết tắt của Geometric mean)
Ở nước ta, bất đẳng thức AM – GM được gọi theo tên của nhà Toán học
người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức là bất đẳng thức Cauchy.
Thật ra đây là một cách gọi tên không chính xác vì Cauchy không phải là nguời đề
xuất ra bất đẳng thức này mà chỉ là người đưa ra một phép chứng minh đặc sắc cho
nó. Tuy nhiên, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này
chúng ta cũng sẽ gọi nó là Bất đẳng thức Cauchy(Côsi).
Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn
học sinh nước ta. Nó ứng dụng rất nhiều trong các bài Toán về bất đẳng thức và cực
trị. Trong phạm vi chương trình Toán THCS, chúng ta quan tâm đến các trường hợp
riêng của bất đẳng thức Cauchy.
2. Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cauchy
a. Dạng tổng quát
+ Cho x1, x2, x3 ,..., xn là các số thực không âm ta có:
Dạng 1:
Dạng 2:
Dạng 3:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
+ Cho x1, x2, x3 ,..., xn là các số thực dương ta có:
Dạng 1:
Dạng 2:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
b. Một số dạng đặc biệt
n
Điều kiện
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Dạng 1
Dạng 2

Dạng 3

Dạng 4
Đẳng thức xẩy
ra
3. Một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy
+
+
+
+
+
+
B. Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy
1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung
bình nhân
Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thực chất đánh giá bất
đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía trái sang phía phải. Trong chuỗi đánh giá, cái
ta hay quên đó là cần phải được bảo toàn dấu đẳng thức xẩy ra mà ta hay gọi là bảo
toàn “Điểm rơi”. Một thực tế cho thấy việc xác định điểm rơi cho một bất đẳng thức
quyết định đến hơn nửa thành công cho công việc tìm lời giải. Ý tưởng chính của
chọn điểm rơi chính là việc xác định được dấu đẳng thức xảy ra khi nào để có thể sử
dụng những đánh giá hợp lý. Trong quá trình chứng minh các bất đẳng thức ta
thường gặp sai lầm là áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy mà quên mất dấu đẳng
thức xảy ra tại đâu. Trước khi tìm hiểu về kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang
trung bình nhân ta hãy xét một số ví dụ về chọn “Điểm rơi” dưới đây ta sẽ hiểu hơn
vấn đề dạng được đề cập.
Bài toán 1. Cho số thực

. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Sai lầm thường gặp là:

. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2.

Nguyên nhân sai lầm: giá trị nhỏ nhất của A là 2

, điều này

không xẩy ra vì theo giả thiết thì
Phân tích: Quan sát bất đẳng thức trên ta nhận thấy giá trị của a càng tăng thì A
càng tăng, do đó ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi
. Khi đó ta nói A đạt giá
trị nhỏ nhất tại “Điểm rơi
”. Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho
hai số a và

vì không thỏa mãn dấu đẳng thức xẩy ra. Vì vậy ta phải tách a hoặc

để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa mãn dấu đẳng thức xẩy ra. Giả sử ta
sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số

sao cho tại “Điểm rơi

, ta có sơ đồ sau:

Khi đó ta được

và ta có lời giải như trên.

Lời giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Chú ý: Ngoài cách chọn cặp số
hoặc

hoặc

. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
ta có thể chọn các các cặp số sau:

.

Bài toán 2. Cho số thực

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Sơ đồ điểm rơi:
Sai lầm thường gặp là:
.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

” thì

Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù giá trị nhỏ nhất của A bằng

là đáp số đúng

nhưng cách giải trên mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số:

là sai.

Lời giải đúng:
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

Bài toán 3. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn
biểu thức:

Phân tích: Dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại
ta có

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

. Theo bất đẳng thức Cauchy

. Khi đó ta có điểm rơi như sau:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

Lời giải

Do đó ta được
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Bài toán 4. Cho số thực

. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Phân tích: Ta có
Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng. Ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi
có sơ đồ điểm rơi:

Lời giải
Ta có
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

. Ta

Bài toán 5. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa

. Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức:
Phân tích: Dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được khi
rơi

và tại điểm

Sơ đồ điểm rơi:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

Lời giải

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 13.

Bài toán 6. Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn
rằng:

Phân tích: Dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được khi

. Chứng minh

,tại điểm rơi

. Khi đó ta được ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng nhóm
sau:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

Lời giải

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
.
Bài toán 7. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a và b nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất
của A đạt tại

. Khi đó ta có sơ đồ điểm rơi:

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

.

