CHUYÊN ĐỀ 2: TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ
II.1. Phương pháp tách số hạng:
1. Dạng 1: Số hạng tổng quát của dãy số có dạng tử là 1 và mẫu là tích của
hai số tự nhiên liên tiếp.
1.1. Ví dụ 1: Tính

Học sinh phải nhận dạng được mỗi số hạng của tổng có thể tách được như sau.

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được.

1.2. Ví dụ 2:
Tính tổng
Nhận xét: Ta thấy tổng này giống hệt như tổng ở ví dụ 1 ta dùng cách tách các
số hạng như ở ví dụ 1:

Nhận xét tổng quát: Nếu số hạng tổng quát có dạng:
Thì ta tách như sau:
Từ đó ta có công thức tổng quát để tính tổng như sau:

2. Dạng 2: Số hạng tổng quát của dãy số có dạng tử số là 1, mẫu là tích
hai thừa số hơn kém nhau “k” đơn vị.
2.1. Ví dụ 1:
1

Cách 1
Học sinh phải nhận dạng được các số hạng đều có dạng
- Tử số của các số hạng đó là 1
- Mẫu là tích của hai số tự nhiên hơn kém nhau hai đơn vị.
Ta có thể tách như sau:

………………………

Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được:

Nhận xét kết quả:
- Thừa số nhỏ nhất, lớn nhất của mẫu các số hạng là 1; 2005
- Kết quả bằng tích của hiệu các nghịch đảo thừa số nhỏ nhất và thừa số
lớn nhất với nghịch đảo đơn vị kém hơn.
Cách 2

Ta thấy:

(a,bN, a>b )

Ta phải biến đổi sao cho tử số của tất cả các số hạng phải là khoảng cách hai
thừa số dưới mẫu thì tất cả các hạng tử đều tách ra được:

2

Chú ý: Thông qua ví dụ trên cần phải khắc phục cho học sinh sai hay
gặp:
là sai
Nhận xét tổng quát:

với a-b=M

Bài toán tổng quát.
với m=1;2;3..
n=1;2;3.

3. Dạng 3: Mẫu các số tự nhiên liên tiếp.
3.1. Ví dụ 1: Tính tổng sau:

Nhận xét đề bài:
- Tử các số đều là 1
- Mẫu các số hạng đều là 3 tích số tự nhiên liên tiếp.

3

- Số hạng tổng quát có dạng
Ta có

Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được.

Nhận xét kết quả
Nếu mẫu có 3 thừa số thì tổng bằng tích nghịch đảo của( 3-1) với hiệu nghịch
đảo của tích 2 thừa số có giá trị nhỏ nhất và tích 2 thừa số có giá trị lớn nhất

3.2 Ví dụ 2. Tính tổng sau.

Nhận xét đề bài
- Tử các số hạng là 1
- Mẫu các số hạng đều là 4 tích số tự nhiên liên tiếp.
- Số hạng tổng quát có dạng
Ta có

4

Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được

=
Bài toán tổng quát

Ta có ngay
với m=2;3;4...

n=1; 2; 3……

Chú ý: Ví dụ 1: Có thể khai thác cho học sinh thấy trong tổng

Thì 3-1=4-2=…..=n+2-n=2

=>
Như vậy:

Một số bài tập áp dụng

5

Tính các tổng sau:

II.2. Tính tổng bằng phương pháp giải phương trình ( làm trôi)
Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng của một dãy số viết theo
thứ tự tăng (giảm) mà các số hạng của tổng quan hệ với nhau là:
Mỗi số hạng liền trước( liến sau) đều hơn (kém) nhau “q” lần thì ta có thể nhân
hoặc chia từng số hạng của tổng cho “q” để xuất hiện một tổng dãy số có quan
hệ tường minh với tổng ban đầu
1. Dạng 1: các số hạng của tổng luôn nhỏ hơn hoặc băng 1
1.1 Ví dụ 1. Tính tổng sau
(1)
Ta thấy mỗi số hạng liền sau của tổng đều kém số hạng liền trước của nó “2”
lần
(2)
Trừ vế với vế của (2) cho (1) ta được

1.2 Ví dụ 2. Tính tổng

Ta thấy:

(a,bN, a>b )

6

Ta phải biến đổi sao cho tử số của tất cả các số hạng phải là khoảng cách hai
thừa số dưới mẫu thì tất cả các hạng tử đều tách ra được:

