SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008-2009
Môn Toán - Lớp 9
Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 11 tháng 02 năm 2009

Bài 1 : ( 4,0 điểm )
a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x3 + y3.
b) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi.

Bài 2 : ( 4,0 điểm )
Giải hệ phương trình :

b) Giải phương trình :

Bài 3: ( 5,0 điểm)
a) Cho a và b là các số nguyên dương sao cho
là số nguyên; gọi d là ước chung của a và b. Chứng minh :
.
b) Chứng minh rằng không có các số nguyên x và y nào thỏa mãn hệ thức: 2008x2009 + 2009y2010 = 2011.

Bài 4 : ( 2,0 điểm )
Cho tam giác nhọn ABC có hai đường cao kẻ từ B và C cắt nhau tại O.
Chứng minh rằng nếu đường tròn nội tiếp tam giác OAB và đường tròn nội tiếp tam giác OAC có bán kính bằng nhau thì tam giác ABC là tam giác cân.

Bài 5 : ( 5,0 điểm )
Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Trên đường tròn (O; R) vẽ dây AB = R. Trên cung lớn AB lấy điểm M, đường thẳng MA cắt đường tròn (O’; r) tại N (N khác A). Đường thẳng qua N và song song với AB cắt đường thẳng MB tại E.
a) Chứng minh rằng độ dài đoạn thẳng NE không phụ thuộc vị trí điểm M trên cung lớn AB;
b) Tìm vị trí của điểm M trên cung lớn AB để tam giác MNE có diện tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.


-------------------- Hết --------------------
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2008-2009
HƯỚNG DẪN CHẤM
MÔN TOÁN LỚP 9

Bài 1 : ( 4,0 điểm )
a) Cho x + y = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x3 + y3.
Bải giải
 Điểm

 Ta có M = x3 + y3 = (x + y)(x2 − xy + y2)
= x2 − xy + y2 (vì x + y = 1)
=
=
(x2 + y2) +


M

(x2+y2)
Ngoài ra do x + y =1
x2 + y2 + 2xy = 1
2(x2 + y2)−(x − y)2 = 1

2(x2 + y2)
1
(x2 + y2)

dấu bằng xảy ra
x = y =


M

.
=
dấu bằng xảy ra
x = y =
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là
, đạt được khi x = y =






0,75 điểm




0,75 điểm

0,5 điểm


b) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi.
Bải giải
 Điểm

Gọi a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác vuông cần tìm. Giả sử 1
.
Ta có hệ phương trình :


Từ (1)
c2 = (a + b)2 − 2ab

c2 = (a + b)2 − 4(a + b + c) (theo (2))

(a + b)2 − 4(a + b) = c2 + 4c

(a + b)2 − 4(a + b) + 4 = c2 + 4c + 4.

(a + b − 2)2 = (c + 2)2
a + b − 2 = c + 2 (do a + b
2)

c = a + b − 4.
Thay vào (2) ta được: ab = 2(a + b + a + b − 4)

ab −4a−4b + 8 = 0
b(a −4) −4(a−4) = 8
(a −4)(b−4) = 8
Phân tích 8 = 1.8 = 2.4 nên ta có:


Từ đó ta có 2 tam giác vuông có các cạnh (