SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2019 - 2020
Ngày thi: 06/6/2019
Môn: Toán (Hệ chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình
.
b) Giải hệ phương trình
.
Bài 2. (2,5 điểm)
a) Cho biểu thức
với
. Rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
b) Cho hai số thực
thỏa mãn
(
và
). Tính giá trị của biểu thức
.
c) Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
trong đó
là tham số. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng nói trên thuộc một đường cố định khi
thay đổi.
Bài 3. (1,5 điểm)
a) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
.
b) Số tự nhiên
có tất cả bao nhiêu ước số nguyên dương phân biệt? Tính tích của tất cả các ước số đó.
Bài 4. (3,5 điểm)
Cho đường tròn
có hai đường kính
và
vuông góc với nhau. Gọi
là điểm di động trên đoạn thẳng
(
khác
và
). Tia
cắt đường tròn
tại
;
cắt
tại
;
cắt
tại
.
a) Chứng minh
.
b) Chứng minh
đồng dạng với
, từ đó suy ra diện tích tứ giác
không đổi khi
di động trên đoạn thẳng
.
c) Chứng minh hệ thức
.
d) Xác định vị trí của điểm
trên đoạn thẳng
để
là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Tính
theo
trong trường hợp đó.
Bài 5. (0,5 điểm)
Trên một bảng ô vuông
, ở mỗi ô người ta điền toàn bộ dấu
. Sau đó thực hiện quá trình đổi dấu (dấu
sang dấu
, dấu
sang dấu
) lần lượt theo các bước sau:
Bước 1: Các ô ở dòng thứ
đều được đổi dấu
lần,
.
Bước 2: Các ô ở cột thứ
đều được đổi dấu
lần,
.
Tính số dấu
còn lại trên bảng ô vuông sau khi thực hiện xong quá trình đổi dấu trên.
.................................................HẾT....................................................
Ghi chú: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2019 - 2020
Ngày thi: 06/6/2019
Môn: Toán (Hệ chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút

HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình
.
b) Giải hệ phương trình
.

Tóm tắt cách giải
Điểm

1a) Điều kiện:
.

.

.


0,25 đ

Đặt
.
Phương trình tương đương với
.

0,25 đ

Giải được
(nhận) hoặc
(loại).

0,25 đ


.
Giải được
(nhận) hoặc
(nhận).

0,25 đ

1b) Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta được

.

.


0,25 đ


.

0,25 đ


hoặc
.

0,25 đ

Thử lại ta được
là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

0,25 đ


Bài 2. (2,5 điểm)
a) Cho biểu thức
với
. Rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
.
b) Cho hai số thực
thỏa mãn
(
và
). Tính giá trị của biểu thức
.
c) Trong mặt phẳng tọa độ
, cho hai đường thẳng
và
trong đó
là tham số. Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳng nói trên thuộc một đường cố định khi
thay đổi.

Tóm tắt cách giải
Điểm

2a)




0,25 đ





0,25 đ





0,25 đ


.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có
. Suy ra

Khi
(tmđkxđ) thì
nên giá trị nhỏ nhất của
bằng
.




0,25 đ

2b)




0,5 đ

Vì
,
và
nên ta có:

.


0,5 đ

2c) Ta có
thỏa mãn với mọi
.
Vậy đường thẳng
luôn đi qua điểm
cố định khi
thay đổi