ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2022 – 2023
MÔN: TOÁN 7
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT LẬP THẠCH

Lưu ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay để làm bài
Câu 1. (1,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức sau
a)
b)
.Câu 2. (1,0 điểm)
a)
b) Cho các đa thức:

và

.

Hãy tìm nghiệm của đa thức
Câu 3. (1,0 điểm) Tìm các số

biết:

và

Câu 4. (1,0 điểm) Cho biểu thức

. Tìm

Câu 5. (1,0 điểm) Cho các số x, y thỏa mãn
thức

. (Với TH x,y nguyên và thực)
nguyên để

có giá trị nhỏ nhất.

. Tính giá trị của biểu

.

Câu 6. (1,0 điểm) Tìm số nguyên

và

biết:

Câu 7. (1,0 điểm) Tìm các số nguyên tố p sao cho

là một số nguyên tố.

Câu 8. (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc
đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường
thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng:
a)

và

.

b) Tam giác MHI vuông cân.
===Hết===
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:……………………………………………SBD:…. …Phòng thi:……..
Câu 9. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có ^A=100° và I là giao điểm các đường
phân giác trong của tam giác ABC. Trên tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC. Đường
thẳng BI cắt AC tại E, DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: FB = FD
ĐÁP ÁN THAM KHẢO

PHÒNG GD&ĐT LẬP THẠCH
TRƯỜNG THCS VĂN QUÁN

ĐÁP ÁN THAM KHẢO ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2022 – 2023
MÔN: TOÁN 7
Câu
1

Tính giá trị của biểu thức sau
a)

Nội dung

Điểm
1,0

b)
1.a

0,5

0,25

0,25
1.b

0,5

0,5

a)
2

b) Cho các đa thức:

và

.

1,0

Hãy tìm nghiệm của đa thức
2.a

0,5

0,25

Vậy x = 1
2.b

0,25

Cho các đa thức:

và

.

Hãy tìm nghiệm của đa thức
Ta có:

0,5

0,25
hoặc
Vậy đa thức

có nghiệm

hoặc
0,25

3

Tìm các số
biết:
và
Trường hợp x, y là số nguyên
Ta có:

. (Với trường hợp x, y nguyên và hữu tỉ)

1,0

mà
mà
Thay

;

vào

, ta được:

Đặt

mà theo đề bài

0,5

(vô lý)
Vậy không có số x, y nào thỏa mãn đề bài.
Với trường hợp x, y là số hữu tỉ
Theo đề bài ra, ta có:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:
Suy ra:

Vậy
Vậy với trường hợp x, y nguyên thì không có nghiệm thỏa mãn, với trường hợp
x, y là số hữu tỉ thì có các cặp
4

Cho biểu thức
Ta có:

. Tìm

0,5

thỏa mãn.
nguyên để

có giá trị nhỏ nhất.

1,0

0,25
0,25
Để A đạt giá trị nhỏ nhất thì
đạt giá trị nguyên dương nhỏ nhất.
⟹Trường hợp 1:

phải có giá trị lớn nhất suy ra

phải
0,25

(thỏa mãn)

5

Thay
vào A,
Vậy A có giá trị nhỏ nhất bằng -4 khi x = 2024

0,25

Cho các số x, y thỏa mãn

1,0

.

Ta có:
Vì

{

. Tính giá trị của biểu thức

|2 x−1|≥ 0

( y −2)2022 ≥ 0

nên để

thì

⇒{¿
Mặt khác:
Thay

0,25
0,25

và

vào B, ta được:

0,25

Vậy giá trị của biểu thức B = 9 khi

;

0,25

6

Tìm số nguyên
Ta có:

và

1,0

biết:

0,25

ước lẻ của 40.
Ta có bảng sau:
1 – 2y
2y
y
x

mà 1 – 2y là số lẻ nên 1 – 2y là
1
0
0
40

5
-4
-2
8

Vậy các cặp
7

-1
2
1
-40

-5
6
3
-8

Nếu
Nếu

là một số nguyên tố.
(loại)
(thỏa mãn)

Với
mà p là số nguyên tố, suy ra
: 3 dư 1
(1)

0,25

0,25

.

Tìm các số nguyên tố p sao cho

0,25

1,0
0,25

mà

là số chính phương nên
0,25

Mặt khác:
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Ta lại có:
Từ (3) và (4) suy ra
Mà theo đề bài

0,25

(3)
(4)
là hợp số.
phải là số nguyên tố nên

(loại)

0,25

8

Vậy p = 3 là số nguyên tố duy nhất thỏa mãn đề bài.
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc
đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với
đường thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng:

2,0

a)
và
.
b) Tam giác MHI vuông cân.
8.a

và

.

Hình
vẽ

8.a

8.b
8.b

0,75

0,5

Xét tam giác ABC vuông góc cân tại A
AB = AC;
Ta có: AB = AC; BM = MC
⇒ AM là đường trung trực của BC; AM ⊥ BC
⇒ Tam giác ABM; tam giác ACM vuông tại M có 1 góc là 450
⇒ Tam giác ABM, tam giác ACM là các tam giác vuông cân tại M.
⇒
Xét tam giác ABH và tam giác ACI có:
AB = AC (giả thiết);
⇒
(cùng phụ
)
⇒ Tam giác ABH = ACI (G – C – G)
⇒ BH = AI
Tam giác MHI vuông cân.
Xét tam giác HAM và tam giác ICM có:
AM = CM (do tam giác AMC vuông cân tại M)
AH = CI (do tam giác ABH = tam giác ACI)
( do cùng phụ
)

0,25

0,25
0,25
0,75
0,25

9

⇒ Tam giác HAM = tam giác ICM (C – G – C)
⇒ HM = IM
⇒ Tam giác MHI cân tại M và có
⇒
(do
)
Mà
(cùng phụ)
⇒
⇒
⇒ Tam giác MHI vuông cân tại M
Vậy tam giác MHI vuông cân.
Cho tam giác ABC cân tại A, có ^A=100° và I là giao điểm các đường phân giác
trong của tam giác ABC. Trên tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC. Đường
thẳng BI cắt AC tại E, DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: FB = FD

Hình
vẽ

9

0,25

0,25
1,0

0,5

Hiện chưa có đáp án tham khảo, cần sự hướng dẫn của giáo viên bồi dưỡng.

Chú ý:
- Học sinh làm theo cách khác đúng cho điểm tương đương.
- Đáp án chỉ để tham khảo cần học sinh lập luận chặt chẽ hơn.

0,5