ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 1
NĂM HỌC 2021-2022
Môn: TOÁN - Lớp 6
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Bài 1:(3 điểm)
a) Thực hiện phép tính

b) Rút gọn biểu thức

23. 53 - 3 {400 -[ 673 - 23. (78 : 76 + 12021)]}
Bài 2: (4,0 điểm)
Tìm số tự nhiên x biết:
a) x + (x + 1) + (x + 2) + …+ (x + 99) = 5450.
b) 3.(5x - 1) - 2 = 70.
c) 2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 960 - 2x + 3
Bài 3: (3 điểm) Chứng tỏ rằng:
a) (3100+19990) 2
b) Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4
Bài 4 (6,0 điểm)
a)

và

b) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia
cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3.
c) Cho p là số nguyên tố (p > 3) và 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Hỏi 4p + 1 là số
nguyên tố hay hợp số? Vì sao?
Bài 5 (4,0 điểm)
Một nửa số ô vuông của một bàn cờ 8x8 được tô đen như hình vẽ sau. Có tất cả bao
nhiêu hình vuông 2x2, 4x4, 6x6 mà có một nửa số ô vuông được tô đen?

………….. Hết …………

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 1
NĂM HỌC 2021-2022
Môn: TOÁN - Lớp 6
(Thời gian làm bài 120 phút)

Bài
Bài 1
(3đ)

Lời giải
a) 2 . 5 – 3. {400 -[ 673 - 2 (78 : 76 + 12021)]}
3

3

3

Điểm

= 8.125 – 3.{400-[673-8. ( 49+1)]}

0,5

= 1000 - 3.{ 400-273}

0,5

= 1000 - 381

0,5

= 619
2)

1,5

Bài 2
(4đ)

a, x + (x + 1) + (x + 2) + …+ (x + 99) = 5450.
100x + (1 + 2+ 3+ …+ 99) = 5450
Lí luận tính tổng: 1 + 2+ 3+ …+ 99 = 4950
khi đó 100x + 4950 = 5450
100x = 500
Vậy x = 5
b,3.(5x - 1) - 2 = 70.
3.(5x - 1) = 70 + 2
3.(5x - 1) = 72
5x - 1 = 72 : 3
5x - 1 = 24
5x = 25
5x = 52
Vậy x = 2

Bài 3
(3đ)

Bài 4
(6đ)

c, 2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 960 - 2x + 3
2x (1 + 2 + 22 + 23) = 960
2x .15 = 960
2x = 960: 15
2x = 64
2x = 26
Vậy x = 6

0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,5đ
0,5đ
0,5đ

0,75đ
0,25đ

a) Ta có:
3100 = 3.3.3….3 (có 100 thừa số 3)
= (34)25 = 8125 có chữ số tận cùng bằng 1
19990 = 19.19…19 ( có 990 thứa số 19 )
= (192)495 = 361495 ( có chữ số tận cùng bằng 1
100
Vậy 3 +19990 có chữ số tận cùng bằng 2 nên tổng này chia hết cho 1,5
2
b) Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : a ; (a +1) ;( a + 2) ;( a + 3 )
(a
)
Ta có : a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6
Vì 4a 4 ; 6 không chia hết 4 nên 4a+ 6 không chia hết 4
a) Ta thấy:
(1)

1,5
0,75
0,75

(2)
Từ (1) và (2) suy ra
Vậy

.

0,5

b) Vì a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia
cho 7 dư 3
0,5

Nên

0,75
Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất
0,25
Mà các số 2; 3; 5; 7 nguyên tố cùng nhau

Vậy số tự nhiên cần tìm là 199.

0,75
0,25

c) Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2
(với k N, k >1)
Nếu p = 3k +1 thì 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 3(2k + 1)
và lí luận chỉ ra 2p + 1 là hợp số, trái với đề bài
1,5
Do đó p = 3k + 2 khi đó 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 3(4k + 3)
và lí luận chỉ ra 4p + 1 là hợp số
Kl…..

Bài 5
(4đ)

Ta đánh số các dòng từ dưới lên trên là

,

0,25

, …,

và đánh số các cột từ phải sang trái là

,

, …,

.
0,5
Hình vuông

có một nửa số ô vuông được tô màu là các

hình nằm trên các dòng

,

nên có tất cả

,

hình.

