SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2024-2025
Môn: Toán – lớp 9 THCS
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Đề thi khảo sát gồm 02 trang.

Họ và tên học sinh:………………………………………
Số báo danh:………….……………………..……………
Phần I. Trắc nghiệm (2,0 điểm)
Hãy chọn chữ cái đứng trước phương án trả lời đúng và ghi chữ cái đó vào bài làm.
x  2 y  5
Câu 1. Hệ phương trình 
có nghiệm  x0 ; y0  . Giá trị của biểu thức P  x05  2 y0 là
3 x  2 y  1

A. 3.

B. 5.

C. 9.

Câu 2. Nghiệm của bất phương trình 3  2 x  1 là
A. x  2.
B. x  2.
C. x  2.

D. 1.
D. x  1.

Câu 3. Phương trình nào sau đây có nghiệm kép?
A. x2  6 x  1  0.

B. x2  6 x  0.

C. x2  6 x  9  0.

D. x2  9  0.

Câu 4. Một cái thang dài 4,5m dựa vào tường và tạo với tường một góc 32 (như hình
minh họa). Khi đó chân thang cách chân tường một khoảng là bao nhiêu mét? (làm
tròn kết quả đến hàng phần mười của mét)
A. 3,8m.

B. 2, 4 m.

C. 2,8m.

D. 2,3m.

Câu 5. Cho tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn O . Số đo của góc BOC bằng
A. 120.

B. 90.

C. 60.

D. 30.

Câu 6. Một tấm khăn vải hình tròn có đường kính 1,8m. Người ta dùng cái khăn đó
để phủ kín lên một mặt bàn hình tròn có đường kính 1,4 m (như hình minh
họa). Tính diện tích phần vải rủ xuống mép bàn (kết quả làm tròn đến hàng
phần trăm của m2 ).

A. 4, 02 m2 .

B. 0,50 m2 .

C. 1, 26 m 2 .

D. 1, 01 m 2 .

Câu 7. Nhóm thứ nhất gồm ba học sinh nam là Đức, Hoàng và Mạnh. Nhóm thứ hai gồm bốn học sinh nữ là
Vân, Chi, Minh và Châu. Xét phép thử “Chọn ngẫu nhiên hai học sinh trong đó có một học sinh ở
nhóm thứ nhất và một học sinh ở nhóm thứ hai”. Hỏi không gian mẫu của phép thử trên có bao nhiêu
phần tử?
A. 7.
B. 12.
C. 6.
D. 24.
Câu 8. Một hộp có 20 viên bi cùng loại, mỗi viên bi được ghi một trong các số tự nhiên 1; 2; 3; ...; 19; 20.
Hai viên bi khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Bạn Bình lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Xác
suất của biến cố: “Số xuất hiện trên viên bi được lấy ra chia 7 dư 1” là
A.

1
.
2

B.

1
.
3

C.

3
.
10

D.

3
.
20

Trang 1/2

Phần II. Tự luận (8,0 điểm)
Bài 1. (1,5 điểm).
a) Tính giá trị biểu thức A 
b) Chứng minh đẳng thức

 2025 

x 

2024



x x 1



x 1

x 2

2



 2025  2 2024 .



x3 x 5
 x  2 (với x  0 ).
x 2

Bài 2. (1,0 điểm). Theo công bố ngày 11/10/2024 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, trong 5 năm (từ năm 2020
đến năm 2024) Việt Nam có 173 lượt thí sinh dự thi Olympic khu vực và quốc tế, đoạt được 159 huy
chương các loại. Số lượng từng loại huy chương trong 5 năm được thống kê như sau:
Loại huy chương

Số lượng

Huy chương vàng

9; 12; 13; 8; 12

Huy chương bạc
Huy chương đồng

8; 13; 12; 12; 15
5; 10; 8; 12; 10

(Trích nguồn https://vnexpress.net)
a) Hãy lập bảng tần số cho mẫu dữ liệu trên.
b) Vẽ biểu đồ hình cột biểu diễn bảng tần số cho mẫu dữ liệu thu được ở câu a).
Bài 3. (1,5 điểm)
1
1. Cho hàm số y   x 2 .
2
a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ x   2 .
2. Biết phương trình x2  4 x  2  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 . Không giải phương trình, hãy tính
giá trị của biểu thức B   x1  x2   x1  x22  2  .
2

