HỆ TRỤC OXYZ CƠ BẢN
Lý thuyết chung
1. Hệ trục tọa độ Oxyz:
 Hệ trục gồm ba trục
 Trục

đôi một vuông góc nhau.

trục hoành, có vectơ đơn vị

 Trục

: trục tung, có vectơ đơn vị

 Trục

trục cao, có vectơ đơn vị

 Điểm

là gốc tọa độ.

2. Tọa độ vectơ: Vectơ

.
.

.

Cho

. Ta có:







cùng phương










3. Tọa độ điểm:

 Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB:

 Điểm



. Cho

, ta có:


 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC:

QUY TẮC CHIẾU ĐẶC BIỆT
Chiếu điểm trên trục tọa độ
Chiếu điểm trên mặt phẳng tọa độ
 Điểm
 Điểm

 Điểm
 Điểm



 Điểm
Đối xứng điểm qua trục tọa độ

Đối xứng điểm qua mặt phẳng tọa độ






Trang 1


4. Tích có hướng của hai vectơ:
 Định nghĩa: Cho

,

, tích có hướng của

và

là:
.

 Tính chất:
 Điều kiện cùng phương của hai vectơ

là

 Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

với

và

là

 Diện tích tam giác ABC:

 Diện tích hình bình hành ABCD:

 Thể tích khối hộp:

 Thể tích tứ diện:

.

Dạng 1. Tìm tọa độ điểm, véc tơ liên quan đến hệ trục tọa dộ OXYZ
Dạng 1.1 Tìm hình chiếu của điểm lên mặt phẳng, đường thẳng
Câu 1.

(Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Trong không gian
trên mặt phẳng
A.

Câu 2.

.

.

0; 2;0  .

.

B.

D.

.

, hình chiếu vuông góc của điểm

có tọa độ là
.

B.

0; 0;5  .

(Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong không gian
trục
A.

C.

.

D.

.

A.

.

B.

.

A.

1; 0; 0  .

D.

0; 2;5  .

, hình chiếu vuông góc của điểm

trên

C.

.

D.

.

, hình chiếu vuông góc của điểm

trên

có tọa độ là
.

B.

.

(Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong không gian
trục

C.

có tọa độ là:

(Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong không gian
trục

Câu 6.

C.

A 1; 2;5 
(Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong không gian Oxyz , hình chiếu vuông góc của điểm 
trên
trục Ox có tọa độ là

A.

Câu 5.

.

(Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Trong không gian

A.

Câu 4.

có tọa độ là

B.

trên mặt phẳng

Câu 3.

, hình chiếu vuông góc của điểm

C.

.

D.

.

, hình chiếu vuông góc của điểm

trên

có tọa độ là
.

B.

.

C.

.

D.

.
Trang 2

Câu 7.

(Mã 101 - 2020 Lần 2) Trong không gian
điểm
A.

Câu 8.

trên mặt phẳng
.

B.

trên mặt phẳng

điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của

D.

, điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của

C.

trên mặt phẳng
.

.

.

(Mã 104 - 2020 Lần 2) Trong không gian

A.

D.

C.

B.

điểm

.

?

(Mã 102 - 2020 Lần 2) Trong không gian

A.

Câu 11.

C.

B.

điểm

Câu 10.

.

trên mặt phẳng

A.
Câu 9.

?

(Mã 103 - 2020 Lần 2) Trong không gian
điểm

. Điểm nào sau đây là hình chiếu vuông góc của

D.

, điểm nào dưới đây là hình chiếu vuông góc của

?

B.

.

C.

(Mã 104 - 2019) Trong không gian

.

D.

.

, hình chiếu vuông góc của điểm

trên trục

có tọa độ là
A.
Câu 12.

.

B.

.

C.

(Mã 103 - 2019) Trong không gian

.

D.

.

, hình chiếu vuông góc của điểm

trên trục

có tọa độ là
A.
Câu 13.

.

B.

.

C.

(Mã 102 - 2019) Trong không gian

.

D.

.

, hình chiếu vuông góc của điểm

trên trục

có tọa độ là
A.
Câu 14.

.

B.

.

C.

(Mã 101 - 2019) Trong không gian

.

D.

.

, hình chiếu vuông góc của điểm

trên trục

có tọa độ là
A.
Câu 15.

.

B.

C.

(Đề Tham Khảo 2018) Trong không gian
điểm

trên mặt phẳng

A.
Câu 16.

.

.

D.

, cho điểm

. Hình chiếu vuông góc của

là điểm
B.

C.

D.

(Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
đây nằm trên mặt phẳng tọa độ
A.

.

.

B.

, điểm nào sau

?
.

C.

.

D.

.

Trang 3

Câu 17.

(Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ
của

xuống mặt phẳng

A.
Câu 18.

Câu 19.

.

là

B.

.

đối xứng với

qua mặt phẳng

B. Nếu

đối xứng với

qua

C. Nếu

đối xứng với

qua mặt phẳng

D. Nếu

đối xứng với

qua gốc tọa độ

.

D.

thì

thì

.

.

.
thì

.

thì

.

.

C.

(Chuyên Hạ Long 2018) Trong không gian

, tọa độ điểm đối xứng của

.

D.

, cho điểm

.

. Tìm tọa độ

là điểm

.

A.
.
B.
Dạng 1.2 Xác định tọa độ vectơ, độ dài vec tơ
(Mã 102 2018) Trong không gian
tọa độ là
A.

cho điểm

là

B.
qua trục

.

.

(THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian

đối xứng với

Câu 22.

.

C.

A. Nếu

A.

Câu 21.

. Hình chiếu

(Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

qua mặt phẳng

Câu 20.

. Xác định tọa độ

cho

.

C.

.

D.

, cho hai điểm

B.

và

C.

(Đề Tham Khảo 2019) Trong không gian

.

. Vectơ

có

D.
cho hai điểm

và

. Vectơ

có tọa độ là
A.
Câu 23.

B.

(Mã 110 2017) Trong không gian với hệ toạ độ
thẳng

D.
, cho điểm

B.

C.

D.

(THPT Nguyễn Khuyến 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ
. Tọa độ của vecto
A.

Câu 25.

. Tính độ dài đoạn

.

A.
Câu 24.

C.

B.

là

C.

D.

(THPT Ba Đình 2019) Trong không gian
có tọa độ là

, cho hai điểm

A.

C.

.

B.

.

, cho ba vecto

.

,
D.

. Vectơ
.
Trang 4

Câu 26.

(THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Trong không gian
Vectơ
A.

Câu 27.

.

B.

.

B.

.

. Tọa độ của vectơ

là

B.

.

.

.

C.

, cho

.

.

C.

, cho

B.

D.

.

.

D.

,

A.

.

C.

.

. Tìm tọa độ của vectơ
.

.
. Tìm tọa

D.

B.

.

.
, cho hai vectơ

.

C.

.

(THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong không gian
Vectơ

D.

.

, cho

và

.

có tọa độ là

A.

.

B.

.

C.

(Sở Hà Nội 2019) Trong không gian
A.

.

B.

.

D.

cho
.

vecto đơn vị trên các trục
A.

.

Tọa độ vecto
C.

.

với

lần lượt là các

Tính tọa độ của vecto

B.

C.

D.

(THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
, khi đó tọa độ véc tơ
A.

.

B.

giả sử

là
.

C.

.

(THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Trong không gian
Vectơ

là:

D.

(Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong không gian

A.

, cho

,

(THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
và

Câu 35.

.

.

A.

Câu 34.

D.

(THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ

độ của vectơ

Câu 33.

.

. Tìm tọa độ của vectơ

Câu 29. Trong không gian với hệ tọa độ

Câu 32.

C.

,
.

A.

Câu 31.

.

(THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ

A.

Câu 30.

và

có tọa độ là

,

Câu 28.

cho

D.
, cho

.
và

.

có tọa độ là
.

B.

.

C.

.

D.

.

Trang 5

Câu 36.

(KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Trong không gian với trục hệ tọa độ
Tọa độ của vectơ
A.

Câu 37.

.

Câu 38.

Câu 39.

. Độ dài đoạn thẳng

là

A.

B.

.

C.

.

,B

D.
, cho hai điểm

C.

,

D.
. Giá

bằng
B.

.

C.

.

D.

(Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian

.
, cho 2 điểm

B.

.

C.

(Mã 101 2018) Trong không gian

.

D.

, cho hai điểm

B.

và

C.

,

. Tìm tọa độ điểm

A.
C.

,

Câu 43. Trong không gian với hệ tọa độ
của đoạn thẳng
.

B.

,

D.

,

, cho hai điểm

,

.

và

. Tìm tọa độ trung

.
B.

.

C.

.

(THPT Cẩm Giàng 2 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
. Tìm tọa độ trung điểm
.

, cho các điểm

trên trục hoành sao cho

,

A.

. Trung điểm của
D.

(Đề Tham Khảo 2017) Trong không gian với hệ tọa độ

A.