Hình vuông

có một nửa số ô vuông được tô màu là các

hình nằm trên các dòng
các cột

hoặc các cột

,

,
,

,

và

và

hoặc

nên có tất cả

1
1

hình.
Hình vuông

có một nửa số ô vuông được tô màu là các hình
1

nằm trên các dòng

,

hoặc các cột

,

nên có tất cả
Vậy có

,

hình.
hình.

,
,

,
,

,
,

,

0,25

TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6

PHÒNG GD&ĐT

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

HUYỆN TƯ NGHĨA

Môn thi: Toán 6
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ SỐ 1
Câu 1. (3,0 điểm) Cho A =

. Tìm giá trị của n để:

a) A là một phân số.
b) A là một số nguyên
Câu 2. (4,0 điểm)
a) Không quy đồng hãy tính tổng sau: A =
b) So sánh P và Q, biết: P =

và Q =

Câu 3. (3,0 điểm): Tìm x, biết:
a) (7x - 11)3 = 25.52 + 200
b) 3 x + 16 = - 13,25
Câu 4. (3,0 điểm) Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng
thêm 4 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng

số còn lại. Cuối năm có

số còn lại. Tính số học sinh của lớp

6A.
Câu 5. (2,0 điểm) Cho ababab là số có sáu chữ số, chứng tỏ số

là bội của 3.

Câu 6. (5,0 điểm) Cho xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của
tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay.
a) Tính BD.
b) Biết BCD = 850, BCA = 500. Tính ACD
c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK
Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6
Câu

Đáp án
a) A =

là phân số khi: 12n + 1

Điểm
Z , 2n + 3

0,5

3 0
Câu 1
(3,0 điểm)

Z và 2n +

n

0,5

Z và n -1,5

b) A =

0,5

= 6-

A là số nguyên khi 2n + 3

Ư(17)

2n + 3

0,5
0,5

n

0,5
a) Tính A =
Câu 2.
(4,0 điểm)

=-(

)

0,5
0,5

=-(
=-(

0,5

)
)

0,5

=
b) So sánh P và Q
Biết: P =

0,75

và Q =

0,25
Q=

=

+
0,25

+
Ta có:

<

0,25

<
<
=>

+

0,25
+

<

0,25
Kết luận: P > Q
a) (7x-11)3 = 25.52 + 200

0,25

=> (7x -11)3 = 32.25 + 200

0,25

=> (7x -11)3 = 800 + 200

0,25

=> (7x -11)3 = 1000 = 103

0,25

=> 7x - 11 = 10

0,25

=> 7x = 21

0,25

=> x = 3
b) 3 x + 16 = - 13,25

Câu 3

=> x + =

0,5

=> x = -

0,5

=> x = -30

(3,0 điểm) => x = -9

0,25
0,25

Câu 4
(3,0 điểm)

Số học sinh giỏi kỳ I bằng

số học sinh cả lớp

Số học sinh giỏi cuối bằng

số học sinh cả lớp.

4 học sinh là

-

(học sinh)

=

0,75
0,75

số học sinh cả lớp.

số học sinh cả lớp là 4 nên số học sinh cả lớp là 4:

Câu 5

0,75

.10000 +

.100 +

= 40

0,75

0,5

= 10101.
(2,0 điểm)

0,5

Do 10101 chia hết cho 3 nên
hay

chia hết cho 3

là bội của 3.

0,5
0,5
0,25

Cy

D

A

B

a) Tính BD
Câu 6
(5,0 điểm)

Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax

0,25

A nằm giữa D và B
BD = BA + AD = 5 + 3 = 8 (cm)

0,5

b) Biết BCD = 850, BCA = 500. Tính ACD

0,5

Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD

0,5

=> ACD + ACB = BCD
=> ACD = BCD - ACB = 850 - 500 = 350

0,25

c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK
* Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

0,5

- Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B

0,25

- Suy ra: AK + KB = AB

0,5

KB = AB – AK = 5 – 1 = 4 (cm)

0,25
* Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax
- Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B
- Suy ra: KB = KA + AB

KB = 5 + 1 = 6 (cm)

0,25
0,5
0,25
0,25

* Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 6 cm
(Bài thi của thí sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)

ĐỀ SỐ 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KIỂM TRA KHẢO SÁT HỌC SINH ĐỘI TUYỂN
Năm học 2016 - 2017

TỈNH ĐỒNG THÁP

Môn kiểm tra: TOÁN – LỚP 6

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày kiểm tra: 27/01/2017

(Đề gồm có 01 trang)

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I: (4.0 điểm). Thực hiện phép tính
1) A =

2) B = 81.

