SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA

Đề này có 01 trang, gồm 05 câu.

KÌ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
Năm học: 2020-2021
Môn thi: TOÁN
Lớp 12 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)




Câu I (4,0 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
.
2. Phương trình
có bao nhiêu nghiệm thực dương phân biệt?

Câu II (4,0 điểm)
1. Giải phương trình
.
2. Giải hệ phương trình
.
Câu III (4,0 điểm)
1. Từ các chữ số
viết ngẫu nhiên một số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng

. Tính xác suất để viết được các số thỏa mãn điều kiện:
.
2. Một ngọn hải đăng đặt tại vị trí
cách bờ
biển một khoảng
. Trên bờ biển có một
cái kho ở vị trí
cách
một khoảng
.
Người canh hải đăng phải chèo đò từ vị trí
đến vị
trí
trên bờ biển với vận tốc
rồi đi xe đạp
từ
đến
với vận tốc
(hình vẽ bên).
Xác định khoảng cách từ
đến
để người đó đi từ

đến
là nhanh nhất.
.Câu IV (6,0 điểm)
1. Cho hình chóp
có đáy là hình thang vuông tại
và
,
,
,
và
vuông góc với mặt phẳng
. Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng
và
.
2. Cho hình hộp
có cạnh
và diện tích tứ giác
là
. Mặt phẳng

tạo với mặt phẳng đáy một góc
, khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
bằng
. Tính thể tích
của khối hộp
, biết hình chiếu của đỉnh
lên mặt phẳng
thuộc miền giữa hai đường thẳng
và
, đồng thời khoảng cách giữa
và
nhỏ hơn
.
3. Cho hình chóp
có đáy
là hình thoi cạnh
,
. Tam giác
cân tại
và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
và
, biết góc giữa đường thẳng
và mặt đáy bằng
.
Câu V (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn điều kiện
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
SỞ GD&ĐT THANH HÓA


KỲ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2020 – 2021
Môn thi: TOÁN
LỚP 12 THPT
(Hướng dẫn và biểu điểm chấm gồm 06 trang )



Câu
Nội dung
Điểm

I
4,0 điểm
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
.
2,0


* Tập xác định của hàm số
.
* Giới hạn:
.
.

0,5


* Sự biến thiên:
Ta có


0,5


 Bảng biến thiên:


Hàm số đồng biến trên
và
, hàm số nghịch biến trên
.
Hàm số đạt cực đại tại
giá trị cực đại là 2. Hàm số đạt cực tiểu tại
giá trị cực tiểu là -2.




0,5


* Đồ thị: Đồ thị hàm số giao với trục tung tại điểm (0;2), giao với trục hoành tại
.






0,5


2. Phương trình
có bao nhiêu nghiệm thực
dương phân biệt?
2,0


Đặt
, ta có phương trình
.

0,5


Từ đồ thị hàm số
, ta có
Phương trình

có ba nghiệm, trong đó có hai nghiệm dương.
0,5


Phương trình

có ba nghiệm, trong đó có hai nghiệm dương.
Phương trình

có một nghiệm dương.
0,5


Các nghiệm của các phương trình
,
và
đôi một phân biệt. Do đó phương trình
có
nghiệm thực dương phân biệt?
0,5

II
4,0 điểm
1. Giải phương trình
.
2,0


Điều kiện
.
Phương trình



0,5





0,5





0,5




Đối chiếu với điều kiện ta được
và



0,5


2. Giải hệ phương trình
.
2,0


Điều kiện:

Đặt
,
. Khi đó phương trình (1) trở thành:




.


0,5


Thay vào (2) ta được

Trường hợp 1:
(