BIỂU THỨC TỔ HỢP – NHỊ THỨC NEWTON

Bài 1: (ĐHSP TPHCM 1999)
Tìm số tự nhiên k thoả mãn hệ thức:


Bài giải

(0 ≤ k ≤ 12, k ( N)
(

(

( (k + 1)(k + 2) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k)
( k2 – 12k + 32 = 0 ( k = 4 hoặc k = 8
Vậy: k = 4 hoặc k = 8
Bài 2. (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999)
Tính tổng:
trong đó
là số tổ hợp chập k của n phần tử.


Bài giải
S =

=
=
= 386.
Bài 3. (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999)
Tìm các số nguyên dương x thoả:



Bài giải

(x ( N, x ≥ 3)
( x + 3x2 – 3x + x3 – 3x2 + 2x = 9x2 – 14x
( x(x2 – 9x + 14) = 0 (
Vậy: x = 7
Bài 4. (ĐH Bách khoa HN 1999)
Tính tổng: S =

trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 2.


Bài giải
S =
(n > 2)
Xét đa thức p(x) = (1 – x)n. Khai triển theo công thức Newton ta được:
p(x) = (1 – x)n =

Suy ra: – p((x) = n(1 – x)n–1 =

Cho x = 1 ta được: 0 =

=
= S
Vậy: S = 0
Bài 5. (ĐHQG HN khối A 2000)
Chứng minh rằng:

(trong đó k nguyên, 0 ≤ k ≤ 2000)


Bài giải
Ta sẽ chứng tỏ:


Thật vậy, chỉ cần chứng tỏ:
(1) với (k = 0, 1, 2, …, 999.
Ta có: (1) (

( (k + 1) < 2001 – k
( 2k < 2000 ( k < 1000 đúng vì k = 0, 1, 2, …, 999.
Vì vậy:
,(k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức (
)
và:
, (k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức (
)
(
(đẳng thức ( k = 1000)
Bài 6. (ĐHQG HN khối B 2000)
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức sau:

, x ≠ 0


Bài giải
Số hạng tổng quát của khai triển là:

(k ( N, 0 ≤ k ≤ 17)
Để số hạng không chứa x thì
( k = 8
Vậy số hạng cần tìm là số hạng thứ 9 của khai triển và bằng
.
Bài 7. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000)
Giải bất phương trình:



Bài giải
Điều kiện:

Ta có:

(
.2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤

( x2 ≤ x2 – 3x + 12 ( x ≤ 4
Kết hợp điều kiện, ta được: x = 3, x = 4.
Bài 8. (ĐHSP HN khối A 2000)
Trong khai triển nhị thức
, hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x, biết rằng



Bài giải
* Xác định n:
( 1 + n +
= 79
(

* Ta có:
=

Số hạng không phụ thuộc x (
( k = 7.
Vậy số hạng cần tìm là:
= 792
Bài 9. (ĐHSP HN khối BD 2000)
Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x2 + 1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax12 trong khai triển đó.


Bài giải
Ta có: (x2 + 1)n =
(1)
Số k ứng với số hạng ax12 thoả mãn pt: x12 = x2k ( k = 6.
Trong (1) cho x = 1 thì
= 2n
Từ giả thiết (
= 1024 ( 2n = 1024 ( n = 10
Vậy hệ số cần tìm là:
= 210.
Bài 10. (ĐHSP TPHCM khối DE 2000)
Tính tổng: S =



Bài giải
* Ta có: I =

* I =
=

=
= S
Vậy: S =
.
Bài 11. (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000)
Chứng minh:



Bài giải
Ta có: (1 + x)n =

Lấy đạo hàm hai vế:
n(1 + x)n–1 =

Thay x =
, ta được:


(

Bài 12. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
Tìm hệ số của x31 trong khai triển của f(x) =



Bài giải

=
=

Hệ số của x31 là
với k thoả mãn đk: 3k – 80 = 31 ( k = 37
Vậy: hệ số của x31 là
= 40.13.19 = 9880.
Bài 13. (ĐH Thuỷ lợi 2000)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có:




Bài giải
Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
* Với n = 2, đpcm (
đúng
* Giả sử BĐT cần chứng minh đúng với n = k (k ≥ 2), tức là ta có:


Ta cần chứng minh BĐT đúng với n = k + 1.
Thật vậy,
=
=

Vậy:
, (n ≥ 2
Bài 14. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)
Cho đa thức P(x) = (1 + x)9 + (1 + x)10 + (1 + x)11 + … + (1 + x)14 có dạng khai triển là: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + a14x14.
Hãy tính hệ số a9.


