Một số bài toán về tỷ số thể tích
A. Mục tiêu:
- Rèn kỹ năng dựng thiết thiện và tính diện tích thiết diện.
- Nắm được công thức tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ.
- Vận dụng bài toán về tỷ số thể tích của góc tam diện vào làm bài tập tính tỷ số thể tích.
B. Nội dung:
I. Công thức cần nhớ:
1. Thể tích khối chóp:
VB.h
B: Diện tích đa giác đáy.
h: Độ dài đường cao.


2. Thể tích khối lăng trụ:

V=B.h

B: Diện tích đa giác đáy.
h: Độ dài đường cao.

3. Tỷ số thể tích:

Cho khối chóp S.ABC.
A`(SA, B`(SB, C`(SC

* M(SC, ta có:
II. Bài tập:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB=a; AD=b. Cạnh SA=2a của hình chóp vuông góc với đáy. M là một điểm nằm trên cạnh SA với AM=x (0(x(2a).
1. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện ấy. Tìm x để thiết diện ấy có diện tích lớn nhất.
2. Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia khối chóp trên ra hai phần có thể tích bằng nhau.

Hd:
1. Thiết diện là hình thang vuông
MNCB, vuông tại B và M.

* BM2=BA2+AM2
(BM
* (SMN đồng dạng (SAD,

Vậy

2. Xét hàm số (0(x(2a)

f`(x)=0
Ta có: f(0)=ab.
f(2a)=
f
f

khi
Kết luận: Vậy với thì diện tích của thiết diện lớn nhất.
3. Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD (
Gọi V1 là thể tích khối S.MNCB
V1=V(SMBC)+V(SMNC)
Ta có
VSABC

* Ta có: ( VSACD
( VSMNC
V1= VSMNCB
Ycbt ( V1( ( x2-6ax+4a2=0

Kết luận: Vậy xthì (MBC) chia khối chóp thành 2 phần tương đương.

Bài 2: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1. Các mặt phẳng (ABC1) và (A1B1C) chia lăng trụ thành 4 phần. Tính tỷ số thể tích của 4 phần đó.
Hd:
Gọi V1V1
V3V4
Gọi V là thể tích của lăng trụ.

Mặt khác:



Vậy V1: V2: V3: V4= 1:3:3:5

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Đường cao của hình chóp là SA=a. M là một điểm di động trên SB, đặt BM=x(01. Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng Tính diện tích thiết diện theo a và x.
2. Xác định x để thiết diện trên là hình thang vuông. Trong trường hợp đó tính tỷ số thể tích của hai phần của S.ABCD chia bởi thiết diện.

Hd:
1. Ta có
SA((ABCD)
((ABCD)
( SA //
SAB)=MN // SA
SAC)=OK // SA
SABCD)=NH qua O
SCD)=KH
Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác MNHK.
Ta có MN// OK // SA ( MN ( (ABCD); OK( (ABCD)
Std=Sht MKON + SKOH =
MN=BN=x