BÀI TẬP XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH
LOẠI 1. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Phương pháp: Giả sử ta cần tính khoảng cách từ một điểm M đến mặt phẳng
. Ta có thể tiến hành như sau:
Bước 1: Lấy một mặt phẳng
đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng
.
Tức là mặt phẳng
chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
hoặc mặt phẳng
chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
.
Bước 2: Xác định giao tuyến
của hai mặt phẳng
.
Bước 3: Từ điểm M kẻ MH vuông góc với giao tuyến
, với
. Khi đó
và do đó đoạn MH là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng
.
Việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng có thể dựa vào các kết quả của hình học phẳng và thường gắn liền với đường cao trong tam giác: Tam giác vuông; hệ thức lượng trong tam giác.
Trên đây là phương pháp chung để giải quyết bài toán này. Ngoài ra, nếu bài toán có sự đặc biệt nào đó ta có thể tính dựa vào các kết quả dưới đây:
Tính chất 1: Đường thẳng AB cắt mặt phẳng
tại điểm I khác A, B thì
.
Tính chất 2: Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng
, M là một điểm thuộc d thì
, với mọi điểm I thuộc đường thẳng d.
Tính chất 3: Nếu mặt phẳng
song song với mặt phẳng
và M là một điểm thuộc mặt phẳng
thì
, với mọi điểm I thuộc
.
Ví dụ 1. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
. Cạnh bên SA vuông góc với đáy và
.
a) Kẻ đường cao AH của tam giác SAB. Chứng minh rằng
và tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
.
b) Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng
.
c) Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng
.
d) Kẻ đường cao AK của tam giác ABD. Chứng minh rằng
và tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng
.
Ví dụ 2. Hình chóp đều.
Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên
. Gọi O là tâm của đáy.
a) Chứng minh rằng
.
b) Tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng
.
c) Gọi M là trung điểm của BC. Kẻ đường cao OH của tam giác SOM. Chứng minh rằng OH vuông góc với mặt phẳng
. Tính khoảng cách từ điểm O và điểm A đến mặt phẳng
.
Ví dụ 3. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
và
. Gọi O là trung điểm của cạnh BC.
a) Chứng minh rằng
và tính khoảng cách từ đỉnh S đến mặt phẳng
.
b) Kẻ đường cao BH của tam giác OAB. Chứng minh rằng
và tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
.
c) Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB. Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng
.
Ví dụ 4. Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và mặt bên SAD là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm của AD.
a) Chứng minh rằng
và tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng
.
b) Gọi G là trọng tâm của tam giác SBC. Tính khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng
.
c) Gọi J là trung điểm của cạnh BC. Kẻ đường cao IH của tam giác SIJ. Chứng minh rằng
và tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng
.
d) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng
.
LOẠI 2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Phương pháp: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
, ta có thể tiến hành theo một trong các cách dưới đây:
Cách 1: Dựa vào định nghĩa (xác định đường vuông góc chung).
Cách này thường được tiến hành khi ta biết được hai đường thẳng
vuông góc với nhau. Khi đó ta làm như sau:
Bước 1: Xác định một mặt phẳng
chứa
và vuông góc với đường thẳng
.
Tức là đường thẳng
vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
, trong đó có đường thẳng
.
Bước 2: Tìm giao điểm I của đường thẳng
với mặt phẳng
. Từ I kẻ IH vuông góc với
, với
. Khi đó IH là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng
.
Bước 3: Tính độ dài đoạn thẳng IH.
Ta thường vận dụng hệ thức lượng trong tam giác và tam giác đồng dạng; định lý Pitagor để tính độ dài đoạn IH.