Hình 10 - KNTTVCS

PHẦN B
TRẮC NGHIỆM GỒM BA PHẦN

PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương
án.
Câu 1.

Trong tam giác ABC bất kỳ có BC a , AC b , AB c . có:

A. a 2 R cos A .

B. a 2 R sin A .

C. a 2 R tan A .

D. a R sin A .

Lời giải
Chọn B.
Định lý sin trong tam giác.
Câu 2.

Cho tam giác ABC bất kỳ có BC a , AC b , AB c . Đẳng thức nào sai?

A. b 2 a 2  c 2  2ac cos B .

B. a 2 b 2  c 2  2bc cos A .

C. c 2 b 2  a 2  2ab cos C .

D. c 2 b 2  a 2  2ab cos C .
Lời giải

Chọn C.
Theo định lí hàm số cosin, c 2 b 2  a 2  2ab cos C nên C sai.
Câu 3.

Cho tam giác ABC có các cạnh

1
A. S ABC  ac sin C .
2

. Diện tích của

1
B. SABC  bc sin B .
2

1
C. S ABC  ac sin B .
2

là
1
D. S ABC  bc sin C .
2

Lời giải
Chọn C.
1
Ta có: SABC  ac sin B .
2

Câu 4.

Cho

A.

có
.

, góc
B.

.

bằng

. Độ dài cạnh
C.

là?
.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Ta có:
Câu 5.

.
Cho

có

A.

Độ dài cạnh
B.

bằng:

C.

D.

.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Ta có:
Câu 6.
A.

.
Cho
.

có

;
B.

;
.

. Tính độ dài
C.
Trang 1

.

.

Hình 10 - KNTTVCS

Lời giải

Chọn A
Theo định lý cosin có:
.
Vậy

.

Câu 7.
A.

Tam giác

có

.

Tính cạnh
B.

C.

?

.

D. .

Lời giải
Chọn A
Theo định lí cosin trong

ta có:
.

Câu 8.

Cho

là độ dài

cạnh của tam giác

. Biết

;

;

. Tính độ dài của

.
A.

.

B.

.

C.

.

D.

Lời giải
Chọn A
Áp dụng định lí cosin cho tam giác

ta có:
.

Suy ra:
Câu 9.

.
Cho

vuông ở

A.

biết

Tính độ dài trung tuyến

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn A
là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên
Xét

có

.

.

Xét tam giác

có

và

suy ra

là tam giác đều.

.
Câu 10. Cho tam giác
A.

, biết
B.

Tính góc
C.
Lời giải
Trang 2

?
D.

.

Hình 10 - KNTTVCS

Chọn B
Ta có:

Câu 11. Cho tam giác

, biết

A.

Tính góc

B.

?

C.

D.

Lời giải
Chọn C
Ta có:
Câu 12. Tam giác

có

là điểm trên cạnh

sao cho

. Độ dài đoạn

bằng bao nhiêu?
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn C
Ta có: Trong tam giác

có

mà

Suy ra:

suy ra

là trung điểm

.

Câu 13. Tam giác ABC có
A.

,

,

B.

 Tính

?

C.

D.

Lời giải
Chọn A
Ta có: Trong tam giác

:

.

Mặt khác
Câu 14. Cho
A.

có

.

;
B.

;
.

. Độ dài
C.

gần nhất với kết quả nào?
.

D.

Lời giải
Chọn B

Áp dụng định lý sin:
Câu 15. Cho
A.

.
có

Diện tích của tam giác là:
B.

C.

D.
Lời giải

Chọn B
Trang 3

.

Hình 10 - KNTTVCS

Ta có:
Câu 16. Cho tam giác
A.

có

. Khi đó diện tích của tam giác là:

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn B
Ta có:
Suy ra:
Câu 17. Cho tam giác
A.

.

có
B.

. Độ dài đường cao

.C.

của tam giác

là.

D.
Lời giải

Chọn A

. Suy ra

vì

nên

mà
Câu 18. Cho tam giác
A.

.

có

và

B.

.

. Tính diện tích tam giác

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn B
Diện tích của tam giác
Câu 19. Cho tam giác
A.

.

là

.

đều cạnh
B.

.

. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
C.

.

bằng

D.

Lời giải
Chọn B
Gọi

là trọng tâm

. Bán kính đường tròn ngoại tiếp

Trang 4

.

.

?

Hình 10 - KNTTVCS

Câu 20. Cho tam giác
tam giác
A.

có chu vi bằng 12 và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Diện tích của

bằng
.

B.

.C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Theo đề bài tam giác

có chu vi bằng 12 nên nửa chu vi là

bằng 1, tức là ta có:

.