Bài 4. (1,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Trong kì thi khảo sát chất lượng giữa học kì II môn Toán lớp 9 năm học 2024 – 2025, một phòng
thi của trường A có 24 thí sinh dự thi. Sau khi hết thời gian làm bài, tất cả thí sinh đều đã nộp bài, giám
thị coi thi đếm được tổng số tờ giấy thi thu về là 57 tờ. Hỏi trong phòng thi đó có bao nhiêu thí sinh
đã nộp 2 tờ giấy thi, bao nhiêu thí sinh đã nộp 3 tờ giấy thi? Biết rằng bất kì thí sinh nào trong phòng
thi đó đều nộp 2 tờ giấy thi hoặc 3 tờ giấy thi.
Bài 5. (1,0 điểm) Một chiếc cốc đang chứa nước. Khối nước trong cốc có một dạng hình
trụ, bán kính đáy bằng 6cm. Bạn Nam lấy một viên bi thủy tinh hình cầu thả vào
trong cốc và quan sát thấy viên bi bị ngập trong nước đồng thời nước không bị tràn
khỏi cốc (như hình minh họa). Bạn Nam đo được mực nước trong cốc dâng lên một
khoảng bằng 1cm.
a) Tính thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc.
b) Tính bán kính R của viên bi mà bạn Nam đã thả vào cốc.
Bài 6. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn  O , AB  AC. Qua các điểm B
và C vẽ các tiếp tuyến của đường tròn O , hai tiếp tuyến này cắt nhau tại M . Gọi H là giao điểm
của BC và OM .
a) Chứng minh bốn điểm B, O, C, M cùng thuộc một đường tròn và OM  BC.
b) Gọi D là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với đường tròn  O  . Chứng minh: ODH  OMD
và DB.DC.MA  AB.AC.MD.
----------HẾT--------Trang 2/2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH

HƯỚNG DẪN CHẤM
THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2024-2025
MÔN TOÁN LỚP 9

Phần I: Trắc nghiệm (2,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm
Câu
1
2
3
Đáp án

B

C

C

4

5

6

7

8

B

A

D

B

D

Phần II: Tự luận (8,0 điểm)
Bài 1. (1,5 điểm).
a) Tính giá trị biểu thức A 
b) Chứng minh đẳng thức
Ý
a
(0,75
điểm)

 2025 

x 

2024



x x 1



x 1

x 2

2



 2025  2 2024 .



x3 x 5
 x  2 (với x  0 ).
x 2

Nội dung

 2025 

2024



2

Điểm
0,25

 2025  2024

2025  2 2024 



2024  1



 2025  2 2024  2025  2024 



2

 2024  1

0,25

Do đó

b
(0,75
điểm)

A

 2025 

x 

 x 1 x 
x  1 x  2   x  x  1

2024

x x 1

2




x  2
x 1





2024  1  2026

x 1
x 2

0,25

0,25

Do đó

x 

x x 1



x 1

x 2





x3 x 5
x 1 x  3 x  5 x  4 x  4



 x 2
x 2
x 2
x 2
x 2

0,5

Bài 2. (1,0 điểm). Theo công bố ngày 11/10/2024 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, trong 5 năm (từ năm
2020 đến năm 2024) Việt Nam có 173 lượt thí sinh dự thi Olympic khu vực và quốc tế, đoạt được
159 huy chương các loại. Số lượng từng loại huy chương trong 5 năm được thống kê như sau:
Loại huy chương
Huy chương vàng

Số lượng
9; 12; 13; 8; 12

Huy chương bạc
Huy chương đồng

8; 13; 12; 12; 15
5; 10; 8; 12; 10
(Trích nguồn https://vnexpress.net)

a) Hãy lập bảng tần số cho mẫu dữ liệu trên.
b) Vẽ biểu đồ hình cột biểu diễn bảng tần số cho mẫu dữ liệu thu được ở câu a).

Trang 1

Ý
a
(0,5
điểm)

Nội dung
Lập đúng bảng tần số của mẫu dữ liệu
Loại huy chương

Huy chương vàng

Số huy chương
b
(0,5
điểm)

Điểm

Huy chương bạc Huy chương đồng

54

60

0,5

45

Vẽ đúng biểu đồ hình cột biểu diễn bảng tần số thu được ở câu a.

0,5

Loại huy chương

Bài 3. (1,5 điểm)
1
1. Cho hàm số y   x 2 .
2
a) Vẽ đồ thị hàm số.

b) Tìm điểm có hoành bằng  2 thuộc đồ thị hàm số.
2. Biết phương trình x2  4 x  2  0 có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 . Không giải phương trình,
hãy tính giá trị của biểu thức B   x1  x2   x1  x22  2  .
2

Nội dung

Ý
1
(0,75
điểm)

Điểm

a) Bảng một số giá trị tương ứng giữa x và y:
x

2

1
y   x2
2

2

1
1

2

0
0

1
1

2

2
2

1
1

Đồ thị hàm số y   x 2 là một Parabol đi qua các điểm  2;  2 ,  1;   ,
2
2


 0; 0 ,

1

1;   ,
2


 2;  2 .

Trang 2

0,25

Vẽ đồ thị:

0,25



  1 .
2 thuộc đồ thị hàm số là   2;  1 .