Bài giải
a9 = 1 +

= 1 +

= 1 + 10 +

= 3003
Bài 15. (ĐH Y Dược TPHCM 2000)
Với n là số nguyên dương, hãy chứng minh các hệ thức sau:
1.
= 2n
2.
=



Bài giải
1. (1 + x)n =

Cho x = 1 (
= 2n
(1 – x)2n =

Cho x = 1 ( đpcm.
Bài 16. (ĐH An ninh nhân dân khối DG 2000)
Tính tổng: S =



Bài giải
Có (x + 1)2000 =
(1)
Trong (1) cho x = 1 ta được
= 22000
Đạo hàm 2 vế của (1) theo x, ta có: 2000.(x + 1)1999 =

Cho x = 1 ta được:
= 2000.21999 = 1000.22000
Do đó: S =
= 1001.22000.
Bài 17. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)
Khai triển đa thức: P(x) = (1 + 2x)12 thành dạng:
a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12
Tìm max(a1, a2, …, a12).


Bài giải
P(x) = (1 + 2x)12 = a0 + a1x + a2x2 + … + a12x12
ak =
; ak < ak+1 ( k <

(
= 126720
Bài 18. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối A 2000)
Tính tích phân: I =
(n ( N*)
Từ đó chứng minh rằng:




Bài giải
( Tính I bằng 2 cách:
* Đổi biến: t = 1 – x2 ( dt = –2xdx
( I =
=
=

* Khai triển nhị thức:
x(1 – x2)n = x

( I =

=

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.
Bài 19. (CĐ Cảnh sát nhân dân khối A 2000)
Tìm hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức:
(x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7


Bài giải
Hệ số của x5 trong khai triển của biểu thức:
(x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 + (x + 1)7
là:
= 1 +
= 28
Bài 20. (ĐH An Ninh khối A 2001)
Tìm các số âm trong dãy số x1, x2, …, xn, … với
xn =
(n = 1, 2, 3, …)


Bài giải
Ta phải tìm các số tự nhiên n > 0 thoả mãn:
xn =
< 0 ( (n + 3).(n + 4) –
< 0
( 4n2 + 28n – 95 < 0 (

Vì n là số nguyên dương nên ta được n = 1, 2 ( các số hạng âm của dãy là x1, x2.
Bài 21. (ĐH An ninh nhân dân khối A 2001)
Chứng minh rằng với n là số tự nhiên, n ≥ 2, ta có:

=
.


Bài giải
Ta có:
= n(n – 1) (

Thay n lần lượt bằng 2, 3, … ta được:

=
(đpcm)
Bài 22. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2001)
Giải hệ phương trình:



Bài giải
Đặt u =
; v =
(

Mà u = y!v ( y! = 2 ( y = 2
(
( x2 – x – 20 = 0 (

Vậy

Bài 23. (ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001)
1. Tính tích phân: I =

2.Tínhtổng: S =



Bài giải
1. I =
=

2. Ta có:
I =
=
=

=

=
= S
Vậy: S =

Bài 24. (ĐH Đà Lạt khối D 2001)
MRới mọi số x ta có: xn =
(n (N) (*)


Bài giải
Đặt u = 2x – 1, ta được:
(*) (
( (u + 1)n =
. Đẳng thức đúng.
Bài 25. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001)
Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng:
S =



Bài giải
Có

( S =

=
=
=
=

Bài 26. (ĐH Hàng hải 2001)
Chứng minh:



Bài giải
Ta có: (1 + 3)2n =

(1 – 3)2n =

Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được:
42n + 22n = 2

Từ đó ta được:

Bài 27. (ĐH Luật TPHCM khối A 2001)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:

= n.4n–1


Bài giải
Xét hàm số: f(x) = (x + 3)n =

Ta có: f((x) = n(x + 3)n–1 =

Cho x = 1, ta được:
f((1) = n.4n–1 =
(đpcm)
Bài 28. (ĐHSP HN khối A 2001)
Trong khai triển của
thành đa thức:
a0 + a1x + a2x2 + … + a9x9 + a10x10 (ak ( R)
hãy tìm hệ số ak lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10).


Bài giải
Ta có: ak–1 ≤ ak (
(

( k ≤ 2(11 – k) ( k ≤

Vậy hệ số a7 là lớn nhất: a7 =
.
Bài 29. (ĐH Vinh khối AB 2001)
Cho n là một số nguyên dương cố định. Chứng minh rằng
lớn nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá
.


