ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TỈNH NGHỆ AN MÔN TOÁN 11
Câu 1. a) Giải phương trình
(1)
Điều kiện:








.
Đối chiếu với điều kiện, phương trình đã cho có nghiệm là


b) Giải hệ phương trình






Thay
vào phương trình (2) ta được phương trình



(3)
Đặt
, phương trình (3) trở thành


Nếu
thì

Nếu
thì

Nếu
thì

Vậy
.
Do đó

.
Vậy hệ đã cho có nghiệm
với

Câu 2. Một hộp chứa 17 quả cầu đánh số từ 1 đến 17. Lấy ngẫu nhiên đồng thời ba quả cầu. Tính xác suất sao cho tổng các số ghi trên ba quả cầu đó là một số chẵn.


Gọi
là biến cố: Lấy được đồng thời ba quả cầu sao cho tổng các số ghi trên ba quả cầu đó là một số chẵn.
Xét các khả năng xảy ra
KN 1: Lấy được ba quả cầu có các số ghi trên ba quả cầu đó đều là số chẵn. Số cách chọn là

KN 2: Lấy được hai quả cầu có các số ghi trên hai quả cầu đó đều là số lẻ và một quả cầu có số ghi trên quả cầu là số chẵn. Số cách chọn là
.
Vậy:

Câu 3. Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi cạnh a,
Đặt

a) Tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
biết rằng

b) Tìm
theo
để tích
đạt giá trị lớn nhất.
a)
/
Gọi
là tâm của hình thoi
.
Khi
ta có
.
Suy ra góc giữa thẳng
và mặt phẳng
là góc
.
Mà
.

Đáy
là hình vuông.
Do đó


b) Ta có
tam giác
vuông tại
.
Suy ra
,
.
Do đó
.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si, ta có
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
.
Vậy
thì tích
đạt giá trị lớn nhất.
Câu 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
cho hình bình hành
Hình chiếu vuông góc của điểm
lên các đường thẳng
lần lượt là
; đường thẳng
có phương trình
Tìm tọa độ điểm

/
Gọi
là tâm hình bình hành

Vì tam giác
vuông tại
và
là trung điểm của
nên

Tương tự ta có
.
Từ (1) và (2) suy ra

(3)
Mà
thuộc
nên
(4)
Từ (3) và (4) suy ra
.
Do đó
thuộc đường tròn
có tâm
bán kính
.
có phương trình
.
Vì
là giao điểm của đường thẳng
và đường tròn
nên tọa độ
là nghiệm của hệ
hoặc
.
TH1:
,

Suy ra phương trình đường thẳng

TH2:
,

Suy ra phương trình đường thẳng


Câu 5. a) Cho dãy số
biết
với

Tính giới hạn:

Ta có:



Giả sử
. Ta cần chứng minh

Thật vậy:


(đpcm)
Vậy
với mọi
(1).




Áp dụng (2) suy ra



…


Cộng theo vế các đẳng thức trên ta được


Mặt khác theo (1) ta có

Vậy

Mà

Từ (2) và (3), suy ra

b) Cho ba số thực
thuộc đoạn
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Với ba số thực
thuộc đoạn
ta có





với
(1).
Ta sẽ chứng minh
(2)
Thật vậy: Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

TH1:

TH2:
, áp dụng bất dẳng thức Cô – Si cho ba số không âm
ta có





(3)
Mà
(4)
Từ (3) và (4) suy ra
.
Do đó (2) đúng. Từ (1) và (2) suy ra
.
Khi
thì
.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức
là
.