SỞ GD & ĐT HÀ NỘI

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG THPT SÓC SƠN

NĂM HỌC 2024-2025. MÔN: TOÁN

( Đề có 02 trang)

Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)

Bài I. (1,5 điểm)
1) Thành tích của các vận động viên nam trong cuộc thi bơi tự do dài
thể thao tổ chức được ghi lại trong biểu đồ tần số ghép nhóm dưới đây:

Tìm tần số ghép nhóm và tần số tương đối ghép nhóm của nhóm

do một trung tâm thể dục

.

2) Một hộp chứa
quả cầu được đánh số từ đến
, các quả cầu có màu sắc, khối lượng và kích
thước như nhau. Xét phép thử lấy ngẫu nhiên quả cầu từ hộp. Tính xác suất của biến cố A “ Quả cầu lấy
ra có số ghi trên đó là số nguyên tố”.
Bài II. (1,5 điểm) Cho hai biểu thức
1) Tính giá trị của

khi

và

với

.

.

2) Chứng minh rằng
3) Cho

. So sánh giá trị của

với

Bài III. (2,5 điểm)
1) Giả sử giá tiền điện hàng tháng được tính theo bậc thang như sau:
Bậc 1:Từ 1kWh đến 100kWh thì giá điện là :

đồng/1kWh.

Bậc 2:Từ 101 kWh đến 200 kWh thì giá điện là :
Bậc 3:Từ 201 kWh trở lên thì giá điện là :

đồng/1kWh.

đồng/1kWh.

(Ví dụ : Nếu dùng 255kWh thì có 100kWh tính theo giá bậc 1, có 100kWh được tính theo giá bậc 2
và 55kWh được tính giá bậc 3).
Tháng 3 năm 2025 tổng số tiền điện nhà bạn A và nhà bạn B phải trả là
đồng. So với tháng 3 thì
tháng 4 tiền điện nhà bạn A tăng 40%, nhà bạn B tăng 30%, do đó tổng số tiền của cả hai nhà trong tháng
4 phải trả là
đồng. Hỏi tháng 3 nhà bạn A phải trả bao nhiêu tiền và dùng hết bao nhiêu kWh?
(biết rằng số tiền điện ở trên không tính thuế giá trị gia tăng).
1/2

2) Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong

chiếc áo chống nắng trong một thời gian quy

định. Thực tế do thời điểm bắt đầu vào hè và nhu cầu sử dụng áo chống nắng nhiều, xưởng đã quyết định
tăng năng suất nên mỗi ngày xưởng đã may nhiều hơn

chiếc áo so với số áo phải may trong một ngày

theo kế hoạch. Vì vậy trước thời gian quy định ngày, xưởng đã may được

chiếc áo. Hỏi theo kế

hoạch mỗi ngày xưởng phải may xong bao nhiêu chiếc áo chống nắng?
3) Cho phương trình

có 2 nghiệm

biểu thức

. Không giải phương trình hãy tính giá trị

.

Bài IV. (4 điểm)
1) Một viên bi sắt có dạng hình cầu với đường kính bằng
.
a) Tính thể tích của viên bi. (Lấy
tròn đến hàng phần trăm.)

, kết quả làm

b) Một thùng hình trụ có đường kính đáy bằng

chứa

nước tinh khiết được đặt trên một mặt bàn bằng phẳng. Khi thả
viên bi vào thùng thì mực nước trong thùng dâng lên bao nhiêu
, biết rằng nước không bị tràn ra ngoài và viên bi ngập hoàn
toàn trong nước. (Kết quả làm tròn tới hàng phần mười.)
2) Cho tam giác nhọn
đồng quy tại

có

nội tiếp đường tròn

Các đường thẳng

cắt đường tròn

a) Chứng minh bốn điểm
b) Chứng minh

các đường cao

tại các điểm thứ hai tương ứng là

cùng nằm trên một đường tròn.

song song với

và

vuông góc với

c) Chứng minh
Bài V. (0,5 điểm)
Một nhóm học sinh trong câu lạc bộ khoa học muốn thiết kế một bồn chứa nước mưa bằng inox để sử
dụng trong trường học. Bồn có dạng hình hộp chữ nhật, không có nắp với đáy là hình vuông và có thể tích
bằng

. Biết rằng trên thị trường:



Giá inox làm phần đáy bồn là



Giá inox làm các mặt xung quanh bồn là

đồng/m2.
đồng/m2.

Hỏi các em học sinh nên chọn kích thước đáy bồn bằng bao nhiêu
(tính bằng m) để tổng chi phí làm bồn là ít nhất?
(Coi như phần mép hàn không đáng kể.)
--------------HẾT-------------Họ và tên thí sinh....................................................................Số báo danh..................
SỞ GD & ĐT HÀ NỘI

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
2/2

.

TRƯỜNG THPT SÓC SƠN

NĂM HỌC 2024-2025. MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

Bài I
Bài I.1

Đáp án
Tần số của nhóm  28;30  là n 10 .

0.25

Tổng số vận động viên là: N 2  8  10  8  4 32 (người)

0,25

Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm  28;30  là:

0,25

f 

Bài I. 2

Điểm

n
10
.100%  .100% 31, 25%
N
32

Các quả cầu có cùng màu sắc, khối lượng và kích thước nên các kết quả của phép thử 0,25
lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong hộp là đồng khả năng. Có 21 kết quả có thể xảy ra
khi lấy ngẫu nhiên một quả cầu ở trong hộp.  1; 2;3;...; 20; 21 .
Số phần tử của tập hợp  là 21.
Có 8 kết quả thuận lợi cho biến cố A “ Quả cầu lấy ra có số ghi trên đó

0,25

là 1 số nguyên tố” là: 2,3,5,7,11,13,17,19.
Xác suất của biến cố A là P  A  

0,25

8
.
21
Đáp án

Bài II

Điểm

Thay x 16 (TMĐK) vào biểu thức A ta có: A 
B

x 1

x x




x


P  A.B 

2
x 1


x1
x x1





x1





0,25

16  1 17
 .
16  1 3

2
x 1  2 x

x1
x x1





0,25

2

0,25



x1

0,25

x1
x

x 1
x  1 x 1
x 1
x
.

 1
. Xét P  1 
x1
x
x
x

x 1
x

0,25

2



x

1 3

x  

Vậy P  1.
x 1 
2 4

 0, x  0, x 1.
x
x
3/2

0,25

Bài
III
III. 1

Đáp án
Gọi số tiền điện nhà bạn A và B phải trả trong tháng 3 lần lượt là x; y (đồng).

Điểm
0,25

Điều kiện 0  x  840 000;0  y  840 000 .
Vì tổng số tiền điện trong tháng 3 của hai nhà là 840 000 nên ta có phương trình
x  y 840 000 (1)
Số tiền điện nhà bạn A phải trả trong tháng 4 là x  40% x 1, 4 x (đồng)

0,25

Số tiền điện nhà bạn B phải trả trong tháng 4 là y  30% y 1,3 y (đồng)
Theo đề bài, tổng số tiền điện hai nhà phải trả trong tháng 4 là 1140 000 đồng, nên ta
có phương trình 1, 4 x  1,3 y 1140 000 (2)
0,25

 x  y 840000
Từ (1) và (2) ta có hệ 1, 4 x  1, 3 y 1140000

 x 480000
Học sinh giải được  y 360000 (Thỏa mãn đk).


Vậy số tiền điện nhà bạn A phải trả trong tháng 3 là 480000 đồng.
Nhận thấy 480000=100.1600+100.2000+30.4000

0,25

Vậy số điện nhà bạn A đã dùng trong tháng 3 là 100+100+30=230 (kWh)
III. 2

Gọi số áo chống nắng mà xưởng phải may mỗi ngày theo kế hoạch là x (chiếc)
( x  * )
Thời gian xưởng may xong theo kế hoạch là:

2500
(ngày) .
x

Số áo thực tế xưởng đã may mỗi ngày là : x  10 (chiếc)
Thời gian xưởng may xong theo thực tế là:

Theo bài ra ta có phương trình :

0,25

0,25

2160
(ngày) .
x  10

2500 2160

4
x
x  10

Giải phương tình ta được x 125 ( thỏa mãn điều kiện) và
x  50 ( không thỏa mãn điều kiện)

0,25

0,25

Vậy số áo chống nắng mà xưởng phải may mỗi ngày theo kế hoạch là 125 chiếc.
2
Ta có  ' 2  2.  5  14  0 nên phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 .

4/2

0,25

Bài
III

Đáp án

Điểm

 x1  x2 2

(1)
Theo định lí Viet ta có:  x .x  5
 1 2
2
A  x1  2 x2  x1  x2   3x22 x12  x1.x2  2 x1 x2  2 x22  3 x22

0,25

 x12  x1 x2  x12  x1  x2   x1 x2 .
2

 5  13
2
Thay (1) vào biểu thức A ta được A 2      .
 2 2

Bài
IV
IV. 1

Đáp án

Điểm

16
a) Gọi R là bán kính viên bi. Khi đó, ta có R  8 cm 
2

0,25

4
4 3 2048
3
2143,57 cm 3 
Thể tích của viên bi là: V   R   8 
3
3
3

0,25

b) Bán kính đáy của hình trụ là r 

20
10 cm  .
2
0,25

Diện tích đáy của hình trụ là  .r 2 100 .
Khi thả viên bi vào thùng hình trụ và viên bi ngập hoàn toàn trong nước thì thể tích
nước trong thùng dâng lên bằng thể tích viên bi.Chiều cao của mực nước dâng lên
2143,57
6,8 cm  .
trong thùng là h 
100.
2043
2143,57
6,8 cm  hay
(Lưu ý:Học sinh tính h 
đều cho
h  3 6,8 cm 
100.
100.
điểm tối đa.

0,25

0,25
Vẽ hình đúng đến câu a
5/2

Bài
IV

Đáp án

Điểm

a) CM bốn điểm A, B, D, E cùng nằm trên một đường tròn.
 BEA
 900
Ta có AD, BE là hai đường cao của tam giác ABC nên BDA

0,25

ADB vuông tại D nên A, B, D thuộc đường tròn đường kính AB .
AEB vuông tại E nên A, B, E thuộc đường tròn đường kính AB .

0,25

Do đó A, B, D, E thuộc đường tròn đường kính AB .

0,25

b) Chứng minh MN song song với DE và OC vuông góc với MN
Ta có tứ giác

 BED

là tứ giác nội tiếp nên BAD

 ) (1)
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD
Ta có tứ giác

0,25



BNM
là tứ giác nội tiếp nên BAM
(hai góc nội tiếp cùng chắn
cung

)(2)


( hai góc BED; BNM là hai góc

 BNM

Từ (1) và (2) ta có BED
suy ra
đồng vị).

0,25

0,25
0,25

6/2

Bài
IV

Đáp án

Tứ giác

nội tiếp nên

Điểm

((hai góc nội tiếp cùng chắn cung

).


 (3)
Hay CAM
 NBC
1 

 sđ MC
Ta lại có CAM
(tính chất góc nội tiếp) (4)
2
1 

 sđ NC
và NBC
(tính chất góc nội tiếp) (5)
2



Từ (3) , (4) , (5) suy ra sđ MC  sđ NC suy ra
. Do đó điểm
Ta lại có
Vì vậy

nên

là điểm nằm chính giữa

thuộc đường trung trực của
thuộc đường trung trực của

là đường trung trực của

nên

nên

0,25

.
.

vuông góc với

0,25
.

c) Chứng minh AE. AC.CE CD. AB.EF
(g-g) (Vì
Do đó

AE EF
) nên AB  BC

(*)
(g-g) (Vì

Do đo

chung,

chung,

CE CD
) nên CB  CA

0,25

(**)

Nhân vế với vế của (*) và (**) ta được AE.BC.CE.CA  AB.EF .CB.CD (***).
Chia cả hai vế của (***) cho BC ta được AE.CE.CA  AB.EF .CD ( đpcm)
0,25
7/2

Bài V

Đáp án

Điểm

Gọi độ dài cạnh đáy của bồn chứa nước là a m , a  0 .

Gọi độ dài chiều cao của bồn chứa nước là b m , b  0 .
18
Thể tích của bồn là 18m3 nên ta có a 2b 18 .Suy ra ab  .
a
2
2
Diện tích đáy bồn chứa nước là a m  .
Chi phí inox làm đáy bồn là: 120a 2 (nghìn đồng)
Chi phí inox làm các mặt xung quanh là: 90.4ab 360ab (nghìn đồng).

Tổng chi phí mua nguyên liệu là :
2
2
Có T 120a  360ab 120a  360.

18
6480
120a 2 
( nghìn đồng).
a
a

0,25

Để chi phí nhỏ nhất thì
T 120a 2 

6480
54 
54
2


120  a 2   120  a  3   6a  
a
a 
a



Với mọi x  0; y  0 ta có



x

y

 0 hay x  2
2


9  đạt GTNN.


xy  y 0 từ đó suy ra

x  y 2 xy (*). Dấu đẳng thức xảy ra khi x  y .

54
54
54
2 6a.
36 , dấu đẳng thức xảy ra khi 6a  .
a
a
a
2
Mặt khác a  3 0 với mọi a , dấu đẳng thức xảy ra khi a 3 .
Áp dụng (*) ta có 6a 

Do đó T 120. 0  36  9  3240 .

a 3

Dấu đẳng thức xảy ra khi 
54 (I)
6a  a
Từ (I) tính được a 3 ( thỏa mãn điều kiện).
Vậy các em học sinh nên chọn đáy bồn là hình vuông có cạnh bằng 3 m thì chi phí
mua nguyên vật liệu là nhỏ nhất là 3240 000 đồng.
Lưu ý: Thí sinh làm theo cách khác đúng vẫn được điểm tối đa.

8/2

0,25