Chuyên đề

KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN




















A. LÝ THUYẾT
I. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ.
1. Tìm tập xác định
2. Khảo sát sự biến thiên
Tính y’
Tìm các điểm tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định
Xét dấu đạo hàm và suy ra chiều biến thiên
Tìm cực trị, giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tiệm cận (nếu có).
Lập bảng biến thiên
3. Vẽ đồ thị
Xác định một số điểm đặc biệt(nếu có): cực trị, giao với Ox, Oy
Vẽ tiệm cận ( đối với hàm phân thức)
Vẽ đồ thị
MỘT SỐ GHI NHỚ
4) Hàm số
có điểm uốn
với
là nghiệm của pt: y”=0
5) Hàm

Tập xác định


Nhận đường thẳng
là tiệm cận ngang
Nhận đường thẳng
là tiệm cận đứng
Nhận giao điểm của 2 tiệm cận là tâm đối xứng.
Tìm giao điểm với các trục toạ độ
II. PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị
.
1. Phương trình tiếp tuyến với
tại



2. Hệ số góc của tiếp tuyến với
tại
là

3. Đường thẳng dạng y=a.x+b có hệ số góc là a
4. Hai đường thẳng song song có cùng hệ số góc
5. Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng -1
6. Điều kiện tiếp xúc của 2 đồ thị
2 đồ thị
và
tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ pt
có nghiệm
2 đồ thị
và
tiếp xúc nhau khi và chỉ khi pt
có nghiệm kép
* CÁC VÍ DỤ
VÍ DỤ 1. Cho hàm số

a) Khảo sát và vẽ

b)Viết phương trình tiếp tuyến của
tại điểm có hoành độ bằng 1
VÍ DỤ 2. Cho hàm số

Khảo sát và vẽ

Viết phương trình tiếp tuyến của
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 5
VÍ DỤ 3. Cho hàm số

Khảo sát và vẽ đồ thị (C )
Viết phương trình tiếp tuyến của
tại điểm có hoành độ bằng 3
Viết phương trình tiếp tuyến của
biết tiếp tuyến cắt 2 trục Ox, Oy lần lượt tại A, B:

VÍ DỤ 4. Cho hàm số

Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=1
Gọi I là giao 2 tiệm cận của
. Tìm m để tiếp tuyến bất kì của hàm số cắt 2 tiệm cận tại A, B:

VÍ DỤ 5. Xác định m để đồ thị hàm số
tiếp xúc với trục hoành
VÍ DỤ 6. Cho hàm số


Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=1
Xác định m để đồ thị hàm số
tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm phân biệt

III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA HAI ĐỒ THỊ
Cho 2 hàm số
có đồ thị
và hàm số

có đồ thị


1)Số giao điểm của
và
chính là số nghiệm của pt:
, ngược lại số nghiệm của pt:
chính là số giao điểm của 2 đồ thị
và

2) Phương trình
gọi là phương trình hoành độ giao điểm
VÍ DỤ 7. Cho hàm số

khảo sát, vẽ đồ thị (C )
dựa vào đồ thị
, biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

Tìm tất cả các đường thẳng đi qua điểm M(4; 4) và cắt đồ thị (C ) tại 3 điểm phân biệt
VÍ DỤ 8. Cho hàm số

khảo sát, vẽ đồ thị (C )
Dựa vào đồ thị
, biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

VÍ DỤ 9. Cho hàm số

Khảo sát, vẽ đồ thị (C )
Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng y=mx-2 cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt

IV. HÀM ĐA THỨC
*Hàm bậc ba

1). Hàm số có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi

2) Hàm số luôn đồng biến trên R

3) Hàm số luôn nghịch biến trên R

4) Điểm uốn là tâm đối xứng của đồ thị
5) Nếu đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm lập thành cấp số cộng thì điểm uốn nằm trên trục hoành
6) Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
Hàm số
có

Nếu
và 2 điểm
là 2 điểm cực trị thì


( do
)
Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là y=