PHÒNG GD&ĐT PHÚ VANG
TRƯỜNG THCS PHÚ AN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2021 - 2022
Môn: Toán 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (5 điểm) Tính giá trị của các biểu thức
a) A =
b) B =
c) C =

. Biết

và 2a + b – c = - 5

Câu 2: (4 điểm)
a) Tìm x, biết:
b) Tìm x, biết:
c) Tìm x, y, z, biết: (2x – 3)2 + (4 – 3y)2 + (x – 2y + z)2 = 0
Câu 3: (5 điểm)
a) Chứng minh: D = 3x+1 + 3x+2 + … + 3x+8 chia hết cho 120 với mọi số tự nhiên x
b) Cho a, b, c, x, y, z khác 0 thỏa mãn:

.

Chứng minh rằng:
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =
Câu 4: (6 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, sao cho CD = AC. Đường
thẳng vuông góc với BC tại D cắt AB tại I.
a) Chứng minh: DI = AI
b) Chứng minh:
c) Tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt đường thẳng CI tại H. Tính
--------- HẾT ---------

.

PHÒNG GD&ĐT PHÚ VANG
TRƯỜNG THCS PHÚ AN

ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2021 - 2022
Môn: Toán 7
Câu

Nội dung

Điể
m

A=
a
(1đ)

0,5

=
=

= 9 – 12 – 3 = -6

0,5

B=
b
(2đ)
1
(5đ)

=

0,5

=

0,5

=

= 2.2022 + 1 = 4045

Ta có:

1
0,5
0,5

c
(2đ)

Suy ra:
a+6=5
b+5=3
c+8=9

a = -1
b = -2
c=1

Thay vào biểu thức C =
C=
2
(4đ)

a
(2đ)

0,5
, ta được:
0,5
0,5
1,5

b
(1đ)

c
(1đ)

(x + 2)2 = 4.9 = 36
Vì (2x – 3)2 0; (4 – 3y)2 0; (x – 2y + z)2
(2x – 3)2 + (4 – 3y)2 + (x – 2y + z)2 = 0 khi
(2x – 3)2 = 0; (4 – 3y)2 = 0; (x – 2y + z)2 = 0
2x – 3 = 0; 4 – 3y = 0; x – 2y + z = 0
x=

a
(2đ)

,y=

0 nên:

0,5
0,5

,z=

Ta có: D = 3x+1 + 3x+2 + … + 3x+8
= (3x+1 + 3x+2 + 3x+3 + 3x+4) + (3x+5 + 3x+6 + 3x+7 + 3x+8)
= 3x(3 + 32 + 33 + 34) + 3x+4(3 + 32 + 33 + 34)
= 120.3x + 120.3x+4 = 120.(3x + 3x+4) 120.
Đặt

3
(5đ)

1

= k, ta có: x = ak, y = bk, z = ck
,

b
(1,5đ)

0,5
0,5
1
0,5

,

0,5

;
Vậy

0,5

Ta có:
M=

4
(6đ)

c
(1,5đ) =
Vậy Mmin = 2023, đạt được khi (x – 2020)(2021 – x)
hay 2020 x 2021.
- Vẽ hình
M
- Chứng minh được
B
D
AIC = DIC
P
H
a
(cạnh huyền – cạnh góc vuông)
I
(2đ)
DI = AI
N

b
(2đ)

c
(2đ)

A

1
0

0,5
0,5
1,5
C

Ta có:
AI2 = DI2 = IC2 – CD2 (1)
AI2 = DI2 = IB2 – BD2 (2)
Cộng theo vế (1) và (2) ta được:

0,5
0,5

2AI2 = IC2 + IB2 – (BD2 + CD2)

1

Gọi M, N, P lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến CB,
CA, AB
Vì AIC = DIC nên
CI là tia phân giác của
H CI HM = HN (*)
Mặt khác H thuộc tia phân giác của góc ngoài của ABC tại đỉnh B

0,5

nên HM = HP (**)
Từ (*) và (**) suy ra HM = HP
NHA = PHA (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
= 450
= 1350
* Lưu ý: HS làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
GV ra đề

Lại Đăng Thịnh

HIỆU TRƯỞNG DUYỆT

0,5
0,5
0,5