Bài toán 8. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:

Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất
của A đạt tại

. Khi đó ta có sơ đồ điểm rơi:

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

Bài toán 9. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức:
Phân tích: Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của
A đạt tại
. Khi đó ta có sơ đồ điểm rơi:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

Lời giải

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4.
Bài toán 10. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn

Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức:
Phân tích: Dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại

. Khi đó ta có sơ đồ điểm

rơi:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

Lời giải

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là

.

Bình luận: Qua các bài toán trên ta thấy, khi giải các bài toán chứng minh bất đẳng
thức thì các đánh giá trung gian phải được bảo toàn dấu đẳng thức. Cho nên việc
xác định đúng vị trí điểm rơi xẩy ra sẽ tránh cho ta sử dụng các đánh giá trung gian
sai lầm.
Trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân, việc xác định điểm
rơi đúng sẽ chỉ cho ta cách chọn các đánh giá hợp lí trong chuỗi các đánh giá mà ta
cần phải sử dụng. Bây giờ ta đi tìm hiểu kĩ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang
trung bình nhân thông qua một số ví dụ sau.
Ví dụ 1.1: Cho các số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng:
Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại
thức trên thì vế trái có các đại lượng
. Để ý ta nhận thấy
đánh
giá
từ
trung

. Trong bất đẳng
và vế phải chứa đại lượng

, do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến các
cộng
sang
trung
bình
nhân

bình
.

Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

, ta có:

Nhân vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét:
- Chỉ được nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều (kết quả được bất
đẳng thức cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm.
- Để ý rằng ta sử dụng cách đánh giá

khi chưa xác

định được x, y âm hay dương.
- Nói chung ta ít gặp bài toán sử dụng ngay bất đẳng thức Cauchy như bài
toán nói trên mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử
dụng bất đẳng thức Cauchy.
Ví dụ 1.2: Cho a, b là các số thực dương không âm tùy ý. Chứng minh rằng:
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại

. Trong bất đẳng thức

trên, vế trái có đại lượng

và vế phải có đại lượng

. Để ý ta nhận thấy khi

thì

và

, do đó

rất tự nhiên ta nghĩ đến các đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho
hai số
và
.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

, ta được:

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Ví dụ 1.3: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn
. Chứng minh rằng:

Phân tích: Do biểu thức vế trái có tính đối xứng với a, b nên ta dự đoán dấu đẳng
thức xảy ra tại

. Khi đó ta có

nằm ở mẫu nên ta cần tìm cách thêm vào

và

. Để ý đại lượng

để tạo thành

, do đó

rất tự nhiên ta nghĩ đến đánh giá

. Như vậy

lúc này bên vế trái còn lại
nghịch đảo
ra được

, đến đây ta sử dụng cách ghép hai đại lượng

. Như vậy lúc này ta thấy vế trái còn lại

và ta cần chỉ

. Điều này không thể làm khó ta được vì dễ nhận ra được
. Đến đây ta trình bày lại lời giải như sau
Lời giải

Ta viết lại biểu thức vế trái thành

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có các đánh giá sau:

;
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Hay
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

Ta tiếp tục vận dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho các ví
dụ sau đây.
Ví dụ 1.4: Cho số thực a bất kì. Chứng minh rằng:
Phân tích: Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh là
nhận thấy

. Để ý ta

, do đó ta sử dụng đánh giá từ trung

bình cộng sang trung bình nhân để chứng minh bất đẳng thức.
Ngoài ra, Để ý ta cũng có thể viết

, đến

đây ghép cặp nghịch đảo để chứng minh bất đẳng thức.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

Hay

, ta có

. Bất đẳng thức được chứng minh.

