Câu 4. Một thanh AB đồng chất, tiết diện đều, chiều dài l, khối lượng m đặt trên mặt sàn nằm ngang. Nâng thanh AB lên một cách từ từ bằng cách đặt vào đầu B của nó một lực F luôn có phương vuông góc với thanh (lực F và thanh AB luôn nằm trong một mặt phẳng thẳng đứng). Hỏi hệ số ma sát giữa thanh và mặt sàn có giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu để dựng được thanh lên vị trí thẳng đứng mà đầu dưới của nó không bị trượt.
Quy tắc mômen
𝑀
𝑃
𝑀
𝐹↔𝑚𝑔
𝐴𝐵
2
𝑐𝑜𝑠𝛼=𝐹.𝐴𝐵→𝐹
𝑚𝑔
2
𝑐𝑜𝑠𝛼
Điều kiện cân bằng
𝐹
𝑃
𝑁
𝐹
𝑚𝑠
0

Chiếu phương ngang
𝐹
𝑚𝑠−𝐹𝑐𝑜𝑠𝛽=0
𝐹
𝑚𝑠−𝐹𝑠𝑖𝑛𝛼=0 (*)
Chiếu phương thẳng −𝑃+𝐹𝑠𝑖𝑛𝛽=0↔𝑁−𝑃+𝐹𝑐𝑜𝑠𝛼=0 (**)
Mà
𝐹
𝑚𝑠≤𝜇𝑁↔𝐹𝑠𝑖𝑛𝛼≤𝜇
𝑃−𝐹𝑐𝑜𝑠𝛼↔𝜇
𝐹𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑃−𝐹𝑐𝑜𝑠𝛼↔𝜇
𝑚𝑔
2
𝑐𝑜𝑠𝛼.𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑚𝑔
𝑚𝑔
2
𝑐𝑜𝑠𝛼.𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼.𝑠𝑖𝑛𝛼
2
1
𝑐𝑜𝑠
2
𝛼
2

↔𝜇
𝑐𝑜𝑠𝛼.𝑠𝑖𝑛𝛼
2
𝑐𝑜𝑠
2
𝛼(***)
Xét hàm số 𝑦
𝑐𝑜𝑠𝛼.𝑠𝑖𝑛𝛼
2
𝑐𝑜𝑠
2
𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼.𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠
2
𝛼+2
𝑠𝑖𝑛
2
𝛼

Bất đẳng thức côsi ta có
𝑐𝑜𝑠
2
𝛼+2
𝑠𝑖𝑛
2
𝛼≥2
2
𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼
Suy ra 𝑦
𝑐𝑜𝑠𝛼.𝑠𝑖𝑛𝛼
2
2
𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼
1
2
2(****)
Từ (***) và (****) suy ra
𝜇
𝑚𝑖𝑛
1
2
2


ta nhận thấy hàm số này lớn nhất khi
sin
2𝛼=1→𝛼
𝜋
4

Suy ra
𝜇
𝑚𝑖𝑛
sin⁡(2𝛼
4−sin⁡(2𝛼
1
4−1
1
3