SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH


ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2012-2013
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút
(Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)




Câu 1.
a) Giải bất phương trình


b) Giải hệ phương trình:

Câu 2.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
để hệ phương trình sau có nghiệm


Câu 3.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ
cho điểm
và các đường thẳng

. Viết phương trình đường tròn
có tâm
sao cho
cắt
tại
và cắt
tại
thỏa mãn

Câu4.
Cho tam giác ABC có AB= c ,BC=a ,CA=b .Trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL và
.
Tính
và
.
2. Cho a,b
thỏa mãn:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 5.
Cho
với a,b
thỏa mãn điều kiện: Tồn tại các số nguyên
đôi một phân biệt và
sao cho:
.
Tìm tất cả các bộ số (a;b).

_____________ Hết _____________


- Thí sinh không được sử dụng tài liệu.
- Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ………………………………………Số báo danh: ………………
SỞ GD-ĐT HÀ TĨNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2012-2013
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 4 trang)

Câu1
Đáp án
Điểm






3 điểm





Điều kiện:
Đặt
(
) thì
Khi đó ta có


1.0




0.5



(do
).
0.5


Với
ta có

Đối chiếu điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là

1.0

 3 điểm

Điều kiện:

0.5


Th1:
không thỏa mãn
0.5


Th2:
ta có:

với t=x/y




t=y hay

0,5


 Thay vào (2):





1


 Đối chiếu đk ta được nghiêm hệ là:

 0.5

Câu2
Hệ đã cho tương đương với:

0,5




3 điểm
 Phương trình (2) (ẩn
) có nghiệm là

0,5


Th1:
ta có

Suy ra
thỏa mãn.
0,5


Th2:
Phương trình (1) (ẩn
) không có nghiệm thuộc khoảng
(*) là (1) vô nghiệm hoặc (1) có 2 nghiệm đều thuộc
điều kiện là





(B)
(với
là 2 nghiệm của phương trình (1)).
 0.5


(A)

(B)


0,5


 Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) (ẩn
) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
hay (*) không xảy ra, điều kiện là
Vậy tất cả các giá trị
cần tìm là

0,5

Câu3
3 điểm
Gọi hình chiếu của
trên
lần lượt là
khi đó


0,5


Gọi
là bán kính của đường tròn
cần tìm (
)


1


Theo giả thiết ta có:

0,5





(do
)
( do
)


0.5


Vậy phương trình đường tròn
cần tìm là

 0.5

 4.a
3 điểm
Ta có:

0.5




0.25


Theo giả thiết:

0.25





0.5



Khi đó:

0.25




0.5







0.5




0.25

4.b
3 điểm
C/M được :
. ấu bằng xẩy ra khi:

0.5


Áp dụng (1) ta có :

0.5


 Mặt khác:


(2)
0.25


 Mà:
(3)
0.75


Từ (