Câu II: (4.0 điểm)
1) So sánh P và Q
Biết P =

và Q =

2) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a, b) = 420; ƯCLN(a, b) = 21 và a + 21 = b.
Câu III: (4.0 điểm)
1) Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4y 37 thì 13x +18y 37
2) Cho A =

và B =

Tính B – A
Câu IV. (6.0 điểm)
Cho xÂy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D
sao cho AD = 4 cm.
1) Tính BD.
2) Lấy C là một điểm trên tia Ay. Biết BĈD = 800, BĈA = 450. Tính AĈD
3) Biết AK = 2 cm (K thuộc BD). Tính BK
Câu V: (2.0 điểm)
1) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho:

2) Tìm số tự nhiên n để phân số

đạt GTLN. Tìm giá trị lớn nhất đó.

Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6
Câu
Câu 1

Nội dung
a) Ta có:

Điểm
0.5

0.5

0.5

0.5
KL:…..

b) Ta có:

0.5

0.5

0.5

KL:……

0.5

a) Ta có:
Q=

=

+

+

1.0

+
Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là: 2010; 2011;

0.75

2012 thấy được các phân thức của P đều lớn hơn các phân thức của Q
Kết luận: P > Q

0.25

b) Từ dữ liệu đề bài cho, ta có:
Câu 2

+ Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao
cho:
a = 21m; b = 21n
và ƯCLN(m, n) = 1

(1)
(2)

0.5

+ Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy ra:
0.5

+ Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra:

Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có
Trường hợp: m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 là thoả mãn điều kiện
(4).

0.5

Vậy với m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 ta được các số phải tìm là:
a = 21.4 = 84; b = 21.5 = 105
0.5

0.5

a) Ta có:

Hay
Vì

0.5

(*)

0.5

, mà (4; 37) = 1 nên

Do đó, từ (*) suy ra:

, mà (5; 37) = 1 nên

0.5

b) Ta có:

0.5
Lấy (2) – (1), ta được:
Câu 3

0.5

0.5
Vậy
0.5

Hình vẽ:

C y

.

0.5

D

A

B

x

a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax
A nằm giữa D và B

0.5

BD = BA + AD = 6 + 4 = 10 (cm)

0.5

KL:…..

0.5

b) Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD
Câu 4

=> ACD + ACB = BCD

0.5

=> ACD = BCD – ACB = 800 – 450 = 350

0.5

KL:….

0.5

c) * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax

0.5

- Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B

0.25

- Suy ra: AK + KB = AB

0.25

KB = AB – AK = 6 – 2 = 4 (cm)

0.25
0.25

* Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax

a) Từ
0.25
(2x – 1).y = 54 = 1.54 = 2.27 = 3.18 = 6.9
Vì x là số tự nhiên nên 2x – 1 là ước số lẻ của 54.
Ta có bảng sau:

Câu 5

2x – 1

1

3

9

27

x

1

2

5

14

y

54

18

6

2

0.25
0.25
0.25

Vầy (x; y) = (1; 54); (2; 18); (5; 6); (14; 2)
b)

= 2,5 +

0.25

Vì n N nên B = 2,5 +

đạt GTLN khi

đạt GTLN.
0.25

Mà

đạt GTLN 4n – 10 là số nguyên dương nhỏ nhất.

- Nếu 4n – 10 = 1 thì n =

(loại)
0.25

- Nếu 4n – 10 = 2 thì n = 3.

0.25

Vậy GTLN của B = 13,5 khi n = 3.

ĐỀ SỐ 3
PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU

ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016

TRƯỜNG THCS QUỲNH GIANG

Môn toán lớp 6

ĐỀ CHÍNH THỨC

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1 (2,0 điểm)
a) Tính nhanh: 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27. 99)
b) Tính tổng: A =
Câu 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức: M = 5 + 52 + 53 + … + 580. Chứng tỏ rằng:
a) M chia hết cho 6.
b) M không phải là số chính phương.
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Chứng tỏ rằng:

là phân số tối giản.

b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B =

có giá trị là số nguyên.

