ĐỀ THI HSG NĂM HỌC 2011 – 2012
Môn: Toán 7
Thời gian làm bài: 120 phút


I.Trắc nghiệm: (2đ)
Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng:
Câu 1: Rút gọn biểu thức
ta được kết quả là:

A)

B)

C)

D)


Câu 2: Cho hai số
biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ với
ta có
bằng:

A)

B)

C)

D)


Câu 3: Cho
vuông tại C có
. Độ dài cạnh BC là:

A)

B) 20 cm
C) 8 cm
D) 50 cm

Câu 4: Đồ thị hàm số
đi qua điểm
khi m bằng:

A) - 3
B) 2
C) 1
D) - 1

II. Tự luận:
Câu 5: (1,5đ) Tìm x biết:
a)

b)


c)



Câu 6: (2đ) a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
với x là số nguyên.
b) Tìm các số
biết:
và

Câu 7: (2đ) Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho
.
Chứng minh rằng:
.
Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN.
Đường trung trực của đoạn thẳng MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K. Chứng minh
.
Câu 8: (2,5đ)
a) Điểm M nằm bên trong tam giác đều ABC sao cho
. Tính số đo góc AMB.
b) Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống nhau.
c) Tìm các số tự nhiên có hai chữ số mà số đó chia hết cho tích các chữ số của nó.


ĐÁP ÁN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU HSG NĂM HỌC 2011 – 2012
Môn: Toán lớp 7


I.Trắc nghiệm: (2 điểm mỗi câu đúng cho 0,5 đ)
Câu
1
2
3
4

Đáp án
B
A
B
C

II. Tự luận: (8 điểm)
Câu
Phần
Nội dung cần trình bày
Điểm

5
(1,5đ)
a
x = 4
0,5


b
x = - 1
0,5


c


0,5

6
(2đ)
a
(1đ)
Xét các trường hợp:
-Nếu
thì

-Nếu x = 1 thì C = 1.
-Nếu
khi đó
ta thấy C lớn nhất khi và chỉ khi
lớn nhất (vì x là số nguyên dương) suy ra x = 1 khi đó C = 3.
So sánh các trường hợp trên ta thấy GTLN của C bằng 3 khi và chỉ khi x = 1.

0,25
0,25
0,25

0,25


b
(1đ)
Ta có

suy ra x = - 77; y = 136; z = 65.
0,5

0,5

7
(2đ)



Vẽ hình – GT - KL






0,5


a
(0,5)
Ta có AM + AN = AC + (AM + CN) (1)
vì AB = AC (gt) và AM + AN = 2AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra BM = CN
0,25

0,25


b
(0,5)
Gọi I là giao điểm của MN và BC, qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E ta chứng minh được

0,25

0,25


c
(0,5)
Chứng minh



Từ đó suy ra

Mà

0,25


0,25

8
(2,5đ)
a
(1đ)


Đặt MA = 3a, MB = 4a, MC = 5a
Trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng MB, không chứa điểm C. Vẽ tam giác đều MBK.
Khi đó:
Và
(ABK và (CBM có:
AB = CB ((ABC đều)
=> (ABK = (CBM (c.g.c)
BK = BM ((MBK đều)
=> KA = MC = 5a