1
1
b) Thay x   2 vào hàm số y   x 2 , ta được y   .  2
2
2

Vậy điểm có hoành bằng 
2.
(0,75
điểm)

2

0,25

Vì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt nên áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
 x1  x2  4

 x1.x2  2

0,25

Vì x2 là nghiệm của phương trình nên x2 2  4 x2  2  0 hay x2 2  2  4 x2

0,25

B   x1  x2   x1  x22  2   x12  2 x1 x2  x2 2  x1.4 x2   x1  x2   16 .

0,25

2

2

Bài 4. (1,0 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Trong kì thi khảo sát chất lượng giữa học kì II môn Toán lớp 9 năm học 2024 – 2025, một phòng
thi của trường A có 24 thí sinh dự thi. Sau khi hết thời gian làm bài, tất cả thí sinh đều đã nộp bài,
giám thị coi thi đếm được tổng số tờ giấy thi thu về là 57 tờ. Hỏi trong phòng thi đó có bao nhiêu thí
sinh đã nộp 2 tờ giấy thi, bao nhiêu thí sinh đã nộp 3 tờ giấy thi? Biết rằng bất kì thí sinh nào trong
phòng thi đó đều nộp 2 tờ giấy thi hoặc 3 tờ giấy thi.
Nội dung
Gọi số thí sinh làm bài trên 2 tờ giấy thi và số thí sinh làm bài trên 3 tờ giấy thi lần lượt là

Điểm

x và y x 

0,25



*

; x  24; y 

*

; y  24  .

Tổng số thí sinh trong phòng thi là 24 nên ta có: x  y  24 1

0,25

Tổng số tờ giấy thi thu được là 57 tờ nên ta có: 2x  3 y  57  2 .

0,25

Kết hợp 1 và  2 tìm được x  15; y  9 (TMĐK).
Vậy có 15 thí sinh thí sinh làm bài trên 2 tờ giấy thi; có 9 thí sinh thí sinh làm bài trên 3
tờ giấy thi.

Trang 3

0,25

Bài 5. (1,0 điểm) Một chiếc cốc đang chứa nước. Khối nước trong cốc có một
dạng hình trụ, bán kính đáy bằng 6cm. Bạn Nam lấy một viên bi thủy tinh
hình cầu thả vào trong cốc và quan sát thấy viên bi bị ngập trong nước
đồng thời nước không bị tràn khỏi cốc (như hình minh họa). Bạn Nam đo
được mực nước trong cốc dâng lên một khoảng bằng 1cm.
a) Tính thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc.
b) Tính bán kính R của viên bi mà bạn Nam đã thả vào cốc.
Ý
1
(1,0
điểm)

Nội dung

Thể tích của phần nước đã dâng lên trong cốc bằng  .62.1  36  cm3 

Điểm
0,5

Thể tích phần nước dâng lên bằng thể tích của viên bi nên ta có
4
 .R 3  36
3

0,25

R3  27 . Do đó R  3  cm

0,25

Bài 6. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn  O , AB  AC. Qua các
điểm B và C vẽ các tiếp tuyến của đường tròn O , hai tiếp tuyến này cắt nhau tại M . Gọi
H là giao điểm của BC và OM .
a) Chứng minh bốn điểm B, O, C, M cùng thuộc một đường tròn và OM  BC.

b) Gọi D là giao điểm thứ hai của đường thẳng AH với đường tròn  O  . Chứng minh:

ODH  OMD và DB.DC.MA  AB.AC.MD.
2.a
(1,0
điểm)

a) MB là tiếp tuyến của đường tròn  O  nên MB  OB

0,25

MBO vuông nên các điểm B, O, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM .

Tương tự, MCO vuông nên các điểm O, C, M cùng thuộc đường tròn đường
kính OM .
Khẳng định được bốn điểm B, O, C, M cùng thuộc đường tròn đường kính
OM .

Trang 4

0,25
0,25

OB  OC nên O thuộc đường trung trực của đoạn BC
MB  MC nên M thuộc đường trung trực của đoạn BC .
Do đó OM là đường trung trực của đoạn BC suy ra OM  BC .

2b
(1,0
điểm)

b) Có OBH ∽ OMB (vì là các tam giác vuông có chung góc BOM )
OB OH

hay OB 2  OH .OM .
nên
OM OB
OD OH

Lại có OB  OD nên OB2  OD2  OH .OM do đó
.
OM OD
OD OH

ODH và OMD có DOM chung và
nên ODH ∽ OMD
OM OD

0,25
0,25

0,25

Do đó ODH  OMD .
Chứng minh tương tự, có OAH  OMA .
Khẳng định được OAH  ODH (vì OAD cân tại O ).

0,25

Do đó OMD  OMA suy ra MH là phân giác của góc DMA
DH MD

.
nên
HA MA
Chứng minh được DHC ∽ BHA; DHB ∽ CHA
Từ đó khẳng định được
Do đó

DH DH HB DC DB

.

.
.
HA HB HA AB AC

MD DC DB

.
hay DB.DC.MA  AB. AC.MD.
MA AB AC

----------HẾT---------

Trang 5

0,25