Câu 4 (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 dư 1; chia cho 4
dư 2; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11.
Câu 5 (2,0 điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ 3 tia Oy, Oz, Ot sao cho

a) Tính

và

b) Trong 3 tia Oy, Oz, Ot tia nào nằm giữa 2 tia còn lại? Vì sao?
c) Chứng minh: Oz là tia phân giác của góc yOt.
Câu 6 (1,0 điểm) Chứng minh rằng:

+

+

+...+

ĐÁP ÁN

<1

Câu 1 (Mỗi câu đúng, cho 1,0 điểm)
a) 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27. 99)
= 16 + 27 - 7.6 - 94.7 + 27.99
= 16 + 27 + 27.99 - 7.6 - 94.7
= 16 + 27(99 + 1) - 7.(6 + 94)
= 16 +27.100 - 7. 100
= 16 + 100(27- 7) = 16 + 100.20 = 16 + 2000 = 2016
b) A =
Ta có
Tương tự:

; ......;

A=

=

Câu 2 (Mỗi câu đúng, cho 1,0 điểm)
a) Ta có: M = 5 + 52 + 53 + … + 580
= 5 + 52 + 53 + … + 580 = (5 + 52) + (53 + 54) + (55 + 56) +... + (579 + 580)
= (5 + 52) + 52.(5 + 52) + 54(5 + 52) + ... + 578(5 + 52)
= 30 + 30.52 + 30.54 + ... + 30.578 = 30 (1+ 52 + 54 + ... + 578) 30
b) Ta thấy : M = 5 + 52 + 53 + … + 580 chia hết cho số nguyên tố 5.
Mặt khác, do: 52+ 53 + … + 580 chia hết cho 52 (vì tất cả các số hạng đều chia hết cho 52)
 M = 5 + 52 + 53 + … + 580 không chia hết cho 52 (do 5 không chia hết cho 52)
 M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 52
 M không phải là số chính phương.
(Vì số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2).

Câu 3 (Mỗi câu đúng, cho 1,0 điểm)
a). Chứng tỏ rằng:

là phân số tối giản.

Gọi d là ước chung của n + 3 và 2n + 5 với d  N
 n + 3 d và 2n + 5 d
 (n + 3) - (2n + 5) d  2(n + 3) - (2n + 5) d  1 d  d = 1  N
 ƯC( n + 3 và 2n + 5) = 1
 ƯCLN (n + 3 và 2n + 5) = 1 

là phân số tối giản.

b). Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B =
Ta có:

=

=2-

Để B có giá trị nguyên thì
Mà

nguyên

có giá trị là số nguyên.

1

nguyên.

(n +3) hay n + 3 là ước của 1.

Do Ư(1) = 1; Ta tìm được n = {-4 ; - 2}
Câu 4: Giải
Gọi số phải tìm là x. Theo bài ra ta có x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6.
 x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 6
Mà BCNN(3; 4; 5; 6) = 60 nên x + 2 = 60.n .
Do đó x = 60.n – 2; (n = 1; 2; 3…..)
Mặt khác x 11 nên lần lượt cho n = 1; 2; 3…. Ta thấy n = 7 thì x = 418
Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418.
Câu 5 (Vẽ hình đúng, cho 0,5 điểm. Còn lại mỗi ý 0,5 điểm)

11

a).

(300 < 700)

 Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Oz


= 700 - 300 = 400
(700 < 1100)

 Tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Ot


= 1100 - 700 = 400

b)

(300 < 1100)

 Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Ot


t

= 1100 - 300 = 800

Theo trên,

= 40

z
y

0

300



<

(400 < 800)

x

O

 Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot
c). Theo trên: Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot và có:

= 400;

= 400

 Oz là tia phân giác của góc yOt.
Câu 6 Chứng minh rằng :
Ta có

<

=

<

=

+

+

+...+

-

+ ...+

<1

-

-

..
<


+

=
+...+

<

-

+

-

= 1-

<1

Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa.

ĐỀ SỐ 4
TRƯỜNG THCS NÔNG

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

TRANG - T.P VIỆT TRÌ

CẤP TRƯỜNG 2014 - 2015
MÔN: TOÁN 6
Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề)

Câu 1 (1,5 điểm): Thực hiện phép tính.

a)

b) M =
Câu 2 (2,5 điểm)
a) Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 +…+ 52012. Chứng tỏ S chia hết cho 65.
b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19
dư 11.
c) Chứng tỏ: A = 10n + 18n - 1 chia hết cho 27 (với n là số tự nhiên)
Câu 3 (2,0 điểm)
a) Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55
b) Chứng minh rằng:

Câu 4 (2,5 điểm): Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB.
a) Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a
+ 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o
Tính ao
b) Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o
c) Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao
Câu 5 (1,5 điểm): Cho
a) Chứng minh rằng A chia hết cho 24
b) Chứng minh rằng A không phải là số chính phương.
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT
HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014 - 2015
Môn: TOÁN 6
Câu Ý

Nội dung, đáp án

1

Điểm
1,5

a

Đặt A=B.C
0,25

0,25

Suy ra
0,25
M=
- Đặt A = 1+2+22+23 + ...+22012
b - Tính được A = 2

2013

0,25

–1

- Đặt B = 22014 – 2
- Tính được B = 2.(22013 – 1)
- Tính được M =
2

0,25
0,25

2,5

a

S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 +…+ 52012.

0,25

S = (5+52+53+54)+55(5+52+53+54)+....+52009(5+52+53+54)

0,25

Vì (5+52+53+54) =780 65
Vậy S chia hết cho 65
b Gọi số cần tìm là a ta có: (a-6) 11 ;(a-1) 4; (a-11) 19.
(a-6 +33) 11; (a-1 + 28) 4; (a-11 +38 ) 19.

0,25
0,25
0,25

(a +27) 11; (a +27) 4; (a +27) 19.
Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a+27 nhỏ nhất

0,25

Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 ) .
Từ đó tìm được : a = 809

0,25

0,25

0,25
Ta biết số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư khi chia cho 9
do đó

nên

. Vậy

3

0,25
2

a Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55
=>(3y – 1)(2x + 1) = -55
=>

(1)
0,25
0,25

Để x nguyên thì 3y – 2  Ư(-55) =
+) 3y – 2 = 1 => 3y = 3 => y = 1, thay vào (1) => x = 28
+) 3y – 2 = 5 => 3y = 7 => y =
+) 3y – 2 = 11 => 3y = 13 => y =

(Loại)
(Loại)

+) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1

0,25

+) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y =

(Loại)

+) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5
+) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2
+) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y =

(Loại)

0,25

Vậy ta có 4 cặp số x, y nguyên thoả mãn là
(x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3)
b/ Chứng minh rằng :

0,25

Ta có

0,25

b

0,25

(ĐPCM)
0,25

4

2,5
Vẽ đúng hình

D

C

y
(a+20)o

(a+10)o
x
22o

ao

48o

A

O

B

E

Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB.
0,25
Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một
góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o.Tính ao

0,25

Do OC, OD nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và
. Nên tia OC nằm giữa hai tia OA v à OD

a

0,25

=>
=> ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o
=> 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o
b Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o

0,25

Tia Oy nằm giữa hai tia OA v à OB

0,25

Ta có :
Nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy

0,25

=>

0,25

Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc
AOC bằng ao

0,25

V ì tia OC nằm giữa hai tia OA và OD nên
0,25

c
Vì

nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và OD

=>
Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo là : 180o – 88o = 92o

0,25
1,5

Chứng minh rằng A chia hết cho 24
Ta có :
5

a

0,25
(1)
Ta lại có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng các chữ số bằng
1, nên các số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 khi chia cho 3 đều có số dư bằng 1

8 chia cho 3 dư 2.

0,25
Vậy A chia cho 3 có số dư là dư của phép chia (1 + 1 + 1 + 1 + 2) chia cho 3
Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0)
Vậy A chia hết cho 3
Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 8.3 = 24

0,25

Chứng minh rằng A không phải là số chính phương.

0,25

Ta có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 đều có chữ số tận cùng là 0
b Nên

có chữ số tận cùng là 8

0,25

Vậy A không phải là số chỉnh phương vì số chính phương là những số có
chữ số tận cùng là 1 ; 4; 5 ; 6 ; 9
Chú ý: - Mọi cách giải thích khác nếu đúng ghi điểm tối đa.
-----------HẾT-------------

0,25

ĐỀ SỐ 5
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6

HUYỆN HOẰNG HOÁ

NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi: 18/03/2015
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
(Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang)

Bài 1 (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau:
a. A =
b. B = 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015

c.
Bài 2 (4,0 điểm)
a. Tìm số tự nhiên x biết 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50
b. Tìm các chữ số x; y để A =

chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1.

c. Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 - 1 chia hết cho 3.
Bài 3 (4,5 điểm)
a. Cho biểu thức:
Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là số nguyên.
b.Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: x2 + 117 = y2
c. Số

viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số .

