đđề thi chọn học sinh giỏi cấp trường
Năm học 2011-2012

CâuI: (1,5 điểm)
a/ Không dùng bảng số hay máy tính, hãy so sánh: và
b/ Cho:
Hãy tính:
CâuII: (2,5 điểm)
a/ Rút gọn biểu thức sau:
b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
với
CâuIII: (1,5 điểm)
Giải phương trình sau:
CâuIV: (1,5 điểm)
Cho ba số dương a, b, c.
CMR:

CâuV: (3,0 điểm)
Cho ABC; P là điểm nằm trong tam giác sao cho Vẽ PM và PN lần lượt vuông góc với AB và AC. Gọi D là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng:
a/ MP.NC = MB.NP
b/ DM=DN.


(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)














Đáp án, thang điểm
Câu I: (1,5 điểm)
a/ (1,0 điểm)
so sánh: và Ta có: 2 =
(0,25 điểm)
2 = (0,25 điểm)
Vì 12 < 18 nên
<
(0,25 điểm)
suy ra (0,25 điểm)
b/ (0,5 điểm)
Tacó:
(0,5 điểm)
Câu II: (2,5 điểm)
a/ (1,25 điểm)
Rút gọn biểu thức:


(0,25 điểm)



(0,25 điểm)




(0,5 điểm)




(0,25 điểm)

b/ (1,25 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
với
Đặt a -1 = x (x > 0); b -1 = y (y > 0) (0,25 điểm)
khi đó ta có: a = x + 1 và b = y + 1
khi đó M= 0,25 điểm)

M đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi:
đạt giá trị nhỏ nhất.
áp dụng bất đẳng thức cô si cho bộ 2 số dương x, và y, ta có;
Suy ra maxM = 8. (0,5 điểm)
Dấu bằng xảy ra khi (0,25 điểm)

CâuIII: (1,5 điểm)
Giải phương trình sau: 1)

Điều kiện (0,25 điểm)
Đặt
Khi đó (1) tương đương với:
2) (0,5 điểm)

(0,25 điểm)
Do các hạng tử ở vế trái đều không âm nên:
(2Thoả mãn điều kiện (0,25 điểm)
Suy raThoả mãn. (0,25 điểm)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là:
( x; y; z) = ( 2014; 2015; 2016)

CâuIV: (1,5 điểm)
Cho ba số dương a, b, c.
CMR:
Vì a, b, c là các số dương nên:
áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số và (0,25 điểm)