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
.
Ta cũng có thể trình bày lời giải như sau: Biến đổi vế trái và áp dụng bất đẳng thức
Côsi cho hai số ta có

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 1.5: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
rằng:

. Chứng minh

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế phải không chứa biến, nên khi
áp dụng áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái ta cần phải khử hết các biến,
như vậy ta cần phải có các đại lượng
, ngoài ra chiều bất đẳng thức gợi ý cho
ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân. Để ý là
khi đó ta áp dụng đánh giá cho 3 số dương

.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

Ví dụ 1.6: Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:
Phân tích: Đây là bất đẳng thức Neibizt đã được chứng minh bằng phép biến đổi
tương đương. Tuy nhiên ở đây ta thử dùng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh
xem sao.
+ Hướng 1: Để ý đẳng thức xẩy ra khi

nên khi đó có

. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số
đó ta được

khi

, áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức:

Như vậy ta cần chứng minh được
.
Đánh giá cuối cùng là một đánh giá sai. Do đó ta không thể thực hiện chứng minh
theo hướng thứ nhất được.
+ Hướng 2: Để ý là

, khi đó áp dụng tương tự được bất đẳng thức
hay

chỉ ra được

. Dễ dàng
và chú ý ta lại thấy
. Đến đây ta có lời giải

như sau

Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Hay
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.7: Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng :
Phân tích: Dự đoán đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
đẳng thức ta có thể lũy thừa bậc 3 hai

vế,

, để đơn giản hóa bất
khi đó ta được

hay
Quan

sát

bất

đẳng

.

thức

ta

chú

ý

đến

đẳng

thức

.
Như vậy bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được
và
, rõ ràng hai đánh giá trên đúng theo bất
đẳng thức Cauchy.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
Hay
Hay
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
và
Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.8: Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân

tích:

Bất

đẳng

thức

được

viết

lại

.

thành

. Dễ thấy đẳng thức không xẩy ra tại
, do đó để dự đoán được dấu đẳng thức xẩy ra tại đâu ta cần quan sát
thật kỹ vai trò các biến trong bất đẳng thức. Nhận thấy trong bất đẳng thức a và b,
và c,
và d có vai trò như nhau, do đó ta dự đoán đẳng thức xẩy ra khi
hay
, kiểm tra lại ta thấy kết quả đúng
vậy. Như vậy khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cần chú ý bảo toán dấu đẳng
thức. Trước hết ta có các đánh giá như sau:
Nhân theo vế các bất đẳng thức ta được
Tiếp tục áp dụng các đánh giá như trên ta được
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Đến đây ta thu được

chính là bất

đẳng thức cần chứng minh.
Ngoài ra, để đơn giản hơn ta có thể thực hiện các đánh giá như
Đến đây ta nhân theo vế và thu gọn thì được
Bây giờ ta trình bày lại lời giải như sau
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Sử dụng liên tiếp bất đẳng thức Cauchy dạng

, ta có

Nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế, ta suy ra

Hay
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ngoài ra, ta cũng có thể trình bày lời giải như sau:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Nhân theo vế các bất đẳng thức ta được
Tiếp tục áp dụng các đánh giá như trên ta được

Đến đây ta thu được
Hay bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 1.9: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích: Bất đẳng thức trên đã được chứng minh bằng cách đánh giá mẫu, ở đó
ta chứng minh bất đẳng thức phụ

bằng phép biến đổi tương

đương. Trong ví dụ này ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ trên bằng đánh giá từ
trung bình cộng sang trung bình nhân.
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Ta viết lại bất đẳng thức phụ trên thành
đánh giá là

, khi đó ta có các

. Đến đây cộng theo vế ta thu được

bất đẳng thức trên. Đến đây ta trình bày lời giải như sau
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được
Suy ra
Từ đó ta được
Chứng minh tương tự ta có

Cộng theo vế các bất đẳngthức trên ta được

Nhận xét: Khi đi tìm lời giải cho bất đẳng thức trên, cái làm khó ta chính là phải
phát hiện ra bất đẳng thức phụ

. Trong quá trình đó đòi hỏi ta phải

có sự phân tích kĩ càng và có những định hướng rõ ràng, còn trình bày chứng minh
bất đẳng thức thì cách nào cũng được miễn là càng gọn càng tốt.
Ví dụ 1.10: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích: Vì vai trò các biến như nhau trong bất đẳng thức nên ta được dự đoán
đẳng thức xẩy ra tại

, khi đó ta được

, do đó đẳng

thức sẽ xẩy ra tại
. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế trái của bất
đẳng thức phức tạp hơn nên ta chọn đánh giá bên vế trái trước. Từ chiều bất đẳng
thức ta cần phải thay các mẫu bởi các đại lượng bé hơn, tức là ta cần có đánh giá
, cho nên một cách tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy, khi đó ta
có
, đánh giá này vẫn được bảo toàn dấu đẳng thức. Lúc này ta được
và

áp

dụng

tương

tự

thì

ta

sẽ

thu

được

. Việc chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ
ra được

, nhưng đây là một đánh giá đúng theo bất

đẳng thức Cauchy. Do đó bài toán được chứng minh.
Lời giải
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các mẫu số ta được

Ta cần chứng minh được
Thật vậy, cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta thu được

.