Bài 4 (5,0 điểm)
Cho góc

= 550. Trên các tia Bx; By lần lượt lấy các điểm A; C

(A

B). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho

B; C

a. Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm.
b. Tính số đo của

.

c. Từ B vẽ tia Bz sao cho

= 900. Tính số đo

Bài 5 (2,0 điểm)
a. Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn:

.

= 300

b. Cho

. Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho 5
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
HỌC SINH GIỎI- MÔN: TOÁN 6
NĂM HỌC 2014 - 2015

Bài

Nội dung cần đạt
a. A=

=

Điểm
1,5 đ

b. B = 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015 = 3.{5.[33 : 11] - 16} + 2015

0,5 đ

= 3.{15-16} + 2015 = 3.(-1) + 2015 = 2012

1,0 đ
0,5đ

c. C =

1
(4,5 đ)

0,5 đ

0,5 đ
a. Biến đổi được: (x - 3)2 = 144

1.0 đ

2
(4,0 đ)

Vì x là số tự nhiên nên x = -9 (loại). Vậy x = 15
b. Do A =

chia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1. Ta có A =

0.5 đ
0,5 đ

Vì A =

chia cho 9 dư 1 

-1 9

9

 x + 1 + 8 + 3 + 0 9  x + 3 9, mà x là chữ số nên x = 6

0,5 đ

Vậy x = 6; y = 1
0,5 đ
c. Xét số nguyên tố p khi chia cho 3.Ta có: p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 ( k N*)

0.25đ

Nếu p = 3k + 1 thì p2 - 1 = (3k + 1)2 -1 = 9k2 + 6k chia hết cho 3

0.25đ

Nếu p = 3k + 2 thì p2 - 1 = (3k + 2)2 -1 = 9k2 + 12k chia hết cho 3

0.25đ

Vậy p2 - 1 chia hết cho 3.

0.25đ

a. Để B nhận giá trị nguyên thì n - 3 phải là ước của 5

0,5 đ

=> n - 3

0,75 đ

{-1; 1; -5; 5} => n { -2 ; 2; 4; 8}

Đối chiếu đ/k ta được n { -2 ; 2; 4; 8}

0,25 đ

b. Với x = 2, ta có: 22 + 117 = y2  y2 = 121  y = 11 (là số nguyên tố)

0,5 đ

* Với x > 2, mà x là số nguyên tố nên x lẻ  y2 = x2 + 117 là số chẵn
3
(4,5 đ)

=> y là số chẵn

0,5 đ

kết hợp với y là số nguyên tố nên y = 2 (loại)

0,25 đ

Vậy x = 2; y = 11.

0,25 đ

c. Ta có: 1030 = 100010 và 2100 = 102410. Suy ra : 1030 < 2100 (1)

0,5đ

Lại có: 2100= 231.263.26 = 231.5127.64 và 1031=231.528.53=231.6257.125

0,5đ

Nên: 2100< 1031 (2). Từ (1) và(2) suy ra số 2100 viết trong hệ thập phân có 31

0,5đ

chữ số .

4
(5,0 đ)

0,5 đ

a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C
=> AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm

0,5 đ
0,5 đ

b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA và BC ta có đẳng thức:
=>

= 550 – 300 = 250

0,5 đ
1,0 đ

c) Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: Tia Bz và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên

0,5 đ

tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD
Tính được

=

0,5 đ

- Trường hợp 2: Tia Bz, và BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia
BD nằm giữa hai tia Bz và BA
Tính được

= 900 +

=

0,5 đ

0,5đ
a. Ta có:
 100.
 7.

(1)
+

= 7.

- 100 =

 100 < 7.

.
Vì 0 <



(7.

0,25 đ

- 100) =

< 10 nên 0 < 7.

< 110 

- 100 < 10

. Vậy

thay vào (1) được

= 15

 1005 + 110b = 1050 + 105.b

0,25 đ

0,25 đ

 5b = 45  b =9 Vậy a = 1; b = 9; c = 5
0,25 đ

5
(2,0 đ)

b) Vì 2012 ; 92 đều là bội của 4 nên

và

cũng là bội của 4

0,25 đ

Khi đó
tức là
Dễ thấy

0,25 đ

có tận cùng bằng 0 hay
> 0 mà

suy ra

0,25 đ

. Suy ra A là số tự nhiên chia hết cho 5.
0,25 đ

Tham khảo đề thi HSG lớp 6:

https://vndoc.com/thi-hoc-sinh-gioi-lop-6