QUAN HỆ VUÔNG GÓC.
Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giácvvuông tại C,

a) Chứng minh rằng:

b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng:

c) Gọi mp(P) đi qua AE và vuông góc với (SAB), cắt SB tại D. Chứng minh rằng:

d) Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng:

Giải: a) Ta có:

Mặt khác, vì

Từ (1) và (2) suy ra:

b) Ta có:

Theo a)

Từ (3) và (4) suy ra:

c) Ta thấy:

Theo b)

Trong mp(ADE) kẻ
. Vì

Từ (5) và (6) suy ra:
hay

d) Từ

Theo c)
. Từ (7) và (8) suy ra:

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều,
. Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng:

Giải: Ta có:

Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADI và DFC có: AI=DF, AD=DC. Do đó,
từ đó ta có:

Hay

Từ (1) và (2) suy ra:


Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
, AD=2a, AB=BC=a. Chứng minh rằng: tam giác SCD vuông
Giải: Ta có:

+ Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là hình vuông. Do đó,
(*). Mặt khác,
là tam giác vuông cân tại I nên:
(*).
Từ (*) và (**) suy ra:
hay
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
hay ∆SCD vuông tại C
Câu 4: Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. CMR:

Giải: Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB và SA, O là giao điểm của AC và BD.
Ta có:

Mặt khác,

Mà
(vì: BPD là tam giác cân tại P và O là trung điểm của BD)
Từ (*) và (**) ta có:

Từ (1) và (2) ta có:

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD đều,
. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD. Chứng minh rằng:

Giải: Gọi I là giao diểm của AN và BP, H là trung điểm của AD, K là giao điểm của AN và BH.
Xét hai tam giác vuông ABN và BCP có: AB=BC, BN=CP. Suy ra,

mà
hay
(1)
Vì ∆SAD đều nên:
.
Mặt khác, tứ giác ABNH là hình chử nhật nên K là trung điểm của HB hay

Từ (*) và (**) suy ra:

Từ (1), (2) suy ra:

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi , SA=SC. Chứng minh rằng:

Giải:+ Ta có:
(1) (giả thiết)
+ Mặt khác,
(2) (SAC là tam giác cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO là đường cao của tam giác)
+ Từ (1) và (2) suy ra:
mà
nên

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a,
,
. Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM. Chứng minh rằng:

Giải:
+ Ta có:
.
+ Xét tam giác vuông ABM có:
. Xét tam giác vuông ACD có:
. Ta có:

Hay
.
+ Từ (1) và (2) suy ra:
mà
nên


Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a,
. Tính góc giữa hai đường thẳng SD và BC?
Giải: Ta có: BC//AD và
. Do đó,
.
Xét tam giác vSAD vuông tại A ta có:

Vậy góc giữa hai đường thẳng SD và BC bằng 600
Câu 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,
. Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(