Diện tích tam giác

là:

Câu 21. Cho tam giác
A.

.
đều cạnh

.

; bán kính đường tròn nội tiếp

B.

. Tính bán kính

.

của đường tròn ngoại tiếp tam giác

C.

.

D.

.

.

Lời giải
Chọn A

A
K

B

I
C

H

Gọi H, K lần lượt là trung điểm cạnh
I là giao điểm của

và

.

Lúc đó, I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
Ta có:

.

Do đó:
Câu 22. Cho tam giác
A. .

có
B.

,

,

. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng

.

C.
Lời giải

Chọn A
Vì

nên tam giác

vuông tại

.

Trang 5

.

D.

.

Hình 10 - KNTTVCS

Do đó bán kính đường tròn nội tiếp
Câu 23. Cho

.

có

Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp

của tam

giác trên là:
A.

B.

C.

D.

Lời giải
Chọn A
Ta có:

.

Câu 24. Tam giác với ba cạnh là
A.

có bán kính đường tròn ngoại tiếp là?

B.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn C
Ta có:

.

Câu 25. Tam giác với ba cạnh là
A.

có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu?

B.

C.

D.

.

Lời giải
Chọn A
Ta có:

.

Câu 26. Cho tam giác

có

. Khi đó:

A. Góc

B. Góc

C. Góc

D. Không thể kết luận được gì về góc
Lời giải

Chọn B
Ta có:

.

Mà:

suy ra:

.

Câu 27. Cho tam giác ABC , các đường cao ha , hb , hc thỏa mãn hệ thức 3ha 2hb  hc . Tìm hệ thức
giữa a , b , c
A.

3 2 1
  .
a b c

B. 3a 2b  c .

C. 3a 2b  c .
Lời giải

Chọn D.
Trang 6

D.

3 2 1
  .
a b c

Hình 10 - KNTTVCS

3ha 2hb  hc 

6S 4S 2S
3 2 1
 
   .
a
b
c
a b c

Câu 28. Diện tích S của tam giác sẽ thỏa mãn hệ thức nào trong hai hệ thức sau đây?
2
I. S  p  p  a  p  b  p  c 
2
II. 16S a  b  c a  b  c a  b  c b  c  a 

A. Chỉ I.

B. Chỉ II.

C. Cả I và II.

D. Không có.

Lời giải
Chọn A.
2
Áp dụng công thức Heron S  p  p  a  p  b  p  c   S  p  p  a  p  b  p  c 

Nếu thay p 

a bc
2
vào công thức Heron thì ta có: 8S a  b  c a  b  c a  b  c b  c  a  .
2

Câu 29. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 60 . Biết CA 200 m  ,

CB 180 m  . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu?
A. 228 m  .

B. 20 91 m  .

C. 112 m  .

D. 168 m  .

Lời giải
Chọn B.

AB 2 CA2  CB 2  2CA.CB.cos 60 36400  AB 20 91 m  .
Câu 30. Từ hai điểm A và B trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh C và chân D của tháp CD dưới
các góc nhìn là 72 12 và 34 26 so với phương nằm ngang. Biết tháp CD cao 80 m . Khoảng cách AB
gần đúng bằng
A. 91 m .

B. 71 m .

C. 79 m .
Lời giải

Chọn A.

Trang 7

D. 40 m .

Hình 10 - KNTTVCS

C

80 m

D

B

A



  DAC

37 46
Ta có: DBC
72 12 , DAC
34 26 nên 
ACB DBC
BC 

CD
84 m .

cos DBC

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta có AB 

BC
.sin 
ACB 91 m .

sin DAC

Câu 31. Muốn đo chiều cao của tháp chàm Ponaga ở Nha Trang người ta lấy hai điểm A và B trên
mặt đất có khoảng cách AB 12 m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế. Chân của
giác kế có chiều cao h 1,3m . Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm A1 , B1 cùng thẳng hàng với C1 thuộc
 C 49 và DB
 C 35 . Tính chiều cao CD của
chiều cao CD của tháp. Người ta đo được góc DA
1 1
1 1
tháp.

A. 22, 77 m .

B. 21, 47 m .

C. 20, 47 m .

D. 21, 77 m .

Lời giải
Chọn A.
DA 90  49 41 ; C
DB 90  35 55 , nên 
Ta có C
A1 DB1 14 .
1
1
1
1
Xét tam giác A1DB1 , có

A1 B1
A1 D
12.sin 35

28, 45 m .
 A1 D 


sin A1 DB1 sin A1 B1 D
sin14

Xét tam giác C1 A1 D vuông tại C1 , có
A D 
sin C
1 1

C1D
 C1 D  A1 D.sin C1 A1 D 28, 45.sin 49 21, 47 m  CD C1 D  CC1 22,77 m .
A1D

Trang 8

Hình 10 - KNTTVCS

Câu 32. Từ một miếng tôn có hình dạng là nửa đường tròn bán kính 1 m , người ta cắt ra một hình chữ
nhật. Hỏi có thể cắt được miếng tôn có diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

A. 1, 6 m 2 .

B. 2 m 2 .

C. 1 m 2 .

D. 0,8 m 2 .

Lời giải
Chọn C.

Xét đường tròn bán kính 1 , ta cắt trên đó một hình chữ nhật ABCD .
1
Khi đó S ABCD  AC .BD.sin  2sin  2 .
2

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  90 .
Vậy diện tích lớn nhất của miếng tôn cắt trên nửa đường tròn bằng 1 .
Câu 33. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải đi qua một đầm lầy. Người ta xác
định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc

. Biết CA = 250m, CB =

120m. Khoảng cách AB bằng bao nhiêu?
A. 266m.

B. 255m.

C. 166m.

D. 298m .

Lời giải
Chọn B.
Ta có:
Câu 34. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí A, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc
Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km/h, tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km/h. Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách
nhau bao nhiêu km?
A. 13.

B.

C.

D. 15.

Lời giải
Chọn C.
Ta có:
Sau 2h quãng đường tàu thứ nhất chạy được là:

km.
Trang 9

Hình 10 - KNTTVCS

Sau 2h quãng đường tàu thứ hai chạy được là

km.

Vậy sau 2h hai tàu cách nhau là:
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 8, 9, 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+
KNTTVCS trắc nghiệm và tự luận có lời giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới
2025 của bộ giáo dục.
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
Thầy, cô và các em học sinh cần xem thêm nhiều tài liệu mới khác hãy tham gia
 Tài liệu được cập nhật thường xuyên Nhóm: TÀI LIỆU TOÁN THCS VÀ THPT
Link:https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
 Hoặc facebook mình theo đường Link: https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Hoặc fanpange mình theo đường Link: https://www.facebook.com/tailieutoancap23/
Câu 35. Từ một đỉnh tháp chiều cao
góc nhìn

và

người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các

. Ba điểm A,B,D thẳng hàng. Khoảng cách AB gần giá trị nào nhất?

A. 71m.

B. 13m.

C. 79m.

D. 40m.

Lời giải
Chọn B.
Trong tam giác vuông CDA có:
Trong tam giác vuông CDB:
khoảng cách
Câu 36. Nhà Bình và nhà Cẩn cách nhau 53m và thẳng hàng với chân O của tòa tháp Vinhomes Park .
Từ nhà Bình và Cẩn lần lượt nhìn đỉnh A của tháp với góc 59 0 và 720 ( như hình vẽ bên). Hỏi chiều cao
OA của tháp gần nhất với số nào sau đây.

A.

B.

C.

Trang 10

D.

Hình 10 - KNTTVCS

Câu 37. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta
chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A và B có thể nhìn thấy điểm C.

Người ta đo được khoảng cách AB = 40 m, BC = 70 m, 

. Vậy sau khi đo đạc và tính toán, ta

được khoảng cách AC gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 35,7 m;           

B. 30,6 m;           

Câu 38. Cho tam giác

biết độ dài ba cạnh

với
A.

.

C. 92,3 m;           

. Khi đó, góc
B.

D. 41,5 m.

lần lượt là

và thỏa mãn hệ thức

bằng

.

C.

.

D.

.

Lời giải
Chọn D
Ta có
.
Mặt khác

.

Câu 39. Cho tam giác ABC không vuông ( đặt
A.

B.

). Giá trị
C.

bằng
D.

Lời giải
Chọn B.

Câu 40. Cho hình chữ nhật
cạnh

sao cho

có cạnh

,

là trung điểm của

. Khi đó bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác
Trang 11

là điểm trên
bằng

Hình 10 - KNTTVCS

A.

.

B.

.

C.
Lời giải

Chọn D

Ta có

Bán kính của đường tròn ngoại tiếp của tam giác

là:

Trang 12

.

D.

.

Hình 10 - KNTTVCS

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc
sai.
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 8, 9, 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+
KNTTVCS trắc nghiệm và tự luận có lời giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới
2025 của bộ giáo dục.
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
Thầy, cô và các em học sinh cần xem thêm nhiều tài liệu mới khác hãy tham gia
 Tài liệu được cập nhật thường xuyên Nhóm: TÀI LIỆU TOÁN THCS VÀ THPT
Link:https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
 Hoặc facebook mình theo đường Link: https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Hoặc fanpange mình theo đường Link: https://www.facebook.com/tailieutoancap23/
Câu 41. Trong tam giác ABC với
a)
b)

a

.

b sin A
sin B

sin C 

c sin A
a

c) a 2 R sin A
d) b R tan B

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

Theo định lý sin ta có
 a

a
b
c


2 R
sin A sin B sin C

b sin A
c sin C
, sin C 
, a 2 R sin A , nên các mệnh đề a), b), c) đúng.
sin B
a

Vậy mệnh đề d) là mệnh đề sai.
Câu 42. Cho tam giác
giác,

, có độ dài ba cạnh là

là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và

sai?
Trang 13

. Gọi

là nửa chu vi tam

là diện tích tam giác đó. Mệnh đề nào sau đây

Hình 10 - KNTTVCS

a)

b)
c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

a)
b)
c)
d)
Câu 43. Cho

với các cạnh

. Gọi

kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác
a)
b)

c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG

a)
b)

Trang 14

lần lượt là nửa chu vi, bán
.

Hình 10 - KNTTVCS

c)
d)
Câu 44. Cho

có

và

a)
b) Diện tích tam giác

bằng

c) Chu vi tam giác

.

bằng

.

d) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

.

bằng

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

SAI

a) Theo định lý cosin ta có:
b)
c) Chu vi tam giác

:

d)

Câu 45. Cho

có

với độ dài ba cạnh là

a)
b) Chu vi tam giác

bằng

c) Diện tích tam giác

bằng

.
.

d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

bằng

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG

SAI

a)

Trang 15

.

.

Hình 10 - KNTTVCS

b) Ta có chu vi

:

.

c) Ta có: Nửa chu vi

:

.

Áp dụng công thức Hê-rông:

.

d)
Câu 46. Cho tam giác

. Biết

; và

.

a)
b) Chu vi tam giác

bằng

c) Diện tích tam giác

.

bằng

d) Đường cao

.

hạ từ đỉnh

của tam giác

.

bằng

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

SAI

SAI

a) Ta có:
Suy ra

.
.

b) Chu vi tam giác

là

c) Diện tích tam giác

.
là

.

d)
Câu 47. Cho tam giác

có

,

và

.

a)
b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
c) Diện tích tam giác

bằng

d) Đường cao

bằng

.

.

hạ từ đỉnh

của tam giác

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

SAI

ĐÚNG

Trang 16

bằng

.

Hình 10 - KNTTVCS

a) Áp dụng định lý cosin ta có

suy ra

b) Áp dụng định lý sin ta có

.

.

c)
d)
Câu 48. Cho tam giác

có độ dài ba cạnh là

A.

.

B.

a) Nửa chu vi tam giác
b) Tam giác

C.

bằng

D.

.

là tam giác vuông.

c) Diện tích tam giác

bằng

.

d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

bằng .

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

SAI

a) Ta có:
b) Mà

.
Suy ta tam giác

là tam giác vuông.

c)
c)
Câu 49. Cho hình bình hành ABCD có AB a , BC a 2 và
a)
b)
c) Đường cao của hình bình hành hạ từ đỉnh có độ dài bằng
d) Diện tích của hình bình hành ABCD bằng

.

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

SAI

Trang 17

.

.

Hình 10 - KNTTVCS

A

B

D

C

E

a) Ta có

.

b)
c) Gọi AE kà đường cao của tam giác ABC , khi đó tam giác AEB vuông cân tại E .
1
a 2
Suy ra AE  BC 
.
2
2

Vậy đường cao của hình bình hành hạ từ đỉnh có độ dài bằng
d) diện tích hình bình hành ABCD là AE.BC 

.

a 2
.a 2 a 2 .
2

 120 và BD a 3 .
Câu 50. Cho tứ giác lồi ABCD có 
ABC  
ADC 90 , BAD
a) ABD nội tiếp đường tròn đường kính AC
b) AC 2a
c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD bằng
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG
B

a 3

A

I

C

D

a) Ta có 
ABC  
ADC 90 nên tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC
Do đó ABD nội tiếp đường tròn đường kính AC
b) Áp dụng định sin trong ABD , ta có AC 2 R 

BD
a 3

2a .
sin BAD sin120

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD bằng
Trang 18

Hình 10 - KNTTVCS

d) tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn nên
Câu 51. Cho

là độ dài cạnh của một tam giác.

a)
b)
c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

ĐÚNG

a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có

nên mệnh đề a) đúng.

b) Ta có:

nên mệnh đề b) đúng.

c) Do

nên mệnh đề c) sai.

d)

nên mệnh đề d) đúng.

Câu 52. Cho tam giác

thoả mãn hệ thức

.

a)
b)
c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

SAI

SAI

a) Ta có:

b)

Sai

c)

Sai

d)

Sai

Câu 53. Cho tam giác ABC .
a)

cos

B C
A
sin
2
2
Trang 19

Hình 10 - KNTTVCS

b) sin  A  B  2C  sin 3C
c) sin  A  B  sin C
d) cos

A  B  2C
C
sin
2
2

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

Ta có
a)

cos

B C
A Sai
sin
2
2

b) sin  A  B  2C  sin 3C Sai
c) sin  A  B  sin C Sai
d) Do cos

A  B  2C
C
 AB

 C

 C
cos 
 C  cos    C  cos     sin .
2
2
 2

2 2

2 2

Câu 54. Cho tam giác ABC và 2ha hb  hc .
a)

2
1
1


sin A sin B sin C

b) 2sin A sin B  sin C
c) sin A 2sin B  2sin C
d)

2
1
1


sin A sin B sin C

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

SAI

SAI

a)
2ha hb  hc


4S 2S 2S
 
a
b
c



4
2
2


2 R sin A 2 R sin B 2 R sin C



2
1
1


.
sin A sin B sin C
Trang 20

Hình 10 - KNTTVCS

b) 2sin A sin B  sin C

Sai

c) sin A 2sin B  2sin C Sai
d)

2
1
1


sin A sin B sin C

Sai

Câu 55. Cho tam giác
giác và

có

. Gọi

là đường cao vẽ từ đỉnh

bán kính đường tròn ngoại tiếp

a)
b) Diện tích tam giác

bằng

c)
d)

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

ĐÚNG

Ta có:

Ta có:
Ta lại có:
Ta lại có:
Câu 56. Cho tam giác

có

a) Nửa chu vi của tam giác
b) Diện tích tam giác

bằng
bằng

.

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
d) Độ dài đường cao vẽ từ đỉnh

của tam giác

bằng
bằng

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

SAI
Trang 21

.

của tam

Hình 10 - KNTTVCS

Ta có:

Câu 57. Cho

có

a) Diện tích tam giác

với độ dài ba cạnh là
bằng

b) Độ dài đường cao vẽ từ đỉnh

.

.
của tam giác

c) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
d) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

bằng

.

bằng

.

bằng

Lời giải
a)

b)

c)

d)

SAI

SAI

SAI

SAI

a) Ta có:
Vậy:
b) Ta có:
c) Ta có:
d) Ta có:
Câu 58. Cho
a)

.

b)

.

có

c) Độ dài đường cao vẽ từ đỉnh

với độ dài ba cạnh là

của tam giác

d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

bằng
bằng

Lời giải
Trang 22

.

.

Hình 10 - KNTTVCS

a)

b)

c)

d)

SAI

SAI

ĐÚNG

SAI

a) Ta có:

b)Ta có:

c)

d)
Câu 59. Cho

có

và diện tích tam giác

bằng

a)
b)
c) Nếu góc

là góc nhọn thì

d) Nếu góc

là góc tù thì

.
.

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

SAI

SAI

SAI

a) Ta có:
Ta lại có:
b) Ta có:
c) Nếu góc

là góc nhọn thì

d) Nếu góc

là góc tù thì

Câu 60. Cho

có

bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

và
bằng
Trang 23

. Đường cao hạ từ đỉnh

là

và

Hình 10 - KNTTVCS

a)
b)
c)
d) Chu vi của tam giác là

.

Lời giải
a)

b)

c)

d)

ĐÚNG

ĐÚNG

SAI

SAI

a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
c) Chu vi:

PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án.
Câu 61. Cho

có

. Tính độ dài cạnh

Trả lời: ………………..
Lời giải
Trang 24

.

Hình 10 - KNTTVCS

Đáp án:
Ta có:

.

Câu 62. Tam giác

có

Độ dài cạnh

bằng bao nhiêu?

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có:

.

Câu 63. Cho tam giác

có

cm,

cm,

cm. Tính

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có

.

Câu 64. Cho tam giác
tiếp tam giác

có góc

và cạnh

. Tính bán kính của đường tròn ngoại

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có:
Câu 65. Cho tam giác

.
có

, góc

,

. Tính độ dài cạnh

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:

Ta có

Câu 66. Cho hình thoi

.

có cạnh bằng

. Góc

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có

.
Trang 25

. Tính diện tích hình thoi

.

Hình 10 - KNTTVCS

Câu 67. Tam giác

có

;

;

. Cạnh

bằng bao nhiêu? (lấy gần bằng đến

phần chục)
Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Trong tam giác

:

.

Mặt khác
Câu 68. Tính diện tích tam giác

biết

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có:

.

Vậy diện tích tam giác
Câu 69. Cho

là:
có

.
, nửa chu vi

. Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp

của

tam giác.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có:
Câu 70. Cho tam giác

có

. Tính cạnh b và diện tích

của tam giác

.

Trả lời: ………………..
Lời giải

,

Đáp án:
Ta lại có:
Ta có: Ta có

Câu 71. Cho tam giác

có

. Tính cạnh c và diện tích

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:

,
Trang 26

của tam giác

.

Hình 10 - KNTTVCS

Ta lại có:
Ta có: Ta có
Câu 72. Cho tam giác

có

và có góc

. Biết diện tích tam giác

. Trên đoạn

bằng

lấy điểm

. Tính độ dài cạnh

sao cho

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án: AB 6
A
M
C

B

2
1
1
Ta có AM  AB  BM  AB từ đó SBMC  SABC 4 3  SABC 12 3 .
3
3
3

Áp dụng công thức diện tích ta có:
1
1
1
3

S ABC  AC. AB.sin BAC
 AC . AB.sin120  .8. AB.
12 3 .
2
2
2
2

Giải được AB 6 .
Vậy độ dài cạnh AB 6 .
Câu 73. Cho tam giác

thoả mãn:

. Tính số đo góc

.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có:
Câu 74. Tam giác

có
. Khi đó góc

. Các cạnh
bằng bao nhiêu độ.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Theo bài ra, ta có:

Trang 27

liên hệ với nhau bởi đẳng thức

Hình 10 - KNTTVCS

.

Câu 75. Tam giác ABC có các cạnh a , b , c thỏa mãn điều kiện a  b  c a  b  c  3ab . Tính số
đo của góc C .
Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án: 60
Ta có: a  b  c a  b  c  3ab 
Mà cos C 

a  b 

2

 c 2 3ab  a 2  b2  c 2 ab .

a 2  b2  c 2 1  

C 60 .
2ab
2

Câu 76. Để tránh núi, đường giao thông hiện tại phải đi vòng như mô hình trong hình vẽ dưới. Để rút
ngắn khoảng cách và tránh sạt lở núi, người ta dự định làm đường hầm xuyên núi, nối thẳng từ
Hỏi độ dài đường mới sẽ giảm bao nhiêu kilômét so với đường cũ?

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:

Trang 28

tới

.

Hình 10 - KNTTVCS

Dựng

vuông góc với

.

Xét tam giác

vuông tại

có

Xét tam giác

vuông tại

có

Mặt khác

Vậy độ dài đường mới sẽ giảm

so với đường cũ.

Câu 77. Từ một đỉnh tháp chiều cao
góc nhìn là 

và

, người ta nhìn hai điểm

so với phương nằm ngang. Ba điểm

và

trên mặt đất dưới các

thẳng hàng. Tính khoảng cách

(chính xác đến hàng đơn vị)?
Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có: Trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông

:

:

Suy ra: khoảng cách
Câu 78. Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ của một kỳ đài trước Ngọ Môn (Đại Nội – Huế),
người ta cắm hai cọc AM và BN cao 1,5 mét so với mặt đất. Hai cọc này song song và cách nhau 10 mét
và thẳng hàng so với tim cột cờ (Hình vẽ minh họa). Đặt giác kế tại đỉnh A và B để nhắm đến đỉnh cột
cờ, người ta được các góc lần lượt là

và

so với đường song song với mặt đất. Tính chiều

cao của cột cờ (làm tròn 0,01 mét).

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có:

Trang 29

Hình 10 - KNTTVCS

Áp dụng định lý hàm số sin trong

Xét tam giác vuông ACD:

Suy ra chiều cao của cột cờ là:
Câu 79. Khoảng cách từ

đến

xác định được một điểm

mà từ đó có thể nhìn được

. Khoảng cách

không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
và

dưới một góc 

. Biết

bằng bao nhiêu?

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có:
Câu 80. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí
. Tàu thứ nhất chạy với tốc độ
cách nhau bao nhiêu

, đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc

, tàu thứ hai chạy với tốc độ

. Hỏi sau

giờ hai tàu

?

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có: Sau
Sau

quãng đường tàu thứ nhất chạy được là:

quãng đường tàu thứ hai chạy được là:

Vậy: sau

hai tàu cách nhau là:

Câu 81. Khoảng cách từ
xác định được một điểm
. Khoảng cách

đến

không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta

mà từ đó có thể nhìn được

và

dưới một góc 

. Biết

,

bằng bao nhiêu?

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Ta có:
Câu 82. Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình
tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc

Trang 30

Hình 10 - KNTTVCS

đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ (
cm;

cm;

cm). Tính bán kính của chiếc đĩa này.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Bán kính

của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Nửa chu vi của tam giác
Diện tích tam giác

.

là:

cm.

là:

Mà

cm2.
cm.

Câu 83. Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất
sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24m,
của khối tháp. (làm tròn kết quả đến phần chục)
Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:

Ta có
Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có:
Tam giác BCD vuông tại C nên có:

Trang 31

;

. Tính chiều cao h

Hình 10 - KNTTVCS

Vậy
Câu 84. Trong sơ đồ, chùm sáng hướng vào gương màu xanh, phản xạ vào gương màu đỏ và sau đó
phản xạ vào gương màu xanh như hình vẽ. Biết

. Tính PT .

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:

Ta có:

Xét tam giác POQ ta có:
Ta có:
Áp dụng định lý cosin trong tam giác OPQ ta có:
= 8.

Khi đó :

Áp dụng định lý sin trong tam giác PTO ta có:

Trang 32

Hình 10 - KNTTVCS

+ Hiện tại mình chia sẻ file Word Toán 8, 9, 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+
KNTTVCS trắc nghiệm và tự luận có lời giải đầy đủ do mình biên soạn theo chương trình thi mới
2025 của bộ giáo dục.
Tất cả tài liệu tách ra 2 bản: bản cho giáo viên và bản dành học sinh.
Tất cả tài liệu chính chủ, do mình biên soạn phù hợp dùng giảng dạy các trường trên cả nước
Thầy, cô cần file Word

có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc facebook

https://www.facebook.com/truongngocvy8/
Thầy, cô và các em học sinh cần xem thêm nhiều tài liệu mới khác hãy tham gia
 Tài liệu được cập nhật thường xuyên Nhóm: TÀI LIỆU TOÁN THCS VÀ THPT
Link:https://www.facebook.com/groups/tailieutoanthcsvathpt
 Hoặc facebook mình theo đường Link: https://www.facebook.com/truongngocvy8/
 Hoặc fanpange mình theo đường Link: https://www.facebook.com/tailieutoancap23/
Câu 85. Khu vườn nhà thầy Tuấn có dạng miền tứ giác ABCD với các kích thước đo đạc được ghi trên
hình vẽ bên dưới. Tính diện tích của khu vườn đó (kết quả làm tròn một chữ số thập phân).

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Câu 86. Người ta định lát gạch tổ ong trên mảnh đất hình tứ giác ABCD như hình vẽ bên dưới. Biết
rằng

, và giá lát gạch là 400 nghìn đồng trên một mét

vuông bao gồm cả công thợ. Hỏi người ta cần bao nhiêu tiền để lát gạch cả mảnh đất đó.

Trang 33

Hình 10 - KNTTVCS

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Câu 87. Hai đội cứu hộ cùng xuất phát tại vị trí A đi theo 2 hướng khác nhau tạo với nhau góc 50 0 để tìm
cứu một tàu gặp nạn trên biển.
Đội 1 đi được 10km, đang ở vị trí B thì nhận được tín hiệu của tàu bị nạn. Đội 1 phải đổi hướng đi,
hướng này hợp với hướng ban đầu góc 1200. Đội 1 đi thêm 4km nữa thì đến vị trí C của tàu bị nạn. Đội 2
đi được 12 km, đang ở vị trí D thì nhận được tín hiệu và biết được vị trí của tàu bị nạn.
Đội 2 đổi hướng và chạy về vị trí C( như hình vẽ). Hỏi đội 2 phải đi bao nhiêu km nữa thì đến C?(lưu
ý: kết quả làm tròn lấy 1 số thập phân)

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Câu 88. Hai bạn An và Hưng cùng xuất phát từ điểm
một góc

để đến đích là điểm

, đi theo hai hướng khác nhau và tạo với nhau

. Biết rằng họ dừng lại để ăn trưa lần lượt tại

và

(như hình vẽ).

Hỏi Hưng phải đi bao xa nữa để đến được đích? (lưu ý: kết quả làm tròn lấy 1 số thập phân)
Trang 34

Hình 10 - KNTTVCS

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Câu 89. Vợ chồng Thầy Nam đang xem xét mua một mảnh đất. Nhân viên nhà đất cung cấp cho họ một
bản vẽ chi tiết như hình vẽ dưới. Tính diện tích của mảnh đất và số tỉ đồng vợ chồng anh Minh cần dùng
để mua đất biết giá đất là 25 triệu đồng/ m2 đất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Câu 90. Để xác định chiều cao của một tòa tháp, một người đứng tại vị trí E, sử dụng giác kế nhìn thấy
đỉnh của một tòa tháp với góc nâng
thấy đỉnh một tòa tháp với góc nâng

, người đó lùi ra xa một khoảng cách

, nhìn

(Hình vẽ). Tính chiều cao tòa tháp, biết rằng khoảng

cách từ mặt đất đến ống ngắm của giác kế là

.

Trang 35

Hình 10 - KNTTVCS

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Câu 91. Giữa hai địa điểm

và

là một ngọn núi cao. Để đi từ

đường tránh gồm hai đoạn đường, là đi thẳng từ
hầm chui nối từ

đến

đến

rồi đi thẳng từ

đến
đến

, các xe ô tô có thể chạy
, hoặc chạy thẳng qua

(Hình vẽ). Biết rằng các đoạn đường này tạo thành tam giác

có

Hãy tính xem nếu đi hầm chui thì quãng đường sẽ ngắn hơn so với đi
đường tránh bao nhiêu km?

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Câu 92. Đường cao tốc Đắk Lắk - Khánh Hoà đoạn qua huyện Krông Bông, dự kiến xây dựng một
đường hầm xuyên qua một ngọn núi. Để ước tính chiều dài của đường hầm, một kĩ sư đã thực hiện các
phép đo và cho ra kết quả như hình vẽ bên dưới. Tính chiều dài của đường hầm.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Trang 36

Hình 10 - KNTTVCS

Câu 93. Tính khoảng cách AB giữa nóc hai tòa cao ốc (Hình vẽ). Cho biết khoảng cách từ hai điểm đó
đến một vệ tinh viễn thông lần lượt là 360 km, 340 km và góc nhìn từ vệ tinh đến A và B là là 13,2°.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Câu 94. Một tháp viễn thông cao 42 m được dựng thẳng đứng trên một sườn dốc 34° so với phương
ngang (Hình vẽ). Từ đỉnh tháp người ta neo một sợi cáp xuống một điểm trên sườn dốc cách chân tháp 33
m như Hình 2. Tính chiều dài của sợi dây cáp đó

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Câu 95. Một khung thành bóng đá rộng 5 mét. Một cầu thủ đứng ở vị trí cách cột dọc khung thành 26
mét và cách cột còn lại 23 mét, sút vào khung thành. Tính góc nhìn của cầu thủ tới hai cột khung thành
trên.
Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Câu 96. Trên nóc một toà nhà có một cột cờ cao 2 m. Từ vị trí quan sát A cao 5 m so với mặt đất, có
thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột cờ dưới góc 45° và 40° so với phương nằm ngang (hình vẽ). Tìm
chiều cao của toà nhà.

Trang 37

Hình 10 - KNTTVCS

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Câu 97. Một vệ tinh quay quanh Trái Đất, đang bay phía trên hai trạm quan sát ở hai thành phố Hồ Chí
Minh và Cần Thơ (Hình vẽ). Khi vệ tinh nằm giữa hai trạm này, góc nâng của nó được quan sát đồng thời
là 55° tại Thành phố Hồ Chí Minh và 80° tại Cần Thơ. Hỏi khi đó vệ tinh cách trạm quan sát Cần Thơ
bao xa? Biết rằng, khoảng cách giữa hai trạm quan sát là 127km.

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Câu 98. Cô Thúy có khu vườn hình tam giác ABC với

. Cô thúy cần bao

nhiêu mét khối đất tối đa để tạo thành nền của khu đất có độ cao 10 cm ?
Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Câu 99. Một chiếc tàu khởi hành từ bến cảng, đi về hướng Bắc 15 km, sau đó bẻ lái 20° về hướng tây
bắc và đi thêm 12 km nữa ( Hình vẽ). Tính khoảng cách từ tàu đến bến cảng.

Trang 38

Hình 10 - KNTTVCS

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Câu 100. Hai máy bay rời một sân bay cùng một lúc. Một chiếc máy bay với vận tốc 800 km/h theo
hướng lệch so với hướng bắc 15° về phía tây. Chiếc còn lại bay theo hướng lệch so với hướng nam 45°
về phía tây với vận tốc 600 km/h ( Hình vẽ). Hỏi hai máy bay đó cách nhau bao xa sau 3 giờ?

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Câu 101. Một cây cột cáp treo cao 40 m được dựng trên một triền dốc thẳng nghiêng hợp với phương
nằm ngang một góc 240. Người ta nối một dây cáp từ đỉnh cột cáp treo đến cuối dốc. Tìm chiều dài của
dây cáp biết rằng đoạn đường từ đáy cọc đến cuối dốc bằng 86m.

Trang 39

Hình 10 - KNTTVCS

Trả lời: ………………..
Lời giải
Đáp án:
Câu 102. Đường tròn tâm O nội tiếp xúc với cạnh AB tại D. Biết AC.BC = 2AD.BD. Tam giác ABC là
tam giác gi?
Trả lời: ………………..
Lời...