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.11: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Phân tích: Vì vai trò các biến như nhau trong bất đẳng thức nên ta được dự đoán
đẳng thức xẩy ra tại
thức sẽ xẩy ra tại

Để ý đến đánh giá

, khi đó ta được

. Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành

khi đó ta được

Ta cần chứng minh được
ta có

, do đó đẳng

. Chú ý đến
, do vậy đến đây bài toán được chứng minh.

Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Mặt khác ta có
Do đó ta được
Ta cần chứng minh được
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Áp dụng tương tự ta được

.

Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

,

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.12: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
minh rằng:

.
. Chứng

Phân tích: Trước hết ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại
. Quan sát bất
đẳng thức ta có các ý tưởng tiếp cận như sau:
+ Hướng thứ nhất: Chú ý đến chiều bất đẳng thức ta liên tưởng đến đánh giá tương
tự như trong ví dụ 1.9 là

, khi đó ta được bất

đẳng thức là
tự

và áp dụng hoàn toàn tương
ta

được

bất

đẳng

thức

. Phép chứng minh
sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

. Tuy nhiên bất

đẳng thức đó là đúng nhờ hai đánh giá sau:
và
+ Hướng thứ hai: Áp dụng trự tiếp bất đẳng thức Cauchy ta có
nên ta được

, áp dụng tương tự ta được

bất đẳng thức

Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

, tuy

nhiên đánh giá này đã được khẳng định trong hướng thứ nhất. Bây giờ ta trình bày
lại lời giải như sau
Lời giải
Cách 1: Dễ dàng chứng minh được

, khi đó ta có

Áp dụng tương tự ta được

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
và

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được
Suy ra
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được

Suy ra

.

, áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức

Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có
.
Do đó ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.13: Cho a, b, c là các số thực bất kì. Chứng minh rằng:

.

Phân tích: Với bất đẳng thức trên việc dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra hơi khó. Để
dễ quan sát hơn ta có thể viết lại bất đẳng thức như sau:

Hay ta cần chứng minh
Quan sát thật kĩ bất đẳng thức trên ta thấy cần phải chứng minh được
Với bất đẳng thức trên, ta sử dụng phép biến đổi tương đương hoặc bất đẳng
thức Cauchy. Ở đây ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy, chú ý bên vế phải của bất
đẳng thức có chứa đại lượng

, như vậy ta cần biến đổi vế trái thành

. Để kiểm tra nhận định trên ta chỉ cần nhân tung hai biểu thức rồi
so sánh là được và rất may là nhận định trên là đúng. Bây giờ ta trình bày lại lời giải
như sau
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại như sau:

Hay ta cần chứng minh
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Áp dụng tương tự
Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Ví dụ 1.14: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện
Chứng minh rằng:

.

Phân tích: Đầu tiên ta dự đoán đẳng thức xẩy ra tại
. Quan sát bất
đẳng thức thì ý tưởng đầu tiên đó là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân
thức, tức là ta cần phải chứng minh được

Tuy nhiên bất đẳng thức trên không đúng, muốn kiểm tra ta chỉ cần chọn một
một bộ số, chẳng hạn

để thử thì thấy bất đẳng thức trên không

đúng. Do đó đánh theo bất đẳng thức Bunhiacopxki không thực hiện được. Trong
tình huống này ta nghĩ đến đánh giá bằng bất đẳng thức Cauchy.
Trước hết ta thử đánh giá trực tiếp bằng bất đẳng thức Cauchy xem sao, ta
có

Bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được
Tuy nhiên đánh giá trên lại không đúng.
Như vậy để đánh giá được theo bất đẳng thức Cauchy hay Bunhiacopxki ta
cần biến đổi các biểu thức trước. Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy cần biến đổi
thành đại lượng có chứa

và ta có thể biến đổi như

sau:

Đến đây ta được

, áp dụng tương tự ta thu

được

.

