PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2022-2023

THIỆU HOÁ

Đề chính thức

Môn: Toán 6

Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 19/04/2023
(Đề gồm: 05 câu, 01 trang)

Câu 1: ( 4,0 điểm).
1) Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2026

b) B =

2) Chứng minh:
Câu 2. (4,0 điểm) Tìm x biết:

1)
2)
3) Tìm số tự nhiên có ba chữ số biết rằng khi chia số đó cho các số 25, 28, 35 thì được
các số dư lần lượt là 4, 7, 14.
Câu 3: ( 4,0 điểm).
1) Cho a, b là các số tự nhiên thỏa mãn a + 4b chia hết 13. Chứng minh (a + 4b).(10a +b) chia hết cho 169.
2) Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho 7p + q; pq + 11đều là số nguyên tố.
Câu 4: ( 6,0 điểm).
1) Một khu vườn hình chữ nhật ABCD có chu vi 120m,
người ta mở rộng khu vườn như hình vẽ để được một vườn
hình chữ nhật có diện tích lớn hơn như hình vẽ. Hãy tính
diện tích phần mới mở thêm.

E
10m

A

F

B

G
10m

D

C

H

2) Đoạn thẳng AB = 36 cm được chia thành bốn đoạn thẳng có độ dài không bằng nhau theo thứ tự là các đoạn
thẳng AM, MN, NP và PB . Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AM, MN, NP, PB . Biết độ
dài của đoạn thẳng EH =30 cm. Tính độ dài của đoạn thẳng FG.
3) Vẽ 101 đường thẳng đôi một cắt nhau. Hỏi số giao điểm (của hai đường thẳng hay nhiều
đường thẳng) ít nhất, nhiều nhất là bao nhiêu?
Câu 5: ( 2,0 điểm). Cho bốn số nguyên a, b, c, d sao cho 2b = a + c, 2c = b + d, c 2 + d2 < 4. Tìm số nguyên a biết b
= 2.
---------------- Hết ---------------

Họ tên thí sinh:.......................................................SBD........................................

UBND HUYỆN THIỆU HÓA
PHÒNG GIÁO DỤC THIỆU HÓA

Bài

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH
GIỎI LỚP 6 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023
MÔN: TOÁN
Đáp án

Câu 1.1a

Điểm

3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2026

0,5đ

= 3.{5.[33 : 11] - 16} + 2026

0.5đ

=3.{15-16} + 2026
= 3.(-1) + 2026 = 2023
Câu 1.1b

0.5đ

Ta có:

0,5đ
0.5đ
Câu 1:
( 4,0đ).

0.5đ

Câu 1.2
Ta có

0,25đ

0.25đ
0.25đ

Câu 2:
( 4,0đ).

Câu 2.1

. Vậy

0.25đ

0.5đ
0.5đ
0.5đ

Vậy x =4
Câu 2.2

(1)
0.5đ

Ta có:

0.5đ
0.5đ

Nên từ (1) suy ra:

Câu 2.3

x=3

Ta gọi số cần tìm là
Theo bài ra số đó chia cho các số 25, 28, 35 thì được các số dư lần lượt là 4,
7, 14 nên

0.25đ

0.25đ

Ta có:
Suy ra x + 21 là BC ( 25; 28; 35) mà BCNN ( 25; 28; 35) = 700 nên
(x + 21) chia hết 700
Do

0.25đ

0.25đ

Vậy x = 679.
Câu 3:
( 4,0đ).

Câu 3.1
Do

0.5đ
0.5đ

Lại có
Suy ra 10a + b chia hết 13.

0.5đ

0.5đ

Vậy (a + 4b).(10a +b) chia hết cho 169
Câu 3.2
Ta có p, q là số nguyên tố nên pq +11 là số nguyên tố lớn
hơn 11
⇒ pq + 11 là số lẻ nên pq là số chẵn
Do 7p + q là số nguyên tố lớn hơn 7 nên p, q không thể
cùng chẵn
*)Th1: p = 2 7p+ q =14 +q. Ta thấy 14 chia 3 dư 2