Bài giải
Ta có:
=
và
=

(
.
Do đó:
>
(
( k <

Bảng biến thiên:


(
lớn nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá
.
Bài 30. (ĐH Vinh khối DTM 2001)
Chứng minh rằng:




Bài giải
Ta có: (x + 1)2001 =

(–x + 1)2001 =

Cộng lại ta được:
(x + 1)2001 + (–x + 1)2001 =
= 2

Cho x = 3 ta được:
42001 – 22001 = 2

(

Bài 31. (ĐH Y Dược TPHCM 2001)
Cho k và n là các số nguyên thoả mãn: 9 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng:




Bài giải
Đặt ak =
với 0 ≤ k ≤ n. Ta chứng minh rằng:
a0 > a1 > … > an (1)
Thật vậy, ta có BĐT ak > ak+1 với 0 ≤ k ≤ n – 1 (2)
(

(
( (2n – k)(n + k + 1) > (n – k)(2n + k + 1)
( 2nk + n > 0
Ta được BĐT đúng ( (2) đúng ( (1) đúng.
Do đó: ak =
= a0
Dấu “=” xảy ra ( k = 0.
Bài 32. (ĐH khối A 2002)
Cho khai triển nhị thức:


(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó
và số hạng thứ tư bằng 20. Tìm n và x.


Bài giải
Từ
ta có n ≥ 3 và
(
(
( n2 – 3n – 28 = 0 (

Với n = 7 ta có:
= 140 ( 35.22x–2.2–x = 140
( 2x–2 = 4 ( x = 4.
Vậy n = 7, x = 4.
Bài 33. (ĐH khối B 2002)
Cho đa giác đều A1A2…A2n (n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, …, A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1, A2, …, A2n. Tìm n?


Bài giải
Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1, A2, …, A2n là
.
Gọi đường chéo của đa giác đều A1A2…A2n đi qua tâm đường tròn (O) là đường chéo lớn thì đa giác đã cho có n đường chéo lớn.
Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1, A2, …, A2n có các đường chéo là hai đường chéo lớn. Ngược lại, với mỗi cặp đường chéo lớn ta có các đầu mút của chúng là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật nói trên bằng số cặp đường chéo lớn của đa giác A1, A2, …, A2n, tức
.
Theo giả thiết thì:


(
( 2n – 1 = 15 ( n = 8.
Bài 34. (ĐH khối D 2002)
Tìm số nguyên dương n sao cho:

= 243


Bài giải
Ta có: (x + 1)n =

Cho x = 2 ta được: 3n =
( 3n = 243 ( n = 5.
Bài 35. (ĐH dự bị 2 2002)
Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình:
≤ 9n.


Bài giải
BPT (
(

( 3 ≤ n ≤ 4 ( n = 3 hoặc n = 4.
Bài 36. (ĐH dự bị 4 2002)
Giả sử n là số nguyên dương và:
(1 + x)n = a0 + a1x + a2x2 + … + akxk + … + anxn
Biết rằng tồn tại số k nguyên (1 ≤ k ≤ n – 1) sao cho
.
Hãy tính n.


Bài giải
Ta có:
(1) (1 ≤ k ≤ n – 1)
(

(

( 2.(k – 1)!(n – k + 1)! = 9.k!(n – k)! = 24.(k + 1)!(n – k – 1)!
( 2.(n – k +1)(n – k) = 9.k(n – k) = 24.(k + 1)k
(
(

Để tồn tại k thoả mãn hệ thức (1), điều kiện ắt có và đủ là:
3n – 8 = 2n + 2 ( n = 10.
Bài 37. (ĐH dự bị 6 2002)
Gọi a1, a2, …, a11 là các hệ số trong khai triển sau:
(x + 1)10.(x + 2) = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11.
Hãy tính hệ số a5.


Bài giải
Ta có: (x + 1)10 = x10 +

( (x + 1)10(x + 2) = x11 +
+
+

= x11 +

+
+
+ 2
= x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11
Vậy a5 =
= 672.
Bài 38. (ĐH khối A 2003)
Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Newton của
, biết rằng:
(n nguyên dương, x > 0).



Bài giải
Ta có:
(

(
= 7(n + 3) ( n + 2 = 7.2! = 14 ( n = 12.
Số hạng tổng quát của khai triển là:


Ta có:
= x8 (
= 8 ( k = 4.
Do đó hệ số