2. Dạng 2:Các số hạng của tổng lớn hơn hoặc bằng 1
2.1 Ví dụ 1: Tính tổng sau
Ta thấy mỗi số hạng sau gấp số hạng liền trước nó “2” lần .
Cách làm tương tự như bài toán ở dạng 1
Ta có :

2.2 Ví dụ 2: Tính tổng sau
Sn=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1)

với nN*

Để tách mỗi số hạng thành hiệu của 2 số nhằm triệt tiêu từng cặp 2 số ta nhân
mỗi số hạng của tổng với 3. Thừa số 3 này được viết dưới dạng:
3-0 ở số hạng thứ nhất
4-1 ở số hạng thứ hai
5-2 ở số hạng thứ ba
(n+2)-(n-1) ở số hạng thứ cuối cùng
Ta có
3Sn=1.2.(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+…+n(n+1){(n+2)-(n-1)}
=(1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+ n(n+1)(n+2))-(0.1.2+1.2.3+2.3.4+…+(n-1)n(n+1))
=n(n+1)(n+2)
=>Sn=
Tổng quát cho 2 trường hợp trên ta có
7

với nN ; 1II.3. Tính tổng bằng phương pháp qui nạp toán học
Trong một số trường hợp tính tổng của một dãy số, ta chỉ thông qua một số
phép tính một vài số hạng đầu tiên ta có thể dự đoán kết quả. Phương pháp này
dễ dàng thực hiện được phép tính tổng, tuy nhiên việc vân dụng phương pháp
này chỉ giải quyết một số ít bài toán ở dạng tính tổng của dãy số. Lí do là một
số bài toán việc tìm ra giả thiết quy nạp còn gặp nhiều khó khăn.
Ví dụ: Muốn tính hay chứng minh một mệnh đề S k(k=1;2;3…) nào đó mà
ta thấy mệnh đề đó đúng với 1; 2; 3 giá trị đầu tiên của k thì ta có thể dùng
phương pháp quy nạp toán học để tính hoặc chứng minh mệnh đề đó.
Các bước giải bài toán này như sau:
Bước 1: Thử một vài giá trị đầu tiên xem tính đúng đắn của mệnh đề
Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n=k. Nghĩa là Sk đúng .
Bước 3: Ta phải chứng minh mệnh đề đó đúng với n=k+1, tức là S k+1
đúng
Bước 4: Kết luận bài toán.
Ví dụ: Tính tổng
Sn =1 + 2 + 3 + …+ n với nN
Dự đoán kết quả: Sn=
Với n= 1thì S1= 1

(đúng)

Với n=2 thì S2=1+2=

(đúng)

Với n=3 thì S3=1+2+3=

(đúng)

Giả sử kết quả trên đúng với n=k tức là
Sk=1+2+3+…+k=
Ta phải chứng minh kết quả trên đúng với n=k+1
Tức là phải chứng minh Sk+1=
8

Thật vậy Sk+1= 1+2+3+...+k+ (k+1)
=

+ (k+1)

=

(ĐPCM)

Suy ra dự đoán trên là đúng
Vậy Sn=1+2+3+…+n=
Sau đây là một số bài tập tương tự
Tính các tổng sau:
1. Sn=1 + 3 + 5 +…+ (2n-1)

với nN*

ĐS : Sn=n2

2. Sn=12+22+32+…+n2

với nN*

ĐS: Sn=

3. Sn=13+23+33+…+n3

với nN*

ĐS: Sn=

4. Sn=13+33+53…+(2n-1)3

với nN*

ĐS: Sn= n2(2n2-1)

II.4. Phương pháp tính tổng thông qua tổng đã biết.
Qua thực tế giải toán ta gặp những tổng của dãy số cần tính có thể biểu diễn
qua tổng hữu hạn của tổng khác mà ta đã biết khi đó ta có thể biến đổi tổng cần
tính làm xuất hiện các tổng mà ta đã biết kết quả. Việc làm như vậy có thể tính
được tổng phức tạp thông qua tổng đã biết
1. Dạng 1: Tách tổng đã cho thành các tổng đã biết (tổng đã tính
được)
1.1 Ví dụ 1: Tính tổng sau
Sn=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1)

với nN*

Ta thấy n.(n+1)=n2+n
Nên ta có Sn =12+22+32+…+n2+1+2+…+n

Chú ý: Ta có thể giải bài toán trên băng cách khác như sau:

9

Sn=1.2+2.3+3.4+…+n.(n+1)
3Sn

với nN*

=1.2.(3-0)+2.3(4-1)+3.4(5-2)+…+n(n+1){(n+2)-(n-1)}

=(1.2.3+2.3.4+3.4.5+…+ n(n+1)(n+2))-(0.1.2+1.2.3+2.3.4+…+(n-1)n(n+1))
=n(n+1)(n+2)
=>Sn=
1.2 Ví dụ 2: Tính tổng sau:
Sn=1.3+3.5+5.7+…+(2n-1)(2n+1)
Nhận xét đề bài :
- Khai thác từ số hạng tổng quát ta có
(2n-1)(2n+1)=4n2-1

2. Dạng 2: Tính tổng thông qua việc lập hiệu hai tổng trung gian
Ví dụ: Tính tổng sau.
Sn=13+33+53+…+(2n+1)3
Nhận xét đề bài: Đây là tổng lập phương của các số lẻ liên tiếp.
Muốn tính tổng trên ta lập một tổng là tổng lập phương của các số tự nhiên
liên tiếp rồi bới đi phần cộng thêm.
Giải
Sn=13+23+33+…+(2n)3+(2n+1)3-{23+43+63+…+(2n)3}
=13+23+33+…+(2n)3+(2n+1)3-23{13+23+33+…+(2n)3}
=
={n(2n+1)}2-2{n(n+1)}2
=n2(4n2+4n+1-2n2-4n-2)
=n2(2n2-1)

10

III. PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Qua thực tế giảng dạy áp dụng các phương pháp tính tổng vào các bài toán
cụ thể tôi thấy: Vấn đề then chốt trong việc giúp học sinh tự mình khai thác tự
mình tìm ra lời giải và giải các dạng bài toán tính tổng nói trên là:
- Trang bị cho các em cách nhìn nhận, phân loại dạng bài, dự đoán kết
quả.
- Lập chương trình giải và giải bài toán đó.
- Tổng quát hoá bài toán và tự lập cho mình một bài toán thông qua việc
giải bài toán khác.
Ví dụ như giải bài toán sau:
Tính tổng : S=
Ngay từ đề bài đa số các em nhận ra ngay bài toán này thuộc vào dạng 1
của phương pháp tách số hạng, nhưng chưa phản ứng nhanh để giải bài tóan
này vì tử số của các số hạng lại không bằng 1 do đó không thể tách số hạng
ngay được. Có một vài em phát hiện ngay lập tức đó là đặt thừa số “3” chung
cho tất cả các số hạng như sau:
S=
Theo bài toán đã biết
S=
Căn cứ vào bài toán trên yêu cầu các em làm bài toán khác với tử số các số
hạng là: 2; 4; 5; 6; …; k
Do đó ta có bài toán tổng quát
S=
Cũng tương tự cách khai thác để tổng quảt bài toán có 1 em trong nhóm 5
đã có thể tổng quát được bài toán

11

Trong thực tế dạy thực nghiêm, yêu cầu học sinh tính tổng của dãy số
nhưng không viết theo thứ tự của dãy mà viết theo thứ tự khác nhằm kiểm
nghiệm sự hiểu biết về dãy số cũng như về khả năng quan sát của học sinh.
Ví dụ. Tính tổng sau
S= 12+32+22+52+42+…+20042+20032+20052
Trong ví dụ này ta có thể đánh giá được nhóm học sinh, học sinh nào có thể
giải được bài toán nhanh gọn dễ hiểu, học sinh nào hiểu đề bài nhưng cách giải
còn rườm rà, học sinh không thể hiểu bài và không giải được. Đó là bước quan
trọng để chon ra học sinh khá, giỏi, chon học sinh có năng lực nhận thức về bộ
môn toán khi đi thi đạt kết quả cao.
Cách 1: Xắp sếp lại tổng
S= 12+32+22+52+42+…+20042+20032+20052
S= 12+22+32+42+52+…+20032+20042+20052
=
Cách 2: S= 12+32+22+52+42+…+20042+20032+20052
S= (12+32+52+…+20052)+(22+42+…+20042)
=(12+32+52+…+20052)+22(1+22+…+10022)

12