0.25đ

0.25đ
0.25đ

+)Nếu q chia hết cho 3, do q nguyên tố nên q = 3  7p+
q = 17;
pq +11=17 đều nguyên tố ( thỏa mãn).
0.25đ
+)Nếu q chia cho 3 dư 1⇒ 14+q chia hết cho 37p+ q là
hợp số ( loại)
+)Nếu q chia cho 3 dư 2 thì 2q chia cho 3 dư 1 pq + 11
chia hết cho 3 nên pq +11 là hợp số

0.25đ

*)Th2: q = 2 7p + q= 7p+2 và pq + 11 = 2p +11

0.25đ
0.25đ

+)Nếu p chia hết cho 3 thì p = 3 khi đó 7p + q= 7p+2 =
23 và pq + 11 = 2p +11 = 17 đều nguyên tố ( thỏa mãn)
+)Nếu p chia 3 dư 1 thì 7p chia 3 dư 1 nên 7p + 2 chia
0.25đ
hết cho 3 nên
7p + 2 là hợp số (loại)
+)Nếu p chia cho 3 dư 2 thì 2p chia 3 dư 1 ⇒ suy ra 2p +
11 chia hết cho 3 nên pq +11là hợp số ( loại)
Vậy ( p, q) là (2 ; 3) hoặc ( 3; 2)
Câu 4.1
Câu 4:
( 6,0đ).

F

E
A

10m

B
G
10m

D

C

H

F

E
10m

A

I
10m

B
G

K

10m

D

H

C

Nữa chu vi ABCD là AB + BC = 60m

0.25đ

Chuyển hình chữ nhật BGHC thành hình chữ nhật FIKG
( vì BG = FG = 10m)

0.25đ

Khi đó phần diện tích mở rộng chính là diện tích hình chữ nhật AEIK.
0.25đ

Chiều rộng AEIK là AE = 10m

0.25đ

Chiều dài AEIK là AK = AB + BG + GK = AB + BG + BC =70m

0.5đ

Vậy diện tích phần mới mở thêm là : 70 x 10 = 700 (m2)
0.5đ

Câu 4.2
A

E

F
M

G
N

H
P

B

0.25đ

Do AB = 36cm mà EH = 30cm nên AE + BH = 6cm

0.25đ

Do E và H là trung điểm của AM và PB nên:
AM + PB = 2 (AE + BH) = 12cm.

0.5đ

Suy ra MP = 36 -12 = 24cm.
Lại có F, G là trung điểm của MN và NP nên:
FG = (MN + NP ): 2 = MP :2= 12cm
Vậy FG = 12cm
Câu 4.3
Số giao điểm ít nhất là khi 101 đường thẳng đó cùng đi qua 1 điểm
( đồng quy). Khi đó số giao điểm là 1(giao điểm)
Số giao điểm nhiều nhất là khi 101 đường thẳng trong đó

0.25đ
0.5đ
0.25đ

0.5đ

0.5đ

bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có
ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Khi đó:
0.5đ

Mỗi đường thẳng cắt 100 đường thẳng còn lại nên tạo ra
100 giao điểm.
Có 101 đường thẳng nên có: 101.100 = 10100 (giao
0.5đ
điểm).
Do mỗi giao điểm được tính hai lần nên số giao điểm là:
10100 : 2 = 5050 (giao điểm).
Vậy số giao điểm ít nhất là 1, nhiều nhất là 5050 (giao
điểm)
Câu 5: Ta có: 2b = a + c nên b – a = c – b
( 2,0đ).
0.5đ
2c = b + d nên d – c = c – b
Do đó d – c = b – a = c – b
Vì a, b, c, d là bốn số nguyên nên d – c, b – a, c – b là các số nguyên
Đặt d – c = b – a = c – b = k nguyên,

0.5đ

suy ra a = b – k, c = b + k, d = c + k = b + 2k = 2 +2k

0.25đ

Do c2 + d2 < 4 nên d2 < 4  (2 +2k)2 < 4 (1 +k)2 < 1
+ k nguyên nên 1 + k = 0  k = -1  a = 3, c = 1, d = 0.
Thử lại thấy a = 3, b = 2, c = 1, d = 0 thỏa mãn.
Vậy a = 3.
Lưu ý:
- Câu 4.2: Nếu thí sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm điểm.
- Điểm bài thi làm tròn đến 0,25.
- Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.

mà 1 0.5đ
0.25đ