Để ý ta thấy trong các đánh giá trên xuất hiện các cặp nghịch đảo nên ta
ghép chúng lại
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Chú ý đến giả thiết
trình bày lại lời giải như sau
Áp dụng bất đẳng Cauchy ta có

ta có được điều cần chứng minh và lúc này ta
Lời giải

Suy ra
Áp dụng tương tự ta thu được

Khi đó ta được bất đẳng thức

Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có

Suy ra
Do
đó ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.15: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy giả thiết ta có

Tương tự ta có

Khi đó ta được

Áp dụng tương tự ta được
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

.
.

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có

Suy ra
. Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
.
Ví dụ 1.16: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:

Lời giải
Đẳng thức xẩy ra tại

, khi đó

Do đó ta áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương
Ta
cần chứng minh được

Dễ thấy
Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta có
Suy ra
Do đó ta được
Suy ra
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

Hay
Rõ ràng đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng. Vậy bất đẳng thức được chứng
minh.
Ví dụ 1.17: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt

, khi đó ta được

và từ giả thiết

ta được
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Từ đó ta có

. Do đó ta được

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
Do đó ta được
Hoàn toàn tương tự ta có
Suy ra

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
.
Ví dụ 1.18: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
. Chứng minh rằng:

Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và kết hợp với giả thiết ta có

Hoàn toàn tương tự ta được
Khi đó ta được

Ta cần chứng minh được
Thật vậy, đặt
Khi đó ta được
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Hay ta cần chứng minh
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 3 số dương ta có

Khi đó ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.19: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

Lời giải
Gọi vế trái của bất đẳng thức trên là P, khi đó ta có

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

Để ý là

. Khi đó ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1.20: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
Chứng minh rằng:
Từ giả thiết

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cachy ta có
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được

Và

Suy ra ta có

Gọi P là vế trái của bất đẳng thức
Đặt

(với

). Ta có

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

2. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình nhân sang trung
bình cộng.
Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng chính là đánh giá bất
đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía phải sang phía trái. Trong chuỗi đánh giá đó ta
cũng cần phải bảo toàn dấu đẳng thức xẩy ra. Dưới đây là một số ví dụ sử dụng kỹ
thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng.
Ví dụ 2.1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điền kiện
. Chứng
minh rằng:
Sai lầm thường gặp:

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

.
Cách chứng minh trên hoàn toàn sai. Vậy nguyên nhân sai lầm ở đây là gì?
Nguyên nhân sai lầm: Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
. Điều này trái với giả thiết.
Phân tích tìm lời giải: Để tìm lời giải cho bất đẳng thức trên, ta cần trả lời các câu
hỏi sau
- Đẳng thức xẩy ra tại đâu?
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mấy số, đó là những số nào?
Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau nên ta dự đoán điểm
rơi của bất đẳng thức sẽ là

, từ đó ta có

. Vì bất

đẳng thức chứa các căn bậc hai nên để phá căn ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy
cho hai số là a và

,…. Đến đây ta có lời giải đúng như sau:
Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

cho hai số không âm ta có:

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

Ví dụ 2.2: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điền kiện
minh rằng:

. Chứng

Sai lầm thường gặp

.
Cách chứng minh trên hoàn toàn sai. Vậy nguyên nhân sai lầm ở đây là gì?
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Nguyên nhân sai lầm: Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
. Điều này trái với giả thiết.
Phân tích tìm lời giải: Để tìm lời giải cho bất đẳng thức trên, ta cần trả lời các câu
hỏi sau
- Đẳng thức xẩy ra tại đâu?
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mấy số, đó là những số?
Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau nên ta dự đoán điểm
rơi của bất đẳng thức sẽ là

, từ đó ta có

. Vì bất

đẳng thức chứa các căn bậc ba nên để phá căn ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy
cho ba số là a,

và

,…. Đến đây ta có lời giải đúng như sau:
Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

cho các số thực dương ta được

Suy ra
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 2.3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn
rằng:

.
. Chứng minh

Phân tích: Do vai trò của các biến a, b, c trong các biểu thức là như nhau nên ta dự
đoán điểm rơi của bất đẳng thức sẽ là
, từ đó ta có
và
. Vì bất đẳng thức chứa các căn bậc ba
nên để phá căn ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số là 3a,
và 3,… Đến
đây ta có lời giải như sau:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

cho các số thực dương ta được

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Suy ra
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 2.4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn

.
. Chứng minh

rằng:

Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nghĩ đến đánh giá

. Đầu tiên ta

dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại

và

ta

có

, khi đó ta có

đánh

giá

nên

như

sau

. Áp dụng tương tự ta
được

. Đến đây ta trình bày lại lời

giải như sau

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

cho hai số dương. Ta có:

Tương tự ta có
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi

.

Ví dụ 2.5: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:

Phân tích: Trong chủ đề thứ hai ta đã chứng minh bất đẳng thức trên bằng phương
pháp sử dụng tính chất của tỉ số, nhưng ở đó điều kiện của bài toán cho a, b, c là
http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

các cạnh của một tam giác. Với bài toán này ta không chứng minh được như vậy mà
phải sử dụng các đánh giá khác. Quan sát bất đẳng thức ta thấy cần phải khử các
căn bậc hai bên vế trái.
- Cách thứ nhất là bình phương hai vế, tuy nhiên lúc đó bên vế trái vẫn còn
chứa căn bậc hai, do đó ta không nên sử dụng cách này.
- Cách thứ hai là sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

, để ý đến

chiều của bất đẳng thức nên ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho các mẫu số. Từ
đó một cách tự nhiên ta nghĩ đến phép biến đổi

và vì không cần

quan tâm đến dấu đẳng thức xẩy ra nên ta có đánh giá

. Đến

đây chỉ cần áp dụng tương tự cho hai căn thức còn lại là bài toán được chứng minh
Lời giải
Vì a là số thực dương nên ta có

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng

ta được

Chứng minh tương tự ta được
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
, điều này trái với giả thiết a, b, c là các
số thực dương. Do vậy đẳng thức không xẩy ra.
Tức là ta được
Vậy bài toán được chứng minh.
Ví dụ 2.6: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn
rằng:

Phân tích: Để ý đến giả thiết

Lại cũng từ giả thiết trên ta có

, ta thu được

. Chứng minh

, khi đó ta có

. Khi đó
.

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Đến đây để đơn giản hóa ta đặt

,

lúc này bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại là

,

đây chính là bất đẳng thức ở ví dụ trên.
Lời giải
Từ giả thiết
, ta có
Do a, b, c là các số thực dương nên từ

ta suy ra

.

Do đó ta được
Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức

Đặt

, lúc này bất đẳng thức cần

chứng minh được viết lại là
Đến đây ta chứng minh tương tự như ví dụ trên.
Ví dụ 2.7: Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:

Phân tích: Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy ra tại
đẳng thức ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức

. Quan sát bất

, tuy nhiên nếu sử dụng

ngay thì ta chỉ đánh giá cho các tử số được, như vậy dưới mẫu vẫn còn chứa căn
thức. Cho nên để sử dụng được bất đẳng thức đó ta cần phải khử được các căn ở
dưới mẫu trước, tuy nhiên việc này không thực hiện được. Chú ý đến chiều bất đẳng
thức ta thấy, chỉ cần đổi được chiều bất đẳng thức thì ta có thể sử dụng bất đẳng
thức trên có các căn thức ở mẫu và việc khử các căn ở tử số cũng đơn giản hơn. Từ
sự phân tích đó ta có thể làm như sau

http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word

Lúc này áp dụng bất đẳng thức

ta được

,

thực hiện tương tự ta được bất đẳng thức cần phải chứng minh.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

Áp dụng bất đẳng thức

ta được

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi
.
Nhận xét: Khi đánh giá một bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Cauchy nếu bị
ngược chiều thì ta có thể đổi chiều bất đẳng thức bằng cách nhân hai vế với

1 rồi

cộng thêm hằng số để cả hai vế đều dương. Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy
như trên còn được gọi là kĩ thuật Cauchy ngược dấu, vấn đề này sẽ được bàn cụ thể
hơn trong chủ đề “Kĩ thuật Cauchy ngược dấu”
Ví dụ 2.8: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn
minh rằng:

. Chứng

Phân tích: Đầu tiên ta thử với
thấy rằng dấu đẳng thức không xẩy ra, nên
ta dự đoán nó xẩy ra tại một biến bằng 0, điều này càng có cơ sở khi bài toán cho a,
b, c không âm. Cho c nhận giá trị 0 và
thì dấu đẳng thức xẩy ra. Như vậy ta
chọn được điểm rơi của bất đẳng thức là
và các hoán vị. Cũng từ điều
kiện
ta thấy trong ba số có nhiều nhất một số bằng 0. Do đó khi
đánh giá bất đẳng thức ta...