.

có tọa độ là

A.

điểm

,

bằng

đoạn thẳng

Câu 45.

D.

(Hội 8 trường chuyên 2019) Trong không gian Oxyz, cho

A.
.
Dạng 1.3 Xác định tọa độ điểm

Câu 44.

.

(Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Trong không gian

. Độ dài đoạn

Câu 42.

C.

B. 22.

A.

Câu 41.

.

(Sở Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A
. Tính độ dài
.

trị của

Câu 40.

là:

B.

A. 26.

, cho

B.

của đoạn thẳng
.

C.

D.

.

cho hai điểm

là :
.

D.

(THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
,

. Tìm tọa độ trung điểm

và

.
, cho

của
Trang 6

A.

.

B.

.

C.

Câu 46. Trong không gian cho hệ trục toạ độ
toạ độ trọng tâm
A.

.

của tam giác

. Tìm

.

B.

.

C.

.

cho

,

.

và

B.

.

C.

. Trung điểm của đoạn thẳng

A.

.

.

B.

.

C.

.

(THPT Cù Huy Cận 2019) Trong không gian với hệ tọa độ

A.

.

B.

A.

.

.

, cho hai điểm

D.

C.

.

.

, cho tam giác

của tam giác

. Trọng tâm

B.

.

C.

(Chuyên Sơn La 2019) Trong không gian
A.

.

.

A.

D.

.

B.

B.

A.

, cho 2 điểm

.

C.

B.

và

.

A.

C.

.

, cho hai điểm

.

D.

.

, cho hai điểm

có tọa độ là
.

C.

. Tọa độ trung điểm
B.

. Toạ độ

D.

.

D.

(Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong không gian
và

.

có tọa độ là

.

. Trung điểm của đoạn
.

có tọa độ:

D.

(Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian
và

cho tam giác

là:

. Trung điểm của đoạn thẳng
.

với

là

của tam giác

(KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ
và

Câu 54.

.

,

trung điểm của đoạn thẳng

Câu 53.

D.

(Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
biết

Câu 52.

.

có tọa độ là

. Tọa độ trọng tâm

Câu 51.

D.

. Tìm tọa độ trung điểm

Câu 48. (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Trong không gian

Câu 50.

.

.

A.

Câu 49.

D.

, cho ba điểm

Câu 47. Trong không gian với hệ trục tọa độ
của

.

của đoạn thẳng
C.

.
, cho hai điểm

là
D.
Trang 7

Câu 55.

(THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
và

. Tọa độ điểm

A.

.

B.

C.

.

D.

biết

là trung điểm của

cho hai điểm

là

.
.

Dạng 2. Tích vô hướng và ứng dụng
Câu 56.

(Mã 105 2017) Trong không gian với hệ trục tọa độ
. Tính
A.

Câu 57.

THPT

và

.
B.

(KSCL

, cho hai vectơ

C.

Nguyễn

Khuyến

D.

2019)

Trong

không

gian

cho

vectơ

Mệnh đề nào dưới đây sai?

Câu 58.

A.

B.

C.

D.

cùng phương

(THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Trên mặt phẳng toạ độ
,

,

A.
Câu 59.

và

. Tính cosin góc
B.

, cho tam giác

biết

của tam giác.
C.

D.

(THPT Quỳnh Lưu 3 Nghệ An 2019) Trong không gian

, góc giữa hai vectơ

và

là
A.
Câu 60.

.

B.

C.

.

(Chuyên Đại Học Vinh 2019) Trong không gian
của góc giữa
A.

Câu 61.

.

và

.

D.

, cho

.
,

. Côsin

bằng
B.

.

C.

.

D.

(Chuyên Đhsp Hà Nội 2019) Trong không gian tọa độ

.

góc giữa hai vectơ

và

là
A.
Câu 62.

.

B.

.

C.

.

D.

.

(Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
và
A.

.

. Tính tích vô hướng
B.

.

, cho vectơ

.
C.

.

D.

.
Trang 8

Câu 63.

(Chuyên Hưng Yên 2019) Trong không gian tọa độ

, góc giữa hai vectơ

và

là
A.
Câu 64.

.

B.

A.

. Cosin của góc

.

B.

,

D.

.

cho ba điểm

là

.

C.

,

A.

.

D.

. Diện tích của tam giác

B.

C.

.

A.

và

.

, cho tam giác

bằng:
D.

(Chuyên Đại học Vinh - 2019) Trong không gian
Côsin của góc giữa

Câu 67.

.

(THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
có

Câu 66.

C.

(Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian
,

Câu 65.

.

, cho

và

.

bằng
B.

.

C.

.

D.

(Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong hệ tọa độ

, cho

.
và

. Tính

.
A.
Câu 68.

.

B.

A.

.

D.

.
,

. Khi

bằng

.

B.

.

C.

.

D.

.

(Kiểm tra năng lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Trong không gian với hệ trục toạ độ
vectơ

,

A.

Câu 70.

C.

(THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Cho hai véc tơ
đó, tích vô hướng

Câu 69.

.

. Phát biểu nào sau đây là sai?

.

B.

.

C.

ngược hướng với

(THPT Mai Anh Tuấn_Thanh Hóa - 2019) Cho
véctơ
A.

⃗u

và

⃗v

.

D.

.

⃗u= (− 1;1;0 ) , ⃗v =( 0;−1;0 ) , góc giữa hai

là

.

B.

.

C.

.

D.

Câu 71. (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Trong không gian với hệ toạ độ
,
A.

, cho hai

,
.

,
B.

.

, cho tứ diện

với

. Mệnh đề nào dưới đây sai?
.

C.

.

D.

.

Trang 9

Câu 72.

(THPT Thanh Miện I - Hải Dương - 2018) Trong không gian
. Tìm
A.

Câu 73.

để

.

B.

.

C.

.

.

sao cho tích vô hướng

B.

.

, cho

và

.

C.

.

D.

.

(CỤM Chuyên Môn 4 - Hải Phòng - 2018) Trong không gian
. Tính tích vô hướng
A.

Câu 75.

;

D.

(SGD Đồng Tháp - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ
A.

véc tơ

.

. Tìm số thực
Câu 74.

cho

.

B.

.

C.

.
.

D. .

(THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Trong không gian
,
A.

. Côsin của góc

.

B.

cho

, cho ba điểm

,

bằng

.

C.

.

D.

.

Dạng 3. Tích có hướng và ứng dụng
Câu 76.

(KTNL GV Bắc Giang 2019) Trong không gian với hệ tọa độ
và vectơ
A.

Câu 77.

.

. Tìm tọa độ vectơ
B.

A.

Câu 79.

là tích có hướng của

C.

.

(Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Trong không gian
với cả hai vectơ

Câu 78.

.

.

,
.

C.

, ,

.

B.

.

vuông góc với

.

.

B.

, cho
.

D.

.

không đồng phẳng.

, cho bốn điểm

,

,

bằng:
C.

Câu 80. Trong không gian với hệ toạ độ
sai?
A.

vuông góc

.

. Thể tích khối tứ diện
B.

.

.

, ,

(Việt Đức Hà Nội 2019) Trong hệ trục tọa độ
A.

D.

, cho ba véctơ

.

đồng phẳng. D.

và

.

, tọa độ một vectơ

C.

Trong không gian với hệ trục tọa độ
Câu nào sau đây đúng?
cùng phương với

và

là

B.

A.

, cho hai vectơ

.

D.
và

C.

.

. Khẳng định nào sau đây
.

D.

.

Trang 10

Câu 81.

(Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Trong không gian
. Diện tích tam giác
A.

Câu 82.

bằng

B.

(Yên Phong 1 - 2018) Trong không gian
. Thể tích của khối tứ diện
A.

Câu 83.

.

B.

D.

, cho 4 điểm

,

C.

(SGD và ĐT Đà Nẵng 2019) Trong không gian

A.
Câu 84.

C.

.

B.

điểm

A.
Câu 85.

.

.
, cho
.

, biết

.

D.

.

,

. Tất cả giá trị của

.

.

D.

.

có

và

.
C.

.

D.

.

(Chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ, cho hình bình
. Biết

A.

.

,

và

B.

.

. Diện tích hình bình hành
C.

.

D.

(SGD - Bình Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ
,
A.

Câu 88.

.

C.

, cho hình chóp

B.

hành

Câu 87.

, tính diện tích

,

Tính độ dài đường cao của hình chóp

Câu 86.

của tam giác

D.

C.
,

B.

.

.

đồng phẳng?

Trong không gian

A.

,

.

Trong hệ trục tọa độ
để

,

bằng

.

và

cho hai điểm

.

và điểm
.

C.

.

(THPT Mộ Đức - Quảng Ngãi - 2018) Trong không gian
Tính diện tích tam giác
A.

.

.

, cho bốn điểm

. Khi đó thể tích tứ diện

B.

là

,

là
D.

.

, cho

,

.

.
B.

.

C.

.